ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  npnflt GIF version

Theorem npnflt 9847
Description: An extended real is less than plus infinity iff they are not equal. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
npnflt (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))

Proof of Theorem npnflt
StepHypRef Expression
1 nltpnft 9846 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
21biimpd 144 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 < +∞))
32necon2ad 2417 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ → 𝐴 ≠ +∞))
4 ltpnf 9812 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
54adantl 277 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 < +∞)
6 simpr 110 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
7 simplr 528 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
86, 7pm2.21ddne 2443 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 < +∞)
9 mnfltpnf 9817 . . . . . 6 -∞ < +∞
10 breq1 4021 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐴 < +∞ ↔ -∞ < +∞))
119, 10mpbiri 168 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → 𝐴 < +∞)
1211adantl 277 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 < +∞)
13 elxr 9808 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
1413biimpi 120 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
1514adantr 276 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
165, 8, 12, 15mpjao3dan 1318 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 < +∞)
1716ex 115 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≠ +∞ → 𝐴 < +∞))
183, 17impbid 129 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  w3o 979   = wceq 1364  wcel 2160  wne 2360   class class class wbr 4018  cr 7841  +∞cpnf 8020  -∞cmnf 8021  *cxr 8022   < clt 8023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-pre-ltirr 7954
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028
This theorem is referenced by:  xlt2add  9912  xrmaxadd  11304
  Copyright terms: Public domain W3C validator