ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemlt GIF version

Theorem prarloclemlt 7505
Description: Two possible ways of contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7515. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemlt (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) <Q (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)))

Proof of Theorem prarloclemlt
StepHypRef Expression
1 2onn 6535 . . . . . . . . . . . 12 2o โˆˆ ฯ‰
2 nnacl 6494 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง 2o โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ฆ +o 2o) โˆˆ ฯ‰)
31, 2mpan2 425 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐‘ฆ +o 2o) โˆˆ ฯ‰)
4 nnaword1 6527 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆ +o 2o) โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ฆ +o 2o) โІ ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹))
53, 4sylan 283 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ฆ +o 2o) โІ ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹))
6 1oex 6438 . . . . . . . . . . . . . 14 1o โˆˆ V
76sucid 4429 . . . . . . . . . . . . 13 1o โˆˆ suc 1o
8 df-2o 6431 . . . . . . . . . . . . 13 2o = suc 1o
97, 8eleqtrri 2263 . . . . . . . . . . . 12 1o โˆˆ 2o
10 nnaordi 6522 . . . . . . . . . . . . 13 ((2o โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (1o โˆˆ 2o โ†’ (๐‘ฆ +o 1o) โˆˆ (๐‘ฆ +o 2o)))
111, 10mpan 424 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (1o โˆˆ 2o โ†’ (๐‘ฆ +o 1o) โˆˆ (๐‘ฆ +o 2o)))
129, 11mpi 15 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐‘ฆ +o 1o) โˆˆ (๐‘ฆ +o 2o))
1312adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ฆ +o 1o) โˆˆ (๐‘ฆ +o 2o))
145, 13sseldd 3168 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ฆ +o 1o) โˆˆ ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹))
1514ancoms 268 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ฆ +o 1o) โˆˆ ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹))
16 1pi 7327 . . . . . . . . . . 11 1o โˆˆ N
17 nnppipi 7355 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง 1o โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ +o 1o) โˆˆ N)
1816, 17mpan2 425 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐‘ฆ +o 1o) โˆˆ N)
1918adantl 277 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ฆ +o 1o) โˆˆ N)
20 o1p1e2 6482 . . . . . . . . . . . . . 14 (1o +o 1o) = 2o
21 1onn 6534 . . . . . . . . . . . . . . 15 1o โˆˆ ฯ‰
22 nnppipi 7355 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1o โˆˆ ฯ‰ โˆง 1o โˆˆ N) โ†’ (1o +o 1o) โˆˆ N)
2321, 16, 22mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . 14 (1o +o 1o) โˆˆ N
2420, 23eqeltrri 2261 . . . . . . . . . . . . 13 2o โˆˆ N
25 nnppipi 7355 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง 2o โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ +o 2o) โˆˆ N)
2624, 25mpan2 425 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐‘ฆ +o 2o) โˆˆ N)
27 pinn 7321 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ +o 2o) โˆˆ N โ†’ (๐‘ฆ +o 2o) โˆˆ ฯ‰)
2826, 27syl 14 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐‘ฆ +o 2o) โˆˆ ฯ‰)
29 nnacom 6498 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘ฆ +o 2o) โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘‹ +o (๐‘ฆ +o 2o)) = ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹))
3028, 29sylan2 286 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘‹ +o (๐‘ฆ +o 2o)) = ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹))
31 nnppipi 7355 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘ฆ +o 2o) โˆˆ N) โ†’ (๐‘‹ +o (๐‘ฆ +o 2o)) โˆˆ N)
3226, 31sylan2 286 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘‹ +o (๐‘ฆ +o 2o)) โˆˆ N)
3330, 32eqeltrrd 2265 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹) โˆˆ N)
34 ltpiord 7331 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ +o 1o) โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹) โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฆ +o 1o) <N ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹) โ†” (๐‘ฆ +o 1o) โˆˆ ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹)))
3519, 33, 34syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐‘ฆ +o 1o) <N ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹) โ†” (๐‘ฆ +o 1o) โˆˆ ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹)))
3615, 35mpbird 167 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ฆ +o 1o) <N ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹))
37 mulidpi 7330 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ +o 1o) โˆˆ N โ†’ ((๐‘ฆ +o 1o) ยทN 1o) = (๐‘ฆ +o 1o))
3819, 37syl 14 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐‘ฆ +o 1o) ยทN 1o) = (๐‘ฆ +o 1o))
39 mulcompig 7343 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹) โˆˆ N โˆง 1o โˆˆ N) โ†’ (((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹) ยทN 1o) = (1o ยทN ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹)))
4033, 16, 39sylancl 413 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹) ยทN 1o) = (1o ยทN ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹)))
41 mulidpi 7330 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹) โˆˆ N โ†’ (((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹) ยทN 1o) = ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹))
4233, 41syl 14 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹) ยทN 1o) = ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹))
4340, 42eqtr3d 2222 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (1o ยทN ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹)) = ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹))
4438, 43breq12d 4028 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐‘ฆ +o 1o) ยทN 1o) <N (1o ยทN ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹)) โ†” (๐‘ฆ +o 1o) <N ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹)))
4536, 44mpbird 167 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐‘ฆ +o 1o) ยทN 1o) <N (1o ยทN ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹)))
46 simpr 110 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰)
47 ordpipqqs 7386 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ฆ +o 1o) โˆˆ N โˆง 1o โˆˆ N) โˆง (((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹) โˆˆ N โˆง 1o โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q โ†” ((๐‘ฆ +o 1o) ยทN 1o) <N (1o ยทN ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹))))
4816, 47mpanl2 435 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ +o 1o) โˆˆ N โˆง (((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹) โˆˆ N โˆง 1o โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q โ†” ((๐‘ฆ +o 1o) ยทN 1o) <N (1o ยทN ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹))))
4916, 48mpanr2 438 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ +o 1o) โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹) โˆˆ N) โ†’ ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q โ†” ((๐‘ฆ +o 1o) ยทN 1o) <N (1o ยทN ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹))))
