ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltmpig GIF version

Theorem ltmpig 6995
Description: Ordering property of multiplication for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltmpig ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵)))

Proof of Theorem ltmpig
StepHypRef Expression
1 pinn 6965 . . . . 5 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 pinn 6965 . . . . 5 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
3 elni2 6970 . . . . . 6 (𝐶N ↔ (𝐶 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐶))
4 iba 295 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ 𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐶)))
5 nnmord 6316 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐶) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
64, 5sylan9bbr 452 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
763exp1 1166 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (𝐶 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵))))))
87imp4b 343 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐶 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵))))
93, 8syl5bi 151 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐶N → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵))))
101, 2, 9syl2an 284 . . . 4 ((𝐴N𝐵N) → (𝐶N → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵))))
1110imp 123 . . 3 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
12 ltpiord 6975 . . . 4 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
1312adantr 271 . . 3 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
14 mulclpi 6984 . . . . . . 7 ((𝐶N𝐴N) → (𝐶 ·N 𝐴) ∈ N)
15 mulclpi 6984 . . . . . . 7 ((𝐶N𝐵N) → (𝐶 ·N 𝐵) ∈ N)
16 ltpiord 6975 . . . . . . 7 (((𝐶 ·N 𝐴) ∈ N ∧ (𝐶 ·N 𝐵) ∈ N) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·N 𝐴) ∈ (𝐶 ·N 𝐵)))
1714, 15, 16syl2an 284 . . . . . 6 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·N 𝐴) ∈ (𝐶 ·N 𝐵)))
18 mulpiord 6973 . . . . . . . 8 ((𝐶N𝐴N) → (𝐶 ·N 𝐴) = (𝐶 ·o 𝐴))
1918adantr 271 . . . . . . 7 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → (𝐶 ·N 𝐴) = (𝐶 ·o 𝐴))
20 mulpiord 6973 . . . . . . . 8 ((𝐶N𝐵N) → (𝐶 ·N 𝐵) = (𝐶 ·o 𝐵))
2120adantl 272 . . . . . . 7 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → (𝐶 ·N 𝐵) = (𝐶 ·o 𝐵))
2219, 21eleq12d 2165 . . . . . 6 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) ∈ (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
2317, 22bitrd 187 . . . . 5 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
2423anandis 560 . . . 4 ((𝐶N ∧ (𝐴N𝐵N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
2524ancoms 265 . . 3 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
2611, 13, 253bitr4d 219 . 2 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵)))
27263impa 1141 1 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 927   = wceq 1296  wcel 1445  c0 3302   class class class wbr 3867  ωcom 4433  (class class class)co 5690   ·o comu 6217  Ncnpi 6928   ·N cmi 6930   <N clti 6931
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-eprel 4140  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-oadd 6223  df-omul 6224  df-ni 6960  df-mi 6962  df-lti 6963
This theorem is referenced by:  ordpipqqs  7030  ltsonq  7054  ltanqg  7056  ltmnqg  7057  1lt2nq  7062
  Copyright terms: Public domain W3C validator