prarloclemlt - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem prarloclemlt 7606

Description: Two possible ways of contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7616. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)

**Assertion**
Ref	Expression
prarloclemlt	⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +_Q ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)) <_Q (𝐴 +_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)))

**Proof of Theorem prarloclemlt**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2_o ∈ ω
2		nnacl 6566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 2_o ∈ ω) → (𝑦 +_o 2_o) ∈ ω)
3	1, 2	mpan2 425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +_o 2_o) ∈ ω)
4		nnaword1 6599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 +_o 2_o) ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +_o 2_o) ⊆ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
5	3, 4	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +_o 2_o) ⊆ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
6		1oex 6510	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1_o ∈ V
7	6	sucid 4464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1_o ∈ suc 1_o
8		df-2o 6503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2_o = suc 1_o
9	7, 8	eleqtrri 2281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1_o ∈ 2_o
10		nnaordi 6594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2_o ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (1_o ∈ 2_o → (𝑦 +_o 1_o) ∈ (𝑦 +_o 2_o)))
11	1, 10	mpan 424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (1_o ∈ 2_o → (𝑦 +_o 1_o) ∈ (𝑦 +_o 2_o)))
12	9, 11	mpi 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +_o 1_o) ∈ (𝑦 +_o 2_o))
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +_o 1_o) ∈ (𝑦 +_o 2_o))
14	5, 13	sseldd 3194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +_o 1_o) ∈ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
15	14	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +_o 1_o) ∈ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
16		1pi 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1_o ∈ N
17		nnppipi 7456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 1_o ∈ N) → (𝑦 +_o 1_o) ∈ N)
18	16, 17	mpan2 425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +_o 1_o) ∈ N)
19	18	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +_o 1_o) ∈ N)
20		o1p1e2 6554	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1_o +_o 1_o) = 2_o
21		1onn 6606	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1_o ∈ ω
22		nnppipi 7456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1_o ∈ ω ∧ 1_o ∈ N) → (1_o +_o 1_o) ∈ N)
23	21, 16, 22	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1_o +_o 1_o) ∈ N
24	20, 23	eqeltrri 2279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2_o ∈ N
25		nnppipi 7456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 2_o ∈ N) → (𝑦 +_o 2_o) ∈ N)
26	24, 25	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +_o 2_o) ∈ N)
27		pinn 7422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 +_o 2_o) ∈ N → (𝑦 +_o 2_o) ∈ ω)
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +_o 2_o) ∈ ω)
29		nnacom 6570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ (𝑦 +_o 2_o) ∈ ω) → (𝑋 +_o (𝑦 +_o 2_o)) = ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
30	28, 29	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑋 +_o (𝑦 +_o 2_o)) = ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
31		nnppipi 7456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ (𝑦 +_o 2_o) ∈ N) → (𝑋 +_o (𝑦 +_o 2_o)) ∈ N)
32	26, 31	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑋 +_o (𝑦 +_o 2_o)) ∈ N)
33	30, 32	eqeltrrd 2283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N)
34		ltpiord 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 +_o 1_o) ∈ N ∧ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N) → ((𝑦 +_o 1_o) <_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ↔ (𝑦 +_o 1_o) ∈ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)))
35	19, 33, 34	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +_o 1_o) <_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ↔ (𝑦 +_o 1_o) ∈ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)))
36	15, 35	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +_o 1_o) <_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
37		mulidpi 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 +_o 1_o) ∈ N → ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) = (𝑦 +_o 1_o))
38	19, 37	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) = (𝑦 +_o 1_o))
39		mulcompig 7444	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N ∧ 1_o ∈ N) → (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ·_N 1_o) = (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)))
40	33, 16, 39	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ·_N 1_o) = (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)))
41		mulidpi 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N → (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ·_N 1_o) = ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
42	33, 41	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ·_N 1_o) = ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
43	40, 42	eqtr3d 2240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)) = ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
44	38, 43	breq12d 4057	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)) ↔ (𝑦 +_o 1_o) <_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)))
45	36, 44	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)))
46		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
47		ordpipqqs 7487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 +_o 1_o) ∈ N ∧ 1_o ∈ N) ∧ (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N ∧ 1_o ∈ N)) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))))
48	16, 47	mpanl2 435	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 +_o 1_o) ∈ N ∧ (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N ∧ 1_o ∈ N)) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))))
49	16, 48	mpanr2 438	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 +_o 1_o) ∈ N ∧ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))))
50	18, 49	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))))
51	46, 33, 50	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))))
52	45, 51	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q )
53	52	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q )
54		opelxpi 4707	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 +_o 1_o) ∈ N ∧ 1_o ∈ N) → ⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩ ∈ (N × N))
55	19, 16, 54	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩ ∈ (N × N))
56		enqex 7473	. . . . . . . . 9 ⊢ ~_Q ∈ V
57	56	ecelqsi 6676	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ ((N × N) / ~_Q ))
58	55, 57	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ ((N × N) / ~_Q ))
59		df-nqqs 7461	. . . . . . 7 ⊢ Q = ((N × N) / ~_Q )
60	58, 59	eleqtrrdi 2299	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q)
61	60	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q)
62		opelxpi 4707	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N ∧ 1_o ∈ N) → ⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩ ∈ (N × N))
63	33, 16, 62	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩ ∈ (N × N))
64	56	ecelqsi 6676	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩ ∈ (N × N) → [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ ((N × N) / ~_Q ))
65	63, 64	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ ((N × N) / ~_Q ))
66	65, 59	eleqtrrdi 2299	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q)
67	66	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q)
68		simplr3 1044	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑃 ∈ Q)
69		ltmnqg 7514	. . . . 5 ⊢ (([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q ∧ [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ (𝑃 ·_Q [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ) <_Q (𝑃 ·_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q )))
70	61, 67, 68, 69	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ (𝑃 ·_Q [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ) <_Q (𝑃 ·_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q )))
71	53, 70	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑃 ·_Q [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ) <_Q (𝑃 ·_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ))
72		mulcomnqg 7496	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Q ∧ [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q) → (𝑃 ·_Q [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ) = ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))
73	68, 61, 72	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑃 ·_Q [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ) = ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))
74		mulcomnqg 7496	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Q ∧ [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q) → (𝑃 ·_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ) = ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))
75	68, 67, 74	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑃 ·_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ) = ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))
76	73, 75	breq12d 4057	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑃 ·_Q [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ) <_Q (𝑃 ·_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ) ↔ ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) <_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)))
77	71, 76	mpbid 147	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) <_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))
78		mulclnq 7489	. . . 4 ⊢ (([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ∈ Q)
79	61, 68, 78	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ∈ Q)
80		mulclnq 7489	. . . 4 ⊢ (([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ∈ Q)
81	67, 68, 80	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ∈ Q)
82		simplr1 1042	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
83		simplr2 1043	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐴 ∈ 𝐿)
84		elprnql 7594	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ Q)
85	82, 83, 84	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐴 ∈ Q)
86		ltanqg 7513	. . 3 ⊢ ((([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ∈ Q ∧ ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) <_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ↔ (𝐴 +_Q ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)) <_Q (𝐴 +_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))))
87	79, 81, 85, 86	syl3anc 1250	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) <_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ↔ (𝐴 +_Q ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)) <_Q (𝐴 +_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))))
88	77, 87	mpbid 147	1 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +_Q ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)) <_Q (𝐴 +_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∧ w3a 981 = wceq 1373 ∈ wcel 2176 ⊆ wss 3166 ⟨cop 3636 class class class wbr 4044 suc csuc 4412 ωcom 4638 × cxp 4673 (class class class)co 5944 1_oc1o 6495 2_oc2o 6496 +_o coa 6499 [cec 6618 / cqs 6619 Ncnpi 7385 ·_N cmi 7387 <_N clti 7388 ~_Q ceq 7392 Qcnq 7393 +_Q cplq 7395 ·_Q cmq 7396 <_Q cltq 7398 Pcnp 7404

