ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nmnfgt GIF version

Theorem nmnfgt 9630
Description: An extended real is greater than minus infinite iff they are not equal. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
nmnfgt (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐴𝐴 ≠ -∞))

Proof of Theorem nmnfgt
StepHypRef Expression
1 ngtmnft 9629 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
21biimpd 143 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐴))
32necon2ad 2366 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐴𝐴 ≠ -∞))
4 mnflt 9598 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
54adantl 275 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → -∞ < 𝐴)
6 mnfltpnf 9600 . . . . . 6 -∞ < +∞
7 breq2 3940 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < +∞))
86, 7mpbiri 167 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → -∞ < 𝐴)
98adantl 275 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → -∞ < 𝐴)
10 simpr 109 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
11 simplr 520 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
1210, 11pm2.21ddne 2392 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ < 𝐴)
13 elxr 9592 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
1413biimpi 119 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
1514adantr 274 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
165, 9, 12, 15mpjao3dan 1286 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → -∞ < 𝐴)
1716ex 114 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≠ -∞ → -∞ < 𝐴))
183, 17impbid 128 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐴𝐴 ≠ -∞))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  w3o 962   = wceq 1332  wcel 1481  wne 2309   class class class wbr 3936  cr 7642  +∞cpnf 7820  -∞cmnf 7821  *cxr 7822   < clt 7823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-pre-ltirr 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-xp 4552  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828
This theorem is referenced by:  xlt2add  9692  xrmaxadd  11061  xblpnfps  12604  xblpnf  12605
  Copyright terms: Public domain W3C validator