Theorem nmnfgt 9745

Description: An extended real is greater than minus infinite iff they are not equal