Theorem npnflt 9817

Description: An extended real is less than plus infinity iff they are not equal. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
npnflt	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))

Proof of Theorem npnflt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltpnft 9816	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
2	1	biimpd 144	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 < +∞))
3	2	necon2ad 2404	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ → 𝐴 ≠ +∞))
4		ltpnf 9782	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
5	4	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 < +∞)
6		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
7		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
8	6, 7	pm2.21ddne 2430	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 < +∞)
9		mnfltpnf 9787	. . . . . 6 ⊢ -∞ < +∞
10		breq1 4008	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 < +∞ ↔ -∞ < +∞))
11	9, 10	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 < +∞)
12	11	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 < +∞)
13		elxr 9778	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
14	13	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
15	14	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
16	5, 8, 12, 15	mpjao3dan 1307	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 < +∞)
17	16	ex 115	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≠ +∞ → 𝐴 < +∞))
18	3, 17	impbid 129	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 977   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347   class class class wbr 4005  ℝcr 7812  +∞cpnf 7991  -∞cmnf 7992  ℝ^*cxr 7993   < clt 7994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-pre-ltirr 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999

This theorem is referenced by:  xlt2add  9882  xrmaxadd  11271