prarloclemlt - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem prarloclemlt 7434

Description: Two possible ways of contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7444. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)

**Assertion**
Ref	Expression
prarloclemlt	⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +_Q ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)) <_Q (𝐴 +_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)))

**Proof of Theorem prarloclemlt**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2_o ∈ ω
2		nnacl 6448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 2_o ∈ ω) → (𝑦 +_o 2_o) ∈ ω)
3	1, 2	mpan2 422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +_o 2_o) ∈ ω)
4		nnaword1 6481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 +_o 2_o) ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +_o 2_o) ⊆ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
5	3, 4	sylan 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +_o 2_o) ⊆ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
6		1oex 6392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1_o ∈ V
7	6	sucid 4395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1_o ∈ suc 1_o
8		df-2o 6385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2_o = suc 1_o
9	7, 8	eleqtrri 2242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1_o ∈ 2_o
10		nnaordi 6476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2_o ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (1_o ∈ 2_o → (𝑦 +_o 1_o) ∈ (𝑦 +_o 2_o)))
11	1, 10	mpan 421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (1_o ∈ 2_o → (𝑦 +_o 1_o) ∈ (𝑦 +_o 2_o)))
12	9, 11	mpi 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +_o 1_o) ∈ (𝑦 +_o 2_o))
13	12	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +_o 1_o) ∈ (𝑦 +_o 2_o))
14	5, 13	sseldd 3143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +_o 1_o) ∈ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
15	14	ancoms 266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +_o 1_o) ∈ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
16		1pi 7256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1_o ∈ N
17		nnppipi 7284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 1_o ∈ N) → (𝑦 +_o 1_o) ∈ N)
18	16, 17	mpan2 422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +_o 1_o) ∈ N)
19	18	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +_o 1_o) ∈ N)
20		o1p1e2 6436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1_o +_o 1_o) = 2_o
21		1onn 6488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1_o ∈ ω
22		nnppipi 7284	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1_o ∈ ω ∧ 1_o ∈ N) → (1_o +_o 1_o) ∈ N)
23	21, 16, 22	mp2an 423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1_o +_o 1_o) ∈ N
24	20, 23	eqeltrri 2240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2_o ∈ N
25		nnppipi 7284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 2_o ∈ N) → (𝑦 +_o 2_o) ∈ N)
26	24, 25	mpan2 422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +_o 2_o) ∈ N)
27		pinn 7250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 +_o 2_o) ∈ N → (𝑦 +_o 2_o) ∈ ω)
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +_o 2_o) ∈ ω)
29		nnacom 6452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ (𝑦 +_o 2_o) ∈ ω) → (𝑋 +_o (𝑦 +_o 2_o)) = ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
30	28, 29	sylan2 284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑋 +_o (𝑦 +_o 2_o)) = ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
31		nnppipi 7284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ (𝑦 +_o 2_o) ∈ N) → (𝑋 +_o (𝑦 +_o 2_o)) ∈ N)
32	26, 31	sylan2 284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑋 +_o (𝑦 +_o 2_o)) ∈ N)
33	30, 32	eqeltrrd 2244	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N)
34		ltpiord 7260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 +_o 1_o) ∈ N ∧ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N) → ((𝑦 +_o 1_o) <_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ↔ (𝑦 +_o 1_o) ∈ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)))
35	19, 33, 34	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +_o 1_o) <_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ↔ (𝑦 +_o 1_o) ∈ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)))
36	15, 35	mpbird 166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +_o 1_o) <_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
37		mulidpi 7259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 +_o 1_o) ∈ N → ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) = (𝑦 +_o 1_o))
38	19, 37	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) = (𝑦 +_o 1_o))
39		mulcompig 7272	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N ∧ 1_o ∈ N) → (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ·_N 1_o) = (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)))
40	33, 16, 39	sylancl 410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ·_N 1_o) = (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)))
41		mulidpi 7259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N → (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ·_N 1_o) = ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
42	33, 41	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ·_N 1_o) = ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
43	40, 42	eqtr3d 2200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)) = ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
44	38, 43	breq12d 3995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)) ↔ (𝑦 +_o 1_o) <_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)))
45	36, 44	mpbird 166	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)))
46		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
47		ordpipqqs 7315	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 +_o 1_o) ∈ N ∧ 1_o ∈ N) ∧ (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N ∧ 1_o ∈ N)) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))))
48	16, 47	mpanl2 432	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 +_o 1_o) ∈ N ∧ (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N ∧ 1_o ∈ N)) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))))
49	16, 48	mpanr2 435	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 +_o 1_o) ∈ N ∧ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))))
50	18, 49	sylan 281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))))
51	46, 33, 50	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))))
52	45, 51	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q )
53	52	adantlr 469	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q )
54		opelxpi 4636	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 +_o 1_o) ∈ N ∧ 1_o ∈ N) → ⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩ ∈ (N × N))
55	19, 16, 54	sylancl 410	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩ ∈ (N × N))
56		enqex 7301	. . . . . . . . 9 ⊢ ~_Q ∈ V
57	56	ecelqsi 6555	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ ((N × N) / ~_Q ))
58	55, 57	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ ((N × N) / ~_Q ))
59		df-nqqs 7289	. . . . . . 7 ⊢ Q = ((N × N) / ~_Q )
60	58, 59	eleqtrrdi 2260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q)
61	60	adantlr 469	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q)
62		opelxpi 4636	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N ∧ 1_o ∈ N) → ⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩ ∈ (N × N))
63	33, 16, 62	sylancl 410	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩ ∈ (N × N))
64	56	ecelqsi 6555	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩ ∈ (N × N) → [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ ((N × N) / ~_Q ))
65	63, 64	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ ((N × N) / ~_Q ))
66	65, 59	eleqtrrdi 2260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q)
67	66	adantlr 469	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q)
68		simplr3 1031	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑃 ∈ Q)
69		ltmnqg 7342	. . . . 5 ⊢ (([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q ∧ [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ (𝑃 ·_Q [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ) <_Q (𝑃 ·_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q )))
70	61, 67, 68, 69	syl3anc 1228	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ (𝑃 ·_Q [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ) <_Q (𝑃 ·_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q )))
71	53, 70	mpbid 146	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑃 ·_Q [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ) <_Q (𝑃 ·_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ))
72		mulcomnqg 7324	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Q ∧ [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q) → (𝑃 ·_Q [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ) = ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))
73	68, 61, 72	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑃 ·_Q [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ) = ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))
74		mulcomnqg 7324	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Q ∧ [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q) → (𝑃 ·_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ) = ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))
75	68, 67, 74	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑃 ·_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ) = ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))
76	73, 75	breq12d 3995	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑃 ·_Q [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ) <_Q (𝑃 ·_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ) ↔ ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) <_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)))
77	71, 76	mpbid 146	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) <_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))
78		mulclnq 7317	. . . 4 ⊢ (([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ∈ Q)
79	61, 68, 78	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ∈ Q)
80		mulclnq 7317	. . . 4 ⊢ (([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ∈ Q)
81	67, 68, 80	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ∈ Q)
82		simplr1 1029	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
83		simplr2 1030	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐴 ∈ 𝐿)
84		elprnql 7422	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ Q)
85	82, 83, 84	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐴 ∈ Q)
86		ltanqg 7341	. . 3 ⊢ ((([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ∈ Q ∧ ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) <_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ↔ (𝐴 +_Q ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)) <_Q (𝐴 +_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))))
87	79, 81, 85, 86	syl3anc 1228	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) <_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ↔ (𝐴 +_Q ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)) <_Q (𝐴 +_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))))
88	77, 87	mpbid 146	1 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +_Q ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)) <_Q (𝐴 +_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 103 ↔ wb 104 ∧ w3a 968 = wceq 1343 ∈ wcel 2136 ⊆ wss 3116 ⟨cop 3579 class class class wbr 3982 suc csuc 4343 ωcom 4567 × cxp 4602 (class class class)co 5842 1_oc1o 6377 2_oc2o 6378 +_o coa 6381 [cec 6499 / cqs 6500 Ncnpi 7213 ·_N cmi 7215 <_N clti 7216 ~_Q ceq 7220 Qcnq 7221 +_Q cplq 7223 ·_Q cmq 7224 <_Q cltq 7226 Pcnp 7232

