Theorem npnflt 10007

Description: An extended real is less than plus infinity iff they are not equal. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
npnflt	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))

Proof of Theorem npnflt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltpnft 10006	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
2	1	biimpd 144	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 < +∞))
3	2	necon2ad 2457	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ → 𝐴 ≠ +∞))
4		ltpnf 9972	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
5	4	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 < +∞)
6		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
7		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
8	6, 7	pm2.21ddne 2483	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 < +∞)
9		mnfltpnf 9977	. . . . . 6 ⊢ -∞ < +∞
10		breq1 4085	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 < +∞ ↔ -∞ < +∞))
11	9, 10	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 < +∞)
12	11	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 < +∞)
13		elxr 9968	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
14	13	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
15	14	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
16	5, 8, 12, 15	mpjao3dan 1341	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 < +∞)
17	16	ex 115	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≠ +∞ → 𝐴 < +∞))
18	3, 17	impbid 129	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 1001   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   class class class wbr 4082  ℝcr 7994  +∞cpnf 8174  -∞cmnf 8175  ℝ^*cxr 8176   < clt 8177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-pre-ltirr 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182

This theorem is referenced by:  xlt2add  10072  xrmaxadd  11767