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Theorem prarloclemlt 7483
Description: Two possible ways of contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7493. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemlt (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))

Proof of Theorem prarloclemlt
StepHypRef Expression
1 2onn 6516 . . . . . . . . . . . 12 2o ∈ ω
2 nnacl 6475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ω ∧ 2o ∈ ω) → (𝑦 +o 2o) ∈ ω)
31, 2mpan2 425 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +o 2o) ∈ ω)
4 nnaword1 6508 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 +o 2o) ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +o 2o) ⊆ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
53, 4sylan 283 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +o 2o) ⊆ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
6 1oex 6419 . . . . . . . . . . . . . 14 1o ∈ V
76sucid 4414 . . . . . . . . . . . . 13 1o ∈ suc 1o
8 df-2o 6412 . . . . . . . . . . . . 13 2o = suc 1o
97, 8eleqtrri 2253 . . . . . . . . . . . 12 1o ∈ 2o
10 nnaordi 6503 . . . . . . . . . . . . 13 ((2o ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (1o ∈ 2o → (𝑦 +o 1o) ∈ (𝑦 +o 2o)))
111, 10mpan 424 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ω → (1o ∈ 2o → (𝑦 +o 1o) ∈ (𝑦 +o 2o)))
129, 11mpi 15 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +o 1o) ∈ (𝑦 +o 2o))
1312adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +o 1o) ∈ (𝑦 +o 2o))
145, 13sseldd 3156 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +o 1o) ∈ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
1514ancoms 268 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +o 1o) ∈ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
16 1pi 7305 . . . . . . . . . . 11 1oN
17 nnppipi 7333 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ω ∧ 1oN) → (𝑦 +o 1o) ∈ N)
1816, 17mpan2 425 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +o 1o) ∈ N)
1918adantl 277 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +o 1o) ∈ N)
20 o1p1e2 6463 . . . . . . . . . . . . . 14 (1o +o 1o) = 2o
21 1onn 6515 . . . . . . . . . . . . . . 15 1o ∈ ω
22 nnppipi 7333 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1o ∈ ω ∧ 1oN) → (1o +o 1o) ∈ N)
2321, 16, 22mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . 14 (1o +o 1o) ∈ N
2420, 23eqeltrri 2251 . . . . . . . . . . . . 13 2oN
25 nnppipi 7333 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ω ∧ 2oN) → (𝑦 +o 2o) ∈ N)
2624, 25mpan2 425 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +o 2o) ∈ N)
27 pinn 7299 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 +o 2o) ∈ N → (𝑦 +o 2o) ∈ ω)
2826, 27syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +o 2o) ∈ ω)
29 nnacom 6479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ω ∧ (𝑦 +o 2o) ∈ ω) → (𝑋 +o (𝑦 +o 2o)) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
3028, 29sylan2 286 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑋 +o (𝑦 +o 2o)) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
31 nnppipi 7333 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ω ∧ (𝑦 +o 2o) ∈ N) → (𝑋 +o (𝑦 +o 2o)) ∈ N)
3226, 31sylan2 286 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑋 +o (𝑦 +o 2o)) ∈ N)
3330, 32eqeltrrd 2255 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N)
34 ltpiord 7309 . . . . . . . . 9 (((𝑦 +o 1o) ∈ N ∧ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N) → ((𝑦 +o 1o) <N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ↔ (𝑦 +o 1o) ∈ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)))
3519, 33, 34syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +o 1o) <N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ↔ (𝑦 +o 1o) ∈ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)))
3615, 35mpbird 167 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +o 1o) <N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
37 mulidpi 7308 . . . . . . . . 9 ((𝑦 +o 1o) ∈ N → ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) = (𝑦 +o 1o))
3819, 37syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) = (𝑦 +o 1o))
39 mulcompig 7321 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N ∧ 1oN) → (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ·N 1o) = (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)))
4033, 16, 39sylancl 413 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ·N 1o) = (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)))
41 mulidpi 7308 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N → (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ·N 1o) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
4233, 41syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ·N 1o) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
4340, 42eqtr3d 2212 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
4438, 43breq12d 4013 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)) ↔ (𝑦 +o 1o) <N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)))
4536, 44mpbird 167 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)))
46 simpr 110 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
47 ordpipqqs 7364 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 +o 1o) ∈ N ∧ 1oN) ∧ (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N ∧ 1oN)) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))))
4816, 47mpanl2 435 . . . . . . . . 9 (((𝑦 +o 1o) ∈ N ∧ (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N ∧ 1oN)) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))))
4916, 48mpanr2 438 . . . . . . . 8 (((𝑦 +o 1o) ∈ N ∧ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))))
