Theorem npnflt 9936

Description: An extended real is less than plus infinity iff they are not equal. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
npnflt	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))

Proof of Theorem npnflt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltpnft 9935	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
2	1	biimpd 144	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 < +∞))
3	2	necon2ad 2432	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ → 𝐴 ≠ +∞))
4		ltpnf 9901	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
5	4	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 < +∞)
6		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
7		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
8	6, 7	pm2.21ddne 2458	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 < +∞)
9		mnfltpnf 9906	. . . . . 6 ⊢ -∞ < +∞
10		breq1 4046	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 < +∞ ↔ -∞ < +∞))
11	9, 10	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 < +∞)
12	11	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 < +∞)
13		elxr 9897	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
14	13	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
15	14	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
16	5, 8, 12, 15	mpjao3dan 1319	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 < +∞)
17	16	ex 115	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≠ +∞ → 𝐴 < +∞))
18	3, 17	impbid 129	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 979   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ≠ wne 2375   class class class wbr 4043  ℝcr 7923  +∞cpnf 8103  -∞cmnf 8104  ℝ^*cxr 8105   < clt 8106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-pre-ltirr 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-xp 4680  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111

This theorem is referenced by:  xlt2add  10001  xrmaxadd  11514