ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nmnfgt GIF version

Theorem nmnfgt 9792
Description: An extended real is greater than minus infinite iff they are not equal. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
nmnfgt (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐴𝐴 ≠ -∞))

Proof of Theorem nmnfgt
StepHypRef Expression
1 ngtmnft 9791 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
21biimpd 144 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐴))
32necon2ad 2404 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐴𝐴 ≠ -∞))
4 mnflt 9757 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
54adantl 277 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → -∞ < 𝐴)
6 mnfltpnf 9759 . . . . . 6 -∞ < +∞
7 breq2 4004 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < +∞))
86, 7mpbiri 168 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → -∞ < 𝐴)
98adantl 277 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → -∞ < 𝐴)
10 simpr 110 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
11 simplr 528 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
1210, 11pm2.21ddne 2430 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ < 𝐴)
13 elxr 9750 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
1413biimpi 120 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
1514adantr 276 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
165, 9, 12, 15mpjao3dan 1307 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → -∞ < 𝐴)
1716ex 115 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≠ -∞ → -∞ < 𝐴))
183, 17impbid 129 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐴𝐴 ≠ -∞))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  w3o 977   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347   class class class wbr 4000  cr 7788  +∞cpnf 7966  -∞cmnf 7967  *cxr 7968   < clt 7969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-pre-ltirr 7901
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-xp 4628  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974
This theorem is referenced by:  xlt2add  9854  xrmaxadd  11240  xblpnfps  13531  xblpnf  13532
  Copyright terms: Public domain W3C validator