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-coll 4097 ax-sep 4100 ax-nul 4108 ax-pow 4153 ax-pr 4187 ax-un 4411 ax-setind 4514 ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 825 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2297 df-ne 2337 df-ral 2449 df-rex 2450 df-reu 2451 df-rab 2453 df-v 2728 df-sbc 2952 df-csb 3046 df-dif 3118 df-un 3120 df-in 3122 df-ss 3129 df-nul 3410 df-pw 3561 df-sn 3582 df-pr 3583 df-op 3585 df-uni 3790 df-int 3825 df-iun 3868 df-br 3983 df-opab 4044 df-mpt 4045 df-tr 4081 df-eprel 4267 df-id 4271 df-iord 4344 df-on 4346 df-suc 4349 df-iom 4568 df-xp 4610 df-rel 4611 df-cnv 4612 df-co 4613 df-dm 4614 df-rn 4615 df-res 4616 df-ima 4617 df-iota 5153 df-fun 5190 df-fn 5191 df-f 5192 df-f1 5193 df-fo 5194 df-f1o 5195 df-fv 5196 df-ov 5845 df-oprab 5846 df-mpo 5847 df-1st 6108 df-2nd 6109 df-recs 6273 df-irdg 6338 df-1o 6384 df-2o 6385 df-oadd 6388 df-omul 6389 df-er 6501 df-ec 6503 df-qs 6507 df-ni 7245 df-pli 7246 df-mi 7247 df-lti 7248 df-plpq 7285 df-mpq 7286 df-enq 7288 df-nqqs 7289 df-plqqs 7290 df-mqqs 7291 df-ltnqqs 7294 df-inp 7407

This theorem is referenced by: prarloclem3step 7437

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