prarloclemlt - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem prarloclemlt 7577

Description: Two possible ways of contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7587. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)

**Assertion**
Ref	Expression
prarloclemlt	⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +_Q ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)) <_Q (𝐴 +_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)))

**Proof of Theorem prarloclemlt**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2_o ∈ ω
2		nnacl 6547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 2_o ∈ ω) → (𝑦 +_o 2_o) ∈ ω)
3	1, 2	mpan2 425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +_o 2_o) ∈ ω)
4		nnaword1 6580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 +_o 2_o) ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +_o 2_o) ⊆ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
5	3, 4	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +_o 2_o) ⊆ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
6		1oex 6491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1_o ∈ V
7	6	sucid 4453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1_o ∈ suc 1_o
8		df-2o 6484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2_o = suc 1_o
9	7, 8	eleqtrri 2272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1_o ∈ 2_o
10		nnaordi 6575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2_o ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (1_o ∈ 2_o → (𝑦 +_o 1_o) ∈ (𝑦 +_o 2_o)))
11	1, 10	mpan 424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (1_o ∈ 2_o → (𝑦 +_o 1_o) ∈ (𝑦 +_o 2_o)))
12	9, 11	mpi 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +_o 1_o) ∈ (𝑦 +_o 2_o))
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +_o 1_o) ∈ (𝑦 +_o 2_o))
14	5, 13	sseldd 3185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +_o 1_o) ∈ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
15	14	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +_o 1_o) ∈ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
16		1pi 7399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1_o ∈ N
17		nnppipi 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 1_o ∈ N) → (𝑦 +_o 1_o) ∈ N)
18	16, 17	mpan2 425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +_o 1_o) ∈ N)
19	18	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +_o 1_o) ∈ N)
20		o1p1e2 6535	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1_o +_o 1_o) = 2_o
21		1onn 6587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1_o ∈ ω
22		nnppipi 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1_o ∈ ω ∧ 1_o ∈ N) → (1_o +_o 1_o) ∈ N)
23	21, 16, 22	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1_o +_o 1_o) ∈ N
24	20, 23	eqeltrri 2270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2_o ∈ N
25		nnppipi 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 2_o ∈ N) → (𝑦 +_o 2_o) ∈ N)
26	24, 25	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +_o 2_o) ∈ N)
27		pinn 7393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 +_o 2_o) ∈ N → (𝑦 +_o 2_o) ∈ ω)
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +_o 2_o) ∈ ω)
29		nnacom 6551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ (𝑦 +_o 2_o) ∈ ω) → (𝑋 +_o (𝑦 +_o 2_o)) = ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
30	28, 29	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑋 +_o (𝑦 +_o 2_o)) = ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
31		nnppipi 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ (𝑦 +_o 2_o) ∈ N) → (𝑋 +_o (𝑦 +_o 2_o)) ∈ N)
32	26, 31	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑋 +_o (𝑦 +_o 2_o)) ∈ N)
33	30, 32	eqeltrrd 2274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N)
34		ltpiord 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 +_o 1_o) ∈ N ∧ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N) → ((𝑦 +_o 1_o) <_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ↔ (𝑦 +_o 1_o) ∈ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)))
35	19, 33, 34	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +_o 1_o) <_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ↔ (𝑦 +_o 1_o) ∈ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)))
36	15, 35	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +_o 1_o) <_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
37		mulidpi 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 +_o 1_o) ∈ N → ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) = (𝑦 +_o 1_o))
38	19, 37	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) = (𝑦 +_o 1_o))
39		mulcompig 7415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N ∧ 1_o ∈ N) → (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ·_N 1_o) = (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)))
40	33, 16, 39	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ·_N 1_o) = (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)))
41		mulidpi 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N → (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ·_N 1_o) = ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
42	33, 41	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ·_N 1_o) = ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
43	40, 42	eqtr3d 2231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)) = ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
44	38, 43	breq12d 4047	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)) ↔ (𝑦 +_o 1_o) <_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)))
45	36, 44	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)))
46		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
47		ordpipqqs 7458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 +_o 1_o) ∈ N ∧ 1_o ∈ N) ∧ (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N ∧ 1_o ∈ N)) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))))
48	16, 47	mpanl2 435	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 +_o 1_o) ∈ N ∧ (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N ∧ 1_o ∈ N)) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))))