5018, 49sylan 283 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ω ∧ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))))
5146, 33, 50syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))))
5245, 51mpbird 167 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q )
5352adantlr 477 . . . 4 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q )
54 opelxpi 4655 . . . . . . . . 9 (((𝑦 +o 1o) ∈ N ∧ 1oN) → ⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩ ∈ (N × N))
5519, 16, 54sylancl 413 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩ ∈ (N × N))
56 enqex 7350 . . . . . . . . 9 ~Q ∈ V
5756ecelqsi 6583 . . . . . . . 8 (⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
5855, 57syl 14 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
59 df-nqqs 7338 . . . . . . 7 Q = ((N × N) / ~Q )
6058, 59eleqtrrdi 2271 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~QQ)
6160adantlr 477 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~QQ)
62 opelxpi 4655 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N ∧ 1oN) → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩ ∈ (N × N))
6333, 16, 62sylancl 413 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩ ∈ (N × N))
6456ecelqsi 6583 . . . . . . . 8 (⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6563, 64syl 14 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6665, 59eleqtrrdi 2271 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~QQ)
6766adantlr 477 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~QQ)
68 simplr3 1041 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑃Q)
69 ltmnqg 7391 . . . . 5 (([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~QQ ∧ [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~QQ𝑃Q) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑃 ·Q [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ) <Q (𝑃 ·Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q )))
7061, 67, 68, 69syl3anc 1238 . . . 4 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑃 ·Q [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ) <Q (𝑃 ·Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q )))
7153, 70mpbid 147 . . 3 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑃 ·Q [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ) <Q (𝑃 ·Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ))
72 mulcomnqg 7373 . . . . 5 ((𝑃Q ∧ [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~QQ) → (𝑃 ·Q [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ) = ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
7368, 61, 72syl2anc 411 . . . 4 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑃 ·Q [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ) = ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
74 mulcomnqg 7373 . . . . 5 ((𝑃Q ∧ [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~QQ) → (𝑃 ·Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
7568, 67, 74syl2anc 411 . . . 4 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑃 ·Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
7673, 75breq12d 4013 . . 3 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑃 ·Q [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ) <Q (𝑃 ·Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ) ↔ ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) <Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
7771, 76mpbid 147 . 2 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) <Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
78 mulclnq 7366 . . . 4 (([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~QQ𝑃Q) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q)
7961, 68, 78syl2anc 411 . . 3 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q)
80 mulclnq 7366 . . . 4 (([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~QQ𝑃Q) → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q)
8167, 68, 80syl2anc 411 . . 3 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q)
82 simplr1 1039 . . . 4 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
83 simplr2 1040 . . . 4 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐴𝐿)
84 elprnql 7471 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) → 𝐴Q)
8582, 83, 84syl2anc 411 . . 3 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐴Q)
86 ltanqg 7390 . . 3 ((([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q ∧ ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q𝐴Q) → (([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) <Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ↔ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))))
8779, 81, 85, 86syl3anc 1238 . 2 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) <Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ↔ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))))
8877, 87mpbid 147 1 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wss 3129  cop 3594   class class class wbr 4000  suc csuc 4362  ωcom 4586   × cxp 4621  (class class class)co 5869  1oc1o 6404  2oc2o 6405   +o coa 6408  [cec 6527   / cqs 6528  Ncnpi 7262   ·N cmi 7264   <N clti 7265   ~Q ceq 7269  Qcnq 7270   +Q cplq 7272   ·Q cmq 7273   <Q cltq 7275  Pcnp 7281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-2o 6412  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7294  df-pli 7295  df-mi 7296  df-lti 7297  df-plpq 7334  df-mpq 7335  df-enq 7337  df-nqqs 7338  df-plqqs 7339  df-mqqs 7340  df-ltnqqs 7343  df-inp 7456
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7486
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