Theorem ltapig 7521

Description: Ordering property of addition for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltapig	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵)))

Proof of Theorem ltapig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7492	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 7492	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		pinn 7492	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ N → 𝐶 ∈ ω)
4		nnaord 6653	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1313	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
6	5	3expa 1227	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
7		ltpiord 7502	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
8	7	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
9		addclpi 7510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) → (𝐶 +N 𝐴) ∈ N)
10		addclpi 7510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐶 +N 𝐵) ∈ N)
11		ltpiord 7502	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 +N 𝐴) ∈ N ∧ (𝐶 +N 𝐵) ∈ N) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +N 𝐴) ∈ (𝐶 +N 𝐵)))
12	9, 10, 11	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +N 𝐴) ∈ (𝐶 +N 𝐵)))
13		addpiord 7499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) → (𝐶 +N 𝐴) = (𝐶 +o 𝐴))
14	13	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → (𝐶 +N 𝐴) = (𝐶 +o 𝐴))
15		addpiord 7499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐶 +N 𝐵) = (𝐶 +o 𝐵))
16	15	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → (𝐶 +N 𝐵) = (𝐶 +o 𝐵))
17	14, 16	eleq12d 2300	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → ((𝐶 +N 𝐴) ∈ (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
18	12, 17	bitrd 188	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
19	18	anandis 594	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
20	19	ancoms 268	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
21	6, 8, 20	3bitr4d 220	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵)))
22	21	3impa 1218	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  ωcom 4681  (class class class)co 6000   +_o coa 6557  Ncnpi 7455   +_N cpli 7456   <_N clti 7458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-eprel 4379  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-oadd 6564  df-ni 7487  df-pli 7488  df-lti 7490

This theorem is referenced by:  ltanqg  7583