ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltapig GIF version

Theorem ltapig 7367
Description: Ordering property of addition for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltapig ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵)))

Proof of Theorem ltapig
StepHypRef Expression
1 pinn 7338 . . . . 5 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 pinn 7338 . . . . 5 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
3 pinn 7338 . . . . 5 (𝐶N𝐶 ∈ ω)
4 nnaord 6534 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
51, 2, 3, 4syl3an 1291 . . . 4 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
653expa 1205 . . 3 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
7 ltpiord 7348 . . . 4 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
87adantr 276 . . 3 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
9 addclpi 7356 . . . . . . 7 ((𝐶N𝐴N) → (𝐶 +N 𝐴) ∈ N)
10 addclpi 7356 . . . . . . 7 ((𝐶N𝐵N) → (𝐶 +N 𝐵) ∈ N)
11 ltpiord 7348 . . . . . . 7 (((𝐶 +N 𝐴) ∈ N ∧ (𝐶 +N 𝐵) ∈ N) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +N 𝐴) ∈ (𝐶 +N 𝐵)))
129, 10, 11syl2an 289 . . . . . 6 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +N 𝐴) ∈ (𝐶 +N 𝐵)))
13 addpiord 7345 . . . . . . . 8 ((𝐶N𝐴N) → (𝐶 +N 𝐴) = (𝐶 +o 𝐴))
1413adantr 276 . . . . . . 7 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → (𝐶 +N 𝐴) = (𝐶 +o 𝐴))
15 addpiord 7345 . . . . . . . 8 ((𝐶N𝐵N) → (𝐶 +N 𝐵) = (𝐶 +o 𝐵))
1615adantl 277 . . . . . . 7 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → (𝐶 +N 𝐵) = (𝐶 +o 𝐵))
1714, 16eleq12d 2260 . . . . . 6 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → ((𝐶 +N 𝐴) ∈ (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
1812, 17bitrd 188 . . . . 5 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
1918anandis 592 . . . 4 ((𝐶N ∧ (𝐴N𝐵N)) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
2019ancoms 268 . . 3 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵) ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
216, 8, 203bitr4d 220 . 2 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵)))
22213impa 1196 1 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 +N 𝐴) <N (𝐶 +N 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160   class class class wbr 4018  ωcom 4607  (class class class)co 5896   +o coa 6438  Ncnpi 7301   +N cpli 7302   <N clti 7304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-oadd 6445  df-ni 7333  df-pli 7334  df-lti 7336
This theorem is referenced by:  ltanqg  7429
  Copyright terms: Public domain W3C validator