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1470 ax-7 1471 ax-gen 1472 ax-ie1 1516 ax-ie2 1517 ax-8 1527 ax-10 1528 ax-11 1529 ax-i12 1530 ax-bndl 1532 ax-4 1533 ax-17 1549 ax-i9 1553 ax-ial 1557 ax-i5r 1558 ax-13 2178 ax-14 2179 ax-ext 2187 ax-coll 4159 ax-sep 4162 ax-nul 4170 ax-pow 4218 ax-pr 4253 ax-un 4480 ax-setind 4585 ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1484 df-sb 1786 df-eu 2057 df-mo 2058 df-clab 2192 df-cleq 2198 df-clel 2201 df-nfc 2337 df-ne 2377 df-ral 2489 df-rex 2490 df-reu 2491 df-rab 2493 df-v 2774 df-sbc 2999 df-csb 3094 df-dif 3168 df-un 3170 df-in 3172 df-ss 3179 df-nul 3461 df-pw 3618 df-sn 3639 df-pr 3640 df-op 3642 df-uni 3851 df-int 3886 df-iun 3929 df-br 4045 df-opab 4106 df-mpt 4107 df-tr 4143 df-eprel 4336 df-id 4340 df-iord 4413 df-on 4415 df-suc 4418 df-iom 4639 df-xp 4681 df-rel 4682 df-cnv 4683 df-co 4684 df-dm 4685 df-rn 4686 df-res 4687 df-ima 4688 df-iota 5232 df-fun 5273 df-fn 5274 df-f 5275 df-f1 5276 df-fo 5277 df-f1o 5278 df-fv 5279 df-ov 5947 df-oprab 5948 df-mpo 5949 df-1st 6226 df-2nd 6227 df-recs 6391 df-irdg 6456 df-1o 6502 df-2o 6503 df-oadd 6506 df-omul 6507 df-er 6620 df-ec 6622 df-qs 6626 df-ni 7417 df-pli 7418 df-mi 7419 df-lti 7420 df-plpq 7457 df-mpq 7458 df-enq 7460 df-nqqs 7461 df-plqqs 7462 df-mqqs 7463 df-ltnqqs 7466 df-inp 7579

This theorem is referenced by: prarloclem3step 7609

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