Theorem nmnfgt 10199

Description: An extended real is greater than minus infinite iff they are not equal. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nmnfgt	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ -∞))

Proof of Theorem nmnfgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngtmnft 10198	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
2	1	biimpd 144	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐴))
3	2	necon2ad 2477	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐴 → 𝐴 ≠ -∞))
4		mnflt 10164	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
5	4	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → -∞ < 𝐴)
6		mnfltpnf 10166	. . . . . 6 ⊢ -∞ < +∞
7		breq2 4129	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < +∞))
8	6, 7	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → -∞ < 𝐴)
9	8	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → -∞ < 𝐴)
10		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
11		simplr 533	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
12	10, 11	pm2.21ddne 2503	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ < 𝐴)
13		elxr 10157	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
14	13	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
15	14	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
16	5, 9, 12, 15	mpjao3dan 1348	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -∞ < 𝐴)
17	16	ex 115	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≠ -∞ → -∞ < 𝐴))
18	3, 17	impbid 129	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ -∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 1008   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   class class class wbr 4125  ℝcr 8168  +∞cpnf 8347  -∞cmnf 8348  ℝ^*cxr 8349   < clt 8350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-pre-ltirr 8281

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355

This theorem is referenced by:  xlt2add  10261  xrmaxadd  12005  xblpnfps  15422  xblpnf  15423