49	16, 48	mpanr2 438	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 +_o 1_o) ∈ N ∧ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))))
50	18, 49	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))))
51	46, 33, 50	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))))
52	45, 51	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q )
53	52	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q )
54		opelxpi 4696	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 +_o 1_o) ∈ N ∧ 1_o ∈ N) → ⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩ ∈ (N × N))
55	19, 16, 54	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩ ∈ (N × N))
56		enqex 7444	. . . . . . . . 9 ⊢ ~_Q ∈ V
57	56	ecelqsi 6657	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ ((N × N) / ~_Q ))
58	55, 57	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ ((N × N) / ~_Q ))
59		df-nqqs 7432	. . . . . . 7 ⊢ Q = ((N × N) / ~_Q )
60	58, 59	eleqtrrdi 2290	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q)
61	60	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q)
62		opelxpi 4696	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N ∧ 1_o ∈ N) → ⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩ ∈ (N × N))
63	33, 16, 62	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩ ∈ (N × N))
64	56	ecelqsi 6657	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩ ∈ (N × N) → [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ ((N × N) / ~_Q ))
65	63, 64	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ ((N × N) / ~_Q ))
66	65, 59	eleqtrrdi 2290	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q)
67	66	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q)
68		simplr3 1043	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑃 ∈ Q)
69		ltmnqg 7485	. . . . 5 ⊢ (([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q ∧ [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ (𝑃 ·_Q [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ) <_Q (𝑃 ·_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q )))
70	61, 67, 68, 69	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ (𝑃 ·_Q [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ) <_Q (𝑃 ·_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q )))
71	53, 70	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑃 ·_Q [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ) <_Q (𝑃 ·_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ))
72		mulcomnqg 7467	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Q ∧ [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q) → (𝑃 ·_Q [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ) = ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))
73	68, 61, 72	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑃 ·_Q [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ) = ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))
74		mulcomnqg 7467	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Q ∧ [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q) → (𝑃 ·_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ) = ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))
75	68, 67, 74	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑃 ·_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ) = ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))
76	73, 75	breq12d 4047	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑃 ·_Q [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ) <_Q (𝑃 ·_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ) ↔ ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) <_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)))
77	71, 76	mpbid 147	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) <_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))
78		mulclnq 7460	. . . 4 ⊢ (([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ∈ Q)
79	61, 68, 78	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ∈ Q)
80		mulclnq 7460	. . . 4 ⊢ (([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ∈ Q)
81	67, 68, 80	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ∈ Q)
82		simplr1 1041	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
83		simplr2 1042	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐴 ∈ 𝐿)
84		elprnql 7565	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ Q)
85	82, 83, 84	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐴 ∈ Q)
86		ltanqg 7484	. . 3 ⊢ ((([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ∈ Q ∧ ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) <_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ↔ (𝐴 +_Q ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)) <_Q (𝐴 +_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))))
87	79, 81, 85, 86	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) <_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ↔ (𝐴 +_Q ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)) <_Q (𝐴 +_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))))
88	77, 87	mpbid 147	1 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +_Q ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)) <_Q (𝐴 +_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∧ w3a 980 = wceq 1364 ∈ wcel 2167 ⊆ wss 3157 ⟨cop 3626 class class class wbr 4034 suc csuc 4401 ωcom 4627 × cxp 4662 (class class class)co 5925 1_oc1o 6476 2_oc2o 6477 +_o coa 6480 [cec 6599 / cqs 6600 Ncnpi 7356 ·_N cmi 7358 <_N clti 7359 ~_Q ceq 7363 Qcnq 7364 +_Q cplq 7366 ·_Q cmq 7367 <_Q cltq 7369 Pcnp 7375

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-eprel 4325 df-id 4329 df-iord 4402 df-on 4404 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-irdg 6437 df-1o 6483 df-2o 6484 df-oadd 6487 df-omul 6488 df-er 6601 df-ec 6603 df-qs 6607 df-ni 7388 df-pli 7389 df-mi 7390 df-lti 7391 df-plpq 7428 df-mpq 7429 df-enq 7431 df-nqqs 7432 df-plqqs 7433 df-mqqs 7434 df-ltnqqs 7437 df-inp 7550

This theorem is referenced by: prarloclem3step 7580

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