5018, 49sylan 283 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹) โˆˆ N) โ†’ ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q โ†” ((๐‘ฆ +o 1o) ยทN 1o) <N (1o ยทN ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹))))
5146, 33, 50syl2anc 411 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q โ†” ((๐‘ฆ +o 1o) ยทN 1o) <N (1o ยทN ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹))))
5245, 51mpbird 167 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ [โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q )
5352adantlr 477 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ [โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q )
54 opelxpi 4670 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ +o 1o) โˆˆ N โˆง 1o โˆˆ N) โ†’ โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ โˆˆ (N ร— N))
5519, 16, 54sylancl 413 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ โˆˆ (N ร— N))
56 enqex 7372 . . . . . . . . 9 ~Q โˆˆ V
5756ecelqsi 6602 . . . . . . . 8 (โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ โˆˆ (N ร— N) โ†’ [โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q โˆˆ ((N ร— N) / ~Q ))
5855, 57syl 14 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ [โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q โˆˆ ((N ร— N) / ~Q ))
59 df-nqqs 7360 . . . . . . 7 Q = ((N ร— N) / ~Q )
6058, 59eleqtrrdi 2281 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ [โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q โˆˆ Q)
6160adantlr 477 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ [โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q โˆˆ Q)
62 opelxpi 4670 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹) โˆˆ N โˆง 1o โˆˆ N) โ†’ โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ โˆˆ (N ร— N))
6333, 16, 62sylancl 413 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ โˆˆ (N ร— N))
6456ecelqsi 6602 . . . . . . . 8 (โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ โˆˆ (N ร— N) โ†’ [โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q โˆˆ ((N ร— N) / ~Q ))
6563, 64syl 14 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ [โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q โˆˆ ((N ร— N) / ~Q ))
6665, 59eleqtrrdi 2281 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ [โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q โˆˆ Q)
6766adantlr 477 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ [โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q โˆˆ Q)
68 simplr3 1042 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Q)
69 ltmnqg 7413 . . . . 5 (([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q โˆˆ Q โˆง [โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q โˆˆ Q โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โ†’ ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q โ†” (๐‘ƒ ยทQ [โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ) <Q (๐‘ƒ ยทQ [โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q )))
7061, 67, 68, 69syl3anc 1248 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q โ†” (๐‘ƒ ยทQ [โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ) <Q (๐‘ƒ ยทQ [โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q )))
7153, 70mpbid 147 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ƒ ยทQ [โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ) <Q (๐‘ƒ ยทQ [โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ))
72 mulcomnqg 7395 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ Q โˆง [โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ƒ ยทQ [โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ) = ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ))
7368, 61, 72syl2anc 411 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ƒ ยทQ [โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ) = ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ))
74 mulcomnqg 7395 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ Q โˆง [โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ƒ ยทQ [โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ) = ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ))
7568, 67, 74syl2anc 411 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ƒ ยทQ [โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ) = ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ))
7673, 75breq12d 4028 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐‘ƒ ยทQ [โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ) <Q (๐‘ƒ ยทQ [โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ) โ†” ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ) <Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)))
7771, 76mpbid 147 . 2 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ) <Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ))
78 mulclnq 7388 . . . 4 (([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q โˆˆ Q โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โ†’ ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ) โˆˆ Q)
7961, 68, 78syl2anc 411 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ) โˆˆ Q)
80 mulclnq 7388 . . . 4 (([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q โˆˆ Q โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โ†’ ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ) โˆˆ Q)
8167, 68, 80syl2anc 411 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ) โˆˆ Q)
82 simplr1 1040 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P)
83 simplr2 1041 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ฟ)
84 elprnql 7493 . . . 4 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐ด โˆˆ Q)
8582, 83, 84syl2anc 411 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ๐ด โˆˆ Q)
86 ltanqg 7412 . . 3 ((([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ) โˆˆ Q โˆง ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ) โˆˆ Q โˆง ๐ด โˆˆ Q) โ†’ (([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ) <Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ) โ†” (๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) <Q (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ))))
8779, 81, 85, 86syl3anc 1248 . 2 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ) <Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ) โ†” (๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) <Q (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ))))
8877, 87mpbid 147 1 (((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) <Q (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158   โІ wss 3141  โŸจcop 3607   class class class wbr 4015  suc csuc 4377  ฯ‰com 4601   ร— cxp 4636  (class class class)co 5888  1oc1o 6423  2oc2o 6424   +o coa 6427  [cec 6546   / cqs 6547  Ncnpi 7284   ยทN cmi 7286   <N clti 7287   ~Q ceq 7291  Qcnq 7292   +Q cplq 7294   ยทQ cmq 7295   <Q cltq 7297  Pcnp 7303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-1o 6430  df-2o 6431  df-oadd 6434  df-omul 6435  df-er 6548  df-ec 6550  df-qs 6554  df-ni 7316  df-pli 7317  df-mi 7318  df-lti 7319  df-plpq 7356  df-mpq 7357  df-enq 7359  df-nqqs 7360  df-plqqs 7361  df-mqqs 7362  df-ltnqqs 7365  df-inp 7478
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7508
  Copyright terms: Public domain W3C validator