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Theorem prarloclemlt 7324
Description: Two possible ways of contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7334. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemlt (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))

Proof of Theorem prarloclemlt
StepHypRef Expression
1 2onn 6424 . . . . . . . . . . . 12 2o ∈ ω
2 nnacl 6383 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ω ∧ 2o ∈ ω) → (𝑦 +o 2o) ∈ ω)
31, 2mpan2 422 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +o 2o) ∈ ω)
4 nnaword1 6416 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 +o 2o) ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +o 2o) ⊆ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
53, 4sylan 281 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +o 2o) ⊆ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
6 1oex 6328 . . . . . . . . . . . . . 14 1o ∈ V
76sucid 4346 . . . . . . . . . . . . 13 1o ∈ suc 1o
8 df-2o 6321 . . . . . . . . . . . . 13 2o = suc 1o
97, 8eleqtrri 2216 . . . . . . . . . . . 12 1o ∈ 2o
10 nnaordi 6411 . . . . . . . . . . . . 13 ((2o ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (1o ∈ 2o → (𝑦 +o 1o) ∈ (𝑦 +o 2o)))
111, 10mpan 421 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ω → (1o ∈ 2o → (𝑦 +o 1o) ∈ (𝑦 +o 2o)))
129, 11mpi 15 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +o 1o) ∈ (𝑦 +o 2o))
1312adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +o 1o) ∈ (𝑦 +o 2o))
145, 13sseldd 3102 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +o 1o) ∈ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
1514ancoms 266 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +o 1o) ∈ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
16 1pi 7146 . . . . . . . . . . 11 1oN
17 nnppipi 7174 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ω ∧ 1oN) → (𝑦 +o 1o) ∈ N)
1816, 17mpan2 422 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +o 1o) ∈ N)
1918adantl 275 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +o 1o) ∈ N)
20 o1p1e2 6371 . . . . . . . . . . . . . 14 (1o +o 1o) = 2o
21 1onn 6423 . . . . . . . . . . . . . . 15 1o ∈ ω
22 nnppipi 7174 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1o ∈ ω ∧ 1oN) → (1o +o 1o) ∈ N)
2321, 16, 22mp2an 423 . . . . . . . . . . . . . 14 (1o +o 1o) ∈ N
2420, 23eqeltrri 2214 . . . . . . . . . . . . 13 2oN
25 nnppipi 7174 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ω ∧ 2oN) → (𝑦 +o 2o) ∈ N)
2624, 25mpan2 422 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +o 2o) ∈ N)
27 pinn 7140 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 +o 2o) ∈ N → (𝑦 +o 2o) ∈ ω)
2826, 27syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +o 2o) ∈ ω)
29 nnacom 6387 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ω ∧ (𝑦 +o 2o) ∈ ω) → (𝑋 +o (𝑦 +o 2o)) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
3028, 29sylan2 284 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑋 +o (𝑦 +o 2o)) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
31 nnppipi 7174 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ω ∧ (𝑦 +o 2o) ∈ N) → (𝑋 +o (𝑦 +o 2o)) ∈ N)
3226, 31sylan2 284 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑋 +o (𝑦 +o 2o)) ∈ N)
3330, 32eqeltrrd 2218 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N)
34 ltpiord 7150 . . . . . . . . 9 (((𝑦 +o 1o) ∈ N ∧ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N) → ((𝑦 +o 1o) <N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ↔ (𝑦 +o 1o) ∈ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)))
3519, 33, 34syl2anc 409 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +o 1o) <N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ↔ (𝑦 +o 1o) ∈ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)))
3615, 35mpbird 166 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +o 1o) <N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
37 mulidpi 7149 . . . . . . . . 9 ((𝑦 +o 1o) ∈ N → ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) = (𝑦 +o 1o))
3819, 37syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) = (𝑦 +o 1o))
39 mulcompig 7162 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N ∧ 1oN) → (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ·N 1o) = (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)))
4033, 16, 39sylancl 410 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ·N 1o) = (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)))
41 mulidpi 7149 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N → (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ·N 1o) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
4233, 41syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ·N 1o) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
4340, 42eqtr3d 2175 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
4438, 43breq12d 3949 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)) ↔ (𝑦 +o 1o) <N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)))
4536, 44mpbird 166 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)))
46 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
47 ordpipqqs 7205 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 +o 1o) ∈ N ∧ 1oN) ∧ (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N ∧ 1oN)) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))))
4816, 47mpanl2 432 . . . . . . . . 9 (((𝑦 +o 1o) ∈ N ∧ (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N ∧ 1oN)) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))))
4916, 48mpanr2 435 . . . . . . . 8 (((𝑦 +o 1o) ∈ N ∧ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))))
5018, 49sylan 281 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ω ∧ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))))
5146, 33, 50syl2anc 409 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))))
5245, 51mpbird 166 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q )
5352adantlr 469 . . . 4 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q )
54 opelxpi 4578 . . . . . . . . 9 (((𝑦 +o 1o) ∈ N ∧ 1oN) → ⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩ ∈ (N × N))
5519, 16, 54sylancl 410 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩ ∈ (N × N))
56 enqex 7191 . . . . . . . . 9 ~Q ∈ V
5756ecelqsi 6490 . . . . . . . 8 (⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
5855, 57syl 14 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
59 df-nqqs 7179 . . . . . . 7 Q = ((N × N) / ~Q )
6058, 59eleqtrrdi 2234 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~QQ)
6160adantlr 469 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~QQ)
62 opelxpi 4578 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N ∧ 1oN) → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩ ∈ (N × N))
6333, 16, 62sylancl 410 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩ ∈ (N × N))
6456ecelqsi 6490 . . . . . . . 8 (⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6563, 64syl 14 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6665, 59eleqtrrdi 2234 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~QQ)
6766adantlr 469 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~QQ)
68 simplr3 1026 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑃Q)
69 ltmnqg 7232 . . . . 5 (([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~QQ ∧ [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~QQ𝑃Q) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑃 ·Q [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ) <Q (𝑃 ·Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q )))
7061, 67, 68, 69syl3anc 1217 . . . 4 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑃 ·Q [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ) <Q (𝑃 ·Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q )))
7153, 70mpbid 146 . . 3 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑃 ·Q [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ) <Q (𝑃 ·Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ))
72 mulcomnqg 7214 . . . . 5 ((𝑃Q ∧ [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~QQ) → (𝑃 ·Q [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ) = ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
7368, 61, 72syl2anc 409 . . . 4 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑃 ·Q [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ) = ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
74 mulcomnqg 7214 . . . . 5 ((𝑃Q ∧ [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~QQ) → (𝑃 ·Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
7568, 67, 74syl2anc 409 . . . 4 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑃 ·Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
7673, 75breq12d 3949 . . 3 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑃 ·Q [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ) <Q (𝑃 ·Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ) ↔ ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) <Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
7771, 76mpbid 146 . 2 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) <Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
78 mulclnq 7207 . . . 4 (([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~QQ𝑃Q) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q)
7961, 68, 78syl2anc 409 . . 3 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q)
80 mulclnq 7207 . . . 4 (([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~QQ𝑃Q) → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q)
8167, 68, 80syl2anc 409 . . 3 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q)
82 simplr1 1024 . . . 4 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
83 simplr2 1025 . . . 4 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐴𝐿)
84 elprnql 7312 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) → 𝐴Q)
8582, 83, 84syl2anc 409 . . 3 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐴Q)
86 ltanqg 7231 . . 3 ((([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q ∧ ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q𝐴Q) → (([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) <Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ↔ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))))
8779, 81, 85, 86syl3anc 1217 . 2 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) <Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ↔ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))))
8877, 87mpbid 146 1 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 963   = wceq 1332  wcel 1481  wss 3075  cop 3534   class class class wbr 3936  suc csuc 4294  ωcom 4511   × cxp 4544  (class class class)co 5781  1oc1o 6313  2oc2o 6314   +o coa 6317  [cec 6434   / cqs 6435  Ncnpi 7103   ·N cmi 7105   <N clti 7106   ~Q ceq 7110  Qcnq 7111   +Q cplq 7113   ·Q cmq 7114   <Q cltq 7116  Pcnp 7122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-eprel 4218  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-irdg 6274  df-1o 6320  df-2o 6321  df-oadd 6324  df-omul 6325  df-er 6436  df-ec 6438  df-qs 6442  df-ni 7135  df-pli 7136  df-mi 7137  df-lti 7138  df-plpq 7175  df-mpq 7176  df-enq 7178  df-nqqs 7179  df-plqqs 7180  df-mqqs 7181  df-ltnqqs 7184  df-inp 7297
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