Theorem prarloclemlt 7510

Description: Two possible ways of contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7520. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemlt	⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))

Proof of Theorem prarloclemlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2o ∈ ω
2		nnacl 6499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 2o ∈ ω) → (𝑦 +o 2o) ∈ ω)
3	1, 2	mpan2 425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +o 2o) ∈ ω)
4		nnaword1 6532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 +o 2o) ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +o 2o) ⊆ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
5	3, 4	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +o 2o) ⊆ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
6		1oex 6443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1o ∈ V
7	6	sucid 4432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1o ∈ suc 1o
8		df-2o 6436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2o = suc 1o
9	7, 8	eleqtrri 2265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ 2o
10		nnaordi 6527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (1o ∈ 2o → (𝑦 +o 1o) ∈ (𝑦 +o 2o)))
11	1, 10	mpan 424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (1o ∈ 2o → (𝑦 +o 1o) ∈ (𝑦 +o 2o)))
12	9, 11	mpi 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +o 1o) ∈ (𝑦 +o 2o))
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +o 1o) ∈ (𝑦 +o 2o))
14	5, 13	sseldd 3171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ ω) → (𝑦 +o 1o) ∈ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
15	14	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +o 1o) ∈ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
16		1pi 7332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ N
17		nnppipi 7360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 1o ∈ N) → (𝑦 +o 1o) ∈ N)
18	16, 17	mpan2 425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +o 1o) ∈ N)
19	18	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +o 1o) ∈ N)
20		o1p1e2 6487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1o +o 1o) = 2o
21		1onn 6539	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1o ∈ ω
22		nnppipi 7360	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 1o ∈ N) → (1o +o 1o) ∈ N)
23	21, 16, 22	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1o +o 1o) ∈ N
24	20, 23	eqeltrri 2263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2o ∈ N
25		nnppipi 7360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 2o ∈ N) → (𝑦 +o 2o) ∈ N)
26	24, 25	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +o 2o) ∈ N)
27		pinn 7326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 +o 2o) ∈ N → (𝑦 +o 2o) ∈ ω)
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 +o 2o) ∈ ω)
29		nnacom 6503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ (𝑦 +o 2o) ∈ ω) → (𝑋 +o (𝑦 +o 2o)) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
30	28, 29	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑋 +o (𝑦 +o 2o)) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
31		nnppipi 7360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ (𝑦 +o 2o) ∈ N) → (𝑋 +o (𝑦 +o 2o)) ∈ N)
32	26, 31	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑋 +o (𝑦 +o 2o)) ∈ N)
33	30, 32	eqeltrrd 2267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N)
34		ltpiord 7336	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 +o 1o) ∈ N ∧ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N) → ((𝑦 +o 1o) <N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ↔ (𝑦 +o 1o) ∈ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)))
35	19, 33, 34	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +o 1o) <N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ↔ (𝑦 +o 1o) ∈ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)))
36	15, 35	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +o 1o) <N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
37		mulidpi 7335	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 +o 1o) ∈ N → ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) = (𝑦 +o 1o))
38	19, 37	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) = (𝑦 +o 1o))
39		mulcompig 7348	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ·N 1o) = (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)))
40	33, 16, 39	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ·N 1o) = (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)))
41		mulidpi 7335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N → (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ·N 1o) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
42	33, 41	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ·N 1o) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
43	40, 42	eqtr3d 2224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)) = ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))
44	38, 43	breq12d 4031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)) ↔ (𝑦 +o 1o) <N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)))
45	36, 44	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋)))
46		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
47		ordpipqqs 7391	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 +o 1o) ∈ N ∧ 1o ∈ N) ∧ (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N ∧ 1o ∈ N)) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))))
48	16, 47	mpanl2 435	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 +o 1o) ∈ N ∧ (((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N ∧ 1o ∈ N)) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))))
49	16, 48	mpanr2 438	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 +o 1o) ∈ N ∧ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))))
50	18, 49	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))))
51	46, 33, 50	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ ((𝑦 +o 1o) ·N 1o) <N (1o ·N ((𝑦 +o 2o) +o 𝑋))))
52	45, 51	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q )
53	52	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q )
54		opelxpi 4673	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 +o 1o) ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩ ∈ (N × N))
55	19, 16, 54	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩ ∈ (N × N))
56		enqex 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ ~Q ∈ V
57	56	ecelqsi 6607	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
58	55, 57	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
59		df-nqqs 7365	. . . . . . 7 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
60	58, 59	eleqtrrdi 2283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ∈ Q)
61	60	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ∈ Q)
62		opelxpi 4673	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 +o 2o) +o 𝑋) ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩ ∈ (N × N))
63	33, 16, 62	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩ ∈ (N × N))
64	56	ecelqsi 6607	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
65	63, 64	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
66	65, 59	eleqtrrdi 2283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ∈ Q)
67	66	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ∈ Q)
68		simplr3 1043	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑃 ∈ Q)
69		ltmnqg 7418	. . . . 5 ⊢ (([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑃 ·Q [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ) <Q (𝑃 ·Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q )))
70	61, 67, 68, 69	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q <Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑃 ·Q [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ) <Q (𝑃 ·Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q )))
71	53, 70	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑃 ·Q [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ) <Q (𝑃 ·Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ))
72		mulcomnqg 7400	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Q ∧ [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ∈ Q) → (𝑃 ·Q [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ) = ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
73	68, 61, 72	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑃 ·Q [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ) = ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
74		mulcomnqg 7400	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Q ∧ [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ∈ Q) → (𝑃 ·Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
75	68, 67, 74	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑃 ·Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ) = ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
76	73, 75	breq12d 4031	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑃 ·Q [⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ) <Q (𝑃 ·Q [⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ) ↔ ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) <Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
77	71, 76	mpbid 147	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) <Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))
78		mulclnq 7393	. . . 4 ⊢ (([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q)
79	61, 68, 78	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q)
80		mulclnq 7393	. . . 4 ⊢ (([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q)
81	67, 68, 80	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q)
82		simplr1 1041	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
83		simplr2 1042	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐴 ∈ 𝐿)
84		elprnql 7498	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ Q)
85	82, 83, 84	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐴 ∈ Q)
86		ltanqg 7417	. . 3 ⊢ ((([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q ∧ ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) <Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ↔ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))))
87	79, 81, 85, 86	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) <Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃) ↔ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃))))
88	77, 87	mpbid 147	1 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +o 1o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑋), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ⊆ wss 3144  ⟨cop 3610   class class class wbr 4018  suc csuc 4380  ωcom 4604   × cxp 4639  (class class class)co 5891  1_oc1o 6428  2_oc2o 6429   +_o coa 6432  [cec 6551   / cqs 6552  Ncnpi 7289   ·_N cmi 7291   <_N clti 7292   ~_Q ceq 7296  Qcnq 7297   +_Q cplq 7299   ·_Q cmq 7300   <_Q cltq 7302  Pcnp 7308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4304  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-1o 6435  df-2o 6436  df-oadd 6439  df-omul 6440  df-er 6553  df-ec 6555  df-qs 6559  df-ni 7321  df-pli 7322  df-mi 7323  df-lti 7324  df-plpq 7361  df-mpq 7362  df-enq 7364  df-nqqs 7365  df-plqqs 7366  df-mqqs 7367  df-ltnqqs 7370  df-inp 7483

This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7513