prarloclemlt - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem prarloclemlt 7703

Description: Two possible ways of contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7713. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)

**Assertion**
Ref	Expression
prarloclemlt	⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +_Q ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)) <_Q (𝐴 +_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)))

**Proof of Theorem prarloclemlt**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6684	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2_o ∈ ω
2		nnacl 6643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 2_o ∈ ω) → (𝑦 +_o 2_o) ∈ ω)
3	1, 2	mpan2 425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +_o 2_o) ∈ ω)
4		nnaword1 6676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 +_o 2_o) ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +_o 2_o) ⊆ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
5	3, 4	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +_o 2_o) ⊆ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
6		1oex 6585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1_o ∈ V
7	6	sucid 4512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1_o ∈ suc 1_o
8		df-2o 6578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2_o = suc 1_o
9	7, 8	eleqtrri 2305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1_o ∈ 2_o
10		nnaordi 6671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2_o ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (1_o ∈ 2_o → (𝑦 +_o 1_o) ∈ (𝑦 +_o 2_o)))
11	1, 10	mpan 424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (1_o ∈ 2_o → (𝑦 +_o 1_o) ∈ (𝑦 +_o 2_o)))
12	9, 11	mpi 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +_o 1_o) ∈ (𝑦 +_o 2_o))
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +_o 1_o) ∈ (𝑦 +_o 2_o))
14	5, 13	sseldd 3226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +_o 1_o) ∈ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
15	14	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +_o 1_o) ∈ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
16		1pi 7525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1_o ∈ N
17		nnppipi 7553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 1_o ∈ N) → (𝑦 +_o 1_o) ∈ N)
18	16, 17	mpan2 425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +_o 1_o) ∈ N)
19	18	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +_o 1_o) ∈ N)
20		o1p1e2 6631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1_o +_o 1_o) = 2_o
21		1onn 6683	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1_o ∈ ω
22		nnppipi 7553	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1_o ∈ ω ∧ 1_o ∈ N) → (1_o +_o 1_o) ∈ N)
23	21, 16, 22	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1_o +_o 1_o) ∈ N
24	20, 23	eqeltrri 2303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2_o ∈ N
25		nnppipi 7553	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 2_o ∈ N) → (𝑦 +_o 2_o) ∈ N)
26	24, 25	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +_o 2_o) ∈ N)
27		pinn 7519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 +_o 2_o) ∈ N → (𝑦 +_o 2_o) ∈ ω)
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +_o 2_o) ∈ ω)
29		nnacom 6647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ (𝑦 +_o 2_o) ∈ ω) → (𝑋 +_o (𝑦 +_o 2_o)) = ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
30	28, 29	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑋 +_o (𝑦 +_o 2_o)) = ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
31		nnppipi 7553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ (𝑦 +_o 2_o) ∈ N) → (𝑋 +_o (𝑦 +_o 2_o)) ∈ N)
32	26, 31	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑋 +_o (𝑦 +_o 2_o)) ∈ N)
33	30, 32	eqeltrrd 2307	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N)
34		ltpiord 7529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 +_o 1_o) ∈ N ∧ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N) → ((𝑦 +_o 1_o) <_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ↔ (𝑦 +_o 1_o) ∈ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)))
35	19, 33, 34	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +_o 1_o) <_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ↔ (𝑦 +_o 1_o) ∈ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)))
36	15, 35	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +_o 1_o) <_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
37		mulidpi 7528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 +_o 1_o) ∈ N → ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) = (𝑦 +_o 1_o))
38	19, 37	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) = (𝑦 +_o 1_o))
39		mulcompig 7541	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N ∧ 1_o ∈ N) → (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ·_N 1_o) = (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)))
40	33, 16, 39	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ·_N 1_o) = (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)))
41		mulidpi 7528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N → (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ·_N 1_o) = ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
42	33, 41	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ·_N 1_o) = ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
43	40, 42	eqtr3d 2264	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)) = ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))
44	38, 43	breq12d 4099	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)) ↔ (𝑦 +_o 1_o) <_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)))
45	36, 44	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋)))
46		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
47		ordpipqqs 7584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 +_o 1_o) ∈ N ∧ 1_o ∈ N) ∧ (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N ∧ 1_o ∈ N)) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))))
48	16, 47	mpanl2 435	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 +_o 1_o) ∈ N ∧ (((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N ∧ 1_o ∈ N)) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))))
49	16, 48	mpanr2 438	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 +_o 1_o) ∈ N ∧ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))))
50	18, 49	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))))
51	46, 33, 50	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ ((𝑦 +_o 1_o) ·_N 1_o) <_N (1_o ·_N ((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋))))
52	45, 51	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q )
53	52	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q )
54		opelxpi 4755	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 +_o 1_o) ∈ N ∧ 1_o ∈ N) → ⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩ ∈ (N × N))
55	19, 16, 54	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩ ∈ (N × N))
56		enqex 7570	. . . . . . . . 9 ⊢ ~_Q ∈ V
57	56	ecelqsi 6753	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ ((N × N) / ~_Q ))
58	55, 57	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ ((N × N) / ~_Q ))
59		df-nqqs 7558	. . . . . . 7 ⊢ Q = ((N × N) / ~_Q )
60	58, 59	eleqtrrdi 2323	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q)
61	60	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q)
62		opelxpi 4755	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋) ∈ N ∧ 1_o ∈ N) → ⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩ ∈ (N × N))
63	33, 16, 62	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩ ∈ (N × N))
64	56	ecelqsi 6753	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩ ∈ (N × N) → [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ ((N × N) / ~_Q ))
65	63, 64	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ ((N × N) / ~_Q ))
66	65, 59	eleqtrrdi 2323	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q)
67	66	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q)
68		simplr3 1065	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑃 ∈ Q)
69		ltmnqg 7611	. . . . 5 ⊢ (([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q ∧ [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ (𝑃 ·_Q [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ) <_Q (𝑃 ·_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q )))
70	61, 67, 68, 69	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q <_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ↔ (𝑃 ·_Q [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ) <_Q (𝑃 ·_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q )))
71	53, 70	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑃 ·_Q [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ) <_Q (𝑃 ·_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ))
72		mulcomnqg 7593	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Q ∧ [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q) → (𝑃 ·_Q [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ) = ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))
73	68, 61, 72	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑃 ·_Q [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ) = ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))
74		mulcomnqg 7593	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Q ∧ [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q) → (𝑃 ·_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ) = ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))
75	68, 67, 74	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑃 ·_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ) = ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))
76	73, 75	breq12d 4099	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑃 ·_Q [⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ) <_Q (𝑃 ·_Q [⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ) ↔ ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) <_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)))
77	71, 76	mpbid 147	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) <_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))
78		mulclnq 7586	. . . 4 ⊢ (([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ∈ Q)
79	61, 68, 78	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ∈ Q)
80		mulclnq 7586	. . . 4 ⊢ (([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ∈ Q)
81	67, 68, 80	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ∈ Q)
82		simplr1 1063	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
83		simplr2 1064	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐴 ∈ 𝐿)
84		elprnql 7691	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ Q)
85	82, 83, 84	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐴 ∈ Q)
86		ltanqg 7610	. . 3 ⊢ ((([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ∈ Q ∧ ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) <_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ↔ (𝐴 +_Q ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)) <_Q (𝐴 +_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))))
87	79, 81, 85, 86	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) <_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃) ↔ (𝐴 +_Q ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)) <_Q (𝐴 +_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃))))
88	77, 87	mpbid 147	1 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +_Q ([⟨(𝑦 +_o 1_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)) <_Q (𝐴 +_Q ([⟨((𝑦 +_o 2_o) +_o 𝑋), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑃)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∧ w3a 1002 = wceq 1395 ∈ wcel 2200 ⊆ wss 3198 ⟨cop 3670 class class class wbr 4086 suc csuc 4460 ωcom 4686 × cxp 4721 (class class class)co 6013 1_oc1o 6570 2_oc2o 6571 +_o coa 6574 [cec 6695 / cqs 6696 Ncnpi 7482 ·_N cmi 7484 <_N clti 7485 ~_Q ceq 7489 Qcnq 7490 +_Q cplq 7492 ·_Q cmq 7493 <_Q cltq 7495 Pcnp 7501

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4202 ax-sep 4205 ax-nul 4213 ax-pow 4262 ax-pr 4297 ax-un 4528 ax-setind 4633 ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rab 2517 df-v 2802 df-sbc 3030 df-csb 3126 df-dif 3200 df-un 3202 df-in 3204 df-ss 3211 df-nul 3493 df-pw 3652 df-sn 3673 df-pr 3674 df-op 3676 df-uni 3892 df-int 3927 df-iun 3970 df-br 4087 df-opab 4149 df-mpt 4150 df-tr 4186 df-eprel 4384 df-id 4388 df-iord 4461 df-on 4463 df-suc 4466 df-iom 4687 df-xp 4729 df-rel 4730 df-cnv 4731 df-co 4732 df-dm 4733 df-rn 4734 df-res 4735 df-ima 4736 df-iota 5284 df-fun 5326 df-fn 5327 df-f 5328 df-f1 5329 df-fo 5330 df-f1o 5331 df-fv 5332 df-ov 6016 df-oprab 6017 df-mpo 6018 df-1st 6298 df-2nd 6299 df-recs 6466 df-irdg 6531 df-1o 6577 df-2o 6578 df-oadd 6581 df-omul 6582 df-er 6697 df-ec 6699 df-qs 6703 df-ni 7514 df-pli 7515 df-mi 7516 df-lti 7517 df-plpq 7554 df-mpq 7555 df-enq 7557 df-nqqs 7558 df-plqqs 7559 df-mqqs 7560 df-ltnqqs 7563 df-inp 7676

This theorem is referenced by: prarloclem3step 7706

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