Theorem nmnfgt 9442

Description: An extended real is greater than minus infinite iff they are not equal. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nmnfgt	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ -∞))

Proof of Theorem nmnfgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngtmnft 9441	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
2	1	biimpd 143	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐴))
3	2	necon2ad 2324	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐴 → 𝐴 ≠ -∞))
4		mnflt 9410	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
5	4	adantl 273	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → -∞ < 𝐴)
6		mnfltpnf 9412	. . . . . 6 ⊢ -∞ < +∞
7		breq2 3879	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < +∞))
8	6, 7	mpbiri 167	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → -∞ < 𝐴)
9	8	adantl 273	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → -∞ < 𝐴)
10		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
11		simplr 500	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
12	10, 11	pm2.21ddne 2350	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ < 𝐴)
13		elxr 9404	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
14	13	biimpi 119	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
15	14	adantr 272	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
16	5, 9, 12, 15	mpjao3dan 1253	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -∞ < 𝐴)
17	16	ex 114	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≠ -∞ → -∞ < 𝐴))
18	3, 17	impbid 128	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ -∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ w3o 929   = wceq 1299   ∈ wcel 1448   ≠ wne 2267   class class class wbr 3875  ℝcr 7499  +∞cpnf 7669  -∞cmnf 7670  ℝ^*cxr 7671   < clt 7672

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-pre-ltirr 7607

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-xp 4483  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677

This theorem is referenced by:  xlt2add  9504  xrmaxadd  10869  xblpnfps  12326  xblpnf  12327