ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulidpi GIF version

Theorem mulidpi 7347
Description: 1 is an identity element for multiplication on positive integers. (Contributed by NM, 4-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
mulidpi (𝐴N → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)

Proof of Theorem mulidpi
StepHypRef Expression
1 1pi 7344 . . 3 1oN
2 mulpiord 7346 . . 3 ((𝐴N ∧ 1oN) → (𝐴 ·N 1o) = (𝐴 ·o 1o))
31, 2mpan2 425 . 2 (𝐴N → (𝐴 ·N 1o) = (𝐴 ·o 1o))
4 pinn 7338 . . 3 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
5 nnm1 6550 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)
64, 5syl 14 . 2 (𝐴N → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)
73, 6eqtrd 2222 1 (𝐴N → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1364  wcel 2160  ωcom 4607  (class class class)co 5896  1oc1o 6434   ·o comu 6439  Ncnpi 7301   ·N cmi 7303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-omul 6446  df-ni 7333  df-mi 7335
This theorem is referenced by:  1qec  7417  1lt2nq  7435  archnqq  7446  prarloclemarch2  7448  ltnnnq  7452  addpinq1  7493  prarloclemlt  7522
  Copyright terms: Public domain W3C validator