Theorem prarloclemlt 7505

Description: Two possible ways of contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7515. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemlt	⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))

Proof of Theorem prarloclemlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2o ∈ ω
2		nnacl 6494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 2o ∈ ω) → (𝑦 +o 2o) ∈ ω)
3	1, 2	mpan2 425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +o 2o) ∈ ω)
4		nnaword1 6527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 +o 2o) ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +o 2o) ⊆ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
5	3, 4	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +o 2o) ⊆ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
6		1oex 6438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1o ∈ V
7	6	sucid 4429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1o ∈ suc 1o
8		df-2o 6431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2o = suc 1o
9	7, 8	eleqtrri 2263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ 2o
10		nnaordi 6522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (1o ∈ 2o → (𝑦 +o 1o) ∈ (𝑦 +o 2o)))
11	1, 10	mpan 424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (1o ∈ 2o → (𝑦 +o 1o) ∈ (𝑦 +o 2o)))
12	9, 11	mpi 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +o 1o) ∈ (𝑦 +o 2o))
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +o 1o) ∈ (𝑦 +o 2o))
14	5, 13	sseldd 3168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +o 1o) ∈ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
15	14	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +o 1o) ∈ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
16		1pi 7327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ N
17		nnppipi 7355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 1o ∈ N) → (𝑦 +o 1o) ∈ N)
18	16, 17	mpan2 425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +o 1o) ∈ N)
19	18	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +o 1o) ∈ N)
20		o1p1e2 6482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1o +o 1o) = 2o
21		1onn 6534	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1o ∈ ω
22		nnppipi 7355	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 1o ∈ N) → (1o +o 1o) ∈ N)
23	21, 16, 22	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1o +o 1o) ∈ N
24	20, 23	eqeltrri 2261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2o ∈ N
25		nnppipi 7355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 2o ∈ N) → (𝑦 +o 2o) ∈ N)
26	24, 25	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +o 2o) ∈ N)
27		pinn 7321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 +o 2o) ∈ N → (𝑦 +o 2o) ∈ ω)
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +o 2o) ∈ ω)
29		nnacom 6498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ (𝑦 +o 2o) ∈ ω) → (𝑋 +o (𝑦 +o 2o)) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
30	28, 29	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑋 +o (𝑦 +o 2o)) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
31		nnppipi 7355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ (𝑦 +o 2o) ∈ N) → (𝑋 +o (𝑦 +o 2o)) ∈ N)
32	26, 31	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑋 +o (𝑦 +o 2o)) ∈ N)
33	30, 32	eqeltrrd 2265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N)
34		ltpiord 7331	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 +o 1o) ∈ N ∧ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N) → ((𝑦 +o 1o) <N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ↔ (𝑦 +o 1o) ∈ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)))
35	19, 33, 34	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +o 1o) <N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ↔ (𝑦 +o 1o) ∈ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)))
36	15, 35	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +o 1o) <N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
37		mulidpi 7330	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 +o 1o) ∈ N → ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) = (𝑦 +o 1o))
38	19, 37	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) = (𝑦 +o 1o))
39		mulcompig 7343	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ·N 1o) = (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)))
40	33, 16, 39	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ·N 1o) = (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)))
41		mulidpi 7330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N → (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ·N 1o) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
42	33, 41	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ·N 1o) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
43	40, 42	eqtr3d 2222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
44	38, 43	breq12d 4028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)) ↔ (𝑦 +o 1o) <N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)))
45	36, 44	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)))
46		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
47		ordpipqqs 7386	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 +o 1o) ∈ N ∧ 1o ∈ N) ∧ (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N ∧ 1o ∈ N)) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))))
48	16, 47	mpanl2 435	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 +o 1o) ∈ N ∧ (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N ∧ 1o ∈ N)) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))))
49	16, 48	mpanr2 438	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 +o 1o) ∈ N ∧ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))))
50	18, 49	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))))
51	46, 33, 50	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))))
52	45, 51	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q )
53	52	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q )
54		opelxpi 4670	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 +o 1o) ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩ ∈ (N × N))
55	19, 16, 54	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩ ∈ (N × N))
56		enqex 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ ~Q ∈ V
57	56	ecelqsi 6602	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
58	55, 57	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
59		df-nqqs 7360	. . . . . . 7 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
60	58, 59	eleqtrrdi 2281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ∈ Q)
61	60	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ∈ Q)
62		opelxpi 4670	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩ ∈ (N × N))
63	33, 16, 62	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩ ∈ (N × N))
64	56	ecelqsi 6602	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
65	63, 64	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
66	65, 59	eleqtrrdi 2281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ∈ Q)
67	66	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ∈ Q)
68		simplr3 1042	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑃 ∈ Q)
69		ltmnqg 7413	. . . . 5 ⊢ (([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑃 ·Q [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ) <Q (𝑃 ·Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q )))
70	61, 67, 68, 69	syl3anc 1248	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑃 ·Q [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ) <Q (𝑃 ·Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q )))
71	53, 70	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑃 ·Q [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ) <Q (𝑃 ·Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ))
72		mulcomnqg 7395	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Q ∧ [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ∈ Q) → (𝑃 ·Q [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ) = ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
73	68, 61, 72	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑃 ·Q [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ) = ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
74		mulcomnqg 7395	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Q ∧ [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ∈ Q) → (𝑃 ·Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
75	68, 67, 74	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑃 ·Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
76	73, 75	breq12d 4028	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑃 ·Q [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ) <Q (𝑃 ·Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ) ↔ ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) <Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
77	71, 76	mpbid 147	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) <Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
78		mulclnq 7388	. . . 4 ⊢ (([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q)
79	61, 68, 78	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q)
80		mulclnq 7388	. . . 4 ⊢ (([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q)
81	67, 68, 80	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q)
82		simplr1 1040	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
83		simplr2 1041	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐴 ∈ 𝐿)
84		elprnql 7493	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ Q)
85	82, 83, 84	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐴 ∈ Q)
86		ltanqg 7412	. . 3 ⊢ ((([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q ∧ ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) <Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ↔ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))))
87	79, 81, 85, 86	syl3anc 1248	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) <Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ↔ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))))
88	77, 87	mpbid 147	1 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   ⊆ wss 3141  ⟨cop 3607   class class class wbr 4015  suc csuc 4377  ωcom 4601   × cxp 4636  (class class class)co 5888  1_oc1o 6423  2_oc2o 6424   +_o coa 6427  [cec 6546   / cqs 6547  Ncnpi 7284   ·_N cmi 7286   <_N clti 7287   ~_Q ceq 7291  Qcnq 7292   +_Q cplq 7294   ·_Q cmq 7295   <_Q cltq 7297  Pcnp 7303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-1o 6430  df-2o 6431  df-oadd 6434  df-omul 6435  df-er 6548  df-ec 6550  df-qs 6554  df-ni 7316  df-pli 7317  df-mi 7318  df-lti 7319  df-plpq 7356  df-mpq 7357  df-enq 7359  df-nqqs 7360  df-plqqs 7361  df-mqqs 7362  df-ltnqqs 7365  df-inp 7478

This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7508