Theorem mulidpi 6798

Description: 1 is an identity element for multiplication on positive integers. (Contributed by NM, 4-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mulidpi	⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·N 1𝑜) = 𝐴)

Proof of Theorem mulidpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 6795	. . 3 ⊢ 1𝑜 ∈ N
2		mulpiord 6797	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → (𝐴 ·N 1𝑜) = (𝐴 ·𝑜 1𝑜))
3	1, 2	mpan2 416	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·N 1𝑜) = (𝐴 ·𝑜 1𝑜))
4		pinn 6789	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
5		nnm1 6216	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·𝑜 1𝑜) = 𝐴)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·𝑜 1𝑜) = 𝐴)
7	3, 6	eqtrd 2117	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·N 1𝑜) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1287   ∈ wcel 1436  ωcom 4371  (class class class)co 5594  1_𝑜c1o 6109   ·_𝑜 comu 6114  Ncnpi 6752   ·_N cmi 6754

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-iord 4160  df-on 4162  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-recs 6005  df-irdg 6070  df-1o 6116  df-oadd 6120  df-omul 6121  df-ni 6784  df-mi 6786

This theorem is referenced by:  1qec  6868  1lt2nq  6886  archnqq  6897  prarloclemarch2  6899  ltnnnq  6903  addpinq1  6944  prarloclemlt  6973