Theorem npnflt 9847

Description: An extended real is less than plus infinity iff they are not equal. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
npnflt	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))

Proof of Theorem npnflt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltpnft 9846	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
2	1	biimpd 144	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 < +∞))
3	2	necon2ad 2417	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ → 𝐴 ≠ +∞))
4		ltpnf 9812	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
5	4	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 < +∞)
6		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
7		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
8	6, 7	pm2.21ddne 2443	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 < +∞)
9		mnfltpnf 9817	. . . . . 6 ⊢ -∞ < +∞
10		breq1 4021	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 < +∞ ↔ -∞ < +∞))
11	9, 10	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 < +∞)
12	11	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 < +∞)
13		elxr 9808	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
14	13	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
15	14	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
16	5, 8, 12, 15	mpjao3dan 1318	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 < +∞)
17	16	ex 115	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≠ +∞ → 𝐴 < +∞))
18	3, 17	impbid 129	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ≠ wne 2360   class class class wbr 4018  ℝcr 7841  +∞cpnf 8020  -∞cmnf 8021  ℝ^*cxr 8022   < clt 8023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-pre-ltirr 7954

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028

This theorem is referenced by:  xlt2add  9912  xrmaxadd  11304