Theorem ltexpi 7651

Description: Ordering on positive integers in terms of existence of sum. (Contributed by NM, 15-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltexpi	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ N (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltexpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7623	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 7623	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		nnaordex 6760	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
5		ltpiord 7633	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
6		addpiord 7630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N) → (𝐴 +N 𝑥) = (𝐴 +o 𝑥))
7	6	eqeq1d 2241	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
8	7	pm5.32da 452	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ N → ((𝑥 ∈ N ∧ (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ N ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
9		elni2 7628	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ N ↔ (𝑥 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑥))
10	9	anbi1i 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑥) ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
11		anass 401	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑥) ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ω ∧ (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
12	10, 11	bitri 184	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ω ∧ (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
13	8, 12	bitrdi 196	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → ((𝑥 ∈ N ∧ (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ω ∧ (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))))
14	13	rexbidv2 2545	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → (∃𝑥 ∈ N (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
15	14	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (∃𝑥 ∈ N (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
16	4, 5, 15	3bitr4d 220	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ N (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∃wrex 2521  ∅c0 3507   class class class wbr 4108  ωcom 4711  (class class class)co 6049   +_o coa 6643  Ncnpi 7586   +_N cpli 7587   <_N clti 7589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-eprel 4409  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-1o 6646  df-oadd 6650  df-ni 7618  df-pli 7619  df-lti 7621

This theorem is referenced by:  ltexnqq  7722