ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltmpig GIF version

Theorem ltmpig 7340
Description: Ordering property of multiplication for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltmpig ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵)))

Proof of Theorem ltmpig
StepHypRef Expression
1 pinn 7310 . . . . 5 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 pinn 7310 . . . . 5 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
3 elni2 7315 . . . . . 6 (𝐶N ↔ (𝐶 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐶))
4 iba 300 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ 𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐶)))
5 nnmord 6520 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐶) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
64, 5sylan9bbr 463 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
763exp1 1223 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (𝐶 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵))))))
87imp4b 350 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐶 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵))))
93, 8biimtrid 152 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐶N → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵))))
101, 2, 9syl2an 289 . . . 4 ((𝐴N𝐵N) → (𝐶N → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵))))
1110imp 124 . . 3 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
12 ltpiord 7320 . . . 4 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
1312adantr 276 . . 3 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
14 mulclpi 7329 . . . . . . 7 ((𝐶N𝐴N) → (𝐶 ·N 𝐴) ∈ N)
15 mulclpi 7329 . . . . . . 7 ((𝐶N𝐵N) → (𝐶 ·N 𝐵) ∈ N)
16 ltpiord 7320 . . . . . . 7 (((𝐶 ·N 𝐴) ∈ N ∧ (𝐶 ·N 𝐵) ∈ N) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·N 𝐴) ∈ (𝐶 ·N 𝐵)))
1714, 15, 16syl2an 289 . . . . . 6 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·N 𝐴) ∈ (𝐶 ·N 𝐵)))
18 mulpiord 7318 . . . . . . . 8 ((𝐶N𝐴N) → (𝐶 ·N 𝐴) = (𝐶 ·o 𝐴))
1918adantr 276 . . . . . . 7 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → (𝐶 ·N 𝐴) = (𝐶 ·o 𝐴))
20 mulpiord 7318 . . . . . . . 8 ((𝐶N𝐵N) → (𝐶 ·N 𝐵) = (𝐶 ·o 𝐵))
2120adantl 277 . . . . . . 7 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → (𝐶 ·N 𝐵) = (𝐶 ·o 𝐵))
2219, 21eleq12d 2248 . . . . . 6 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) ∈ (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
2317, 22bitrd 188 . . . . 5 (((𝐶N𝐴N) ∧ (𝐶N𝐵N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
2423anandis 592 . . . 4 ((𝐶N ∧ (𝐴N𝐵N)) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
2524ancoms 268 . . 3 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵) ↔ (𝐶 ·o 𝐴) ∈ (𝐶 ·o 𝐵)))
2611, 13, 253bitr4d 220 . 2 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵)))
27263impa 1194 1 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ (𝐶 ·N 𝐴) <N (𝐶 ·N 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  c0 3424   class class class wbr 4005  ωcom 4591  (class class class)co 5877   ·o comu 6417  Ncnpi 7273   ·N cmi 7275   <N clti 7276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-ni 7305  df-mi 7307  df-lti 7308
This theorem is referenced by:  ordpipqqs  7375  ltsonq  7399  ltanqg  7401  ltmnqg  7402  1lt2nq  7407
  Copyright terms: Public domain W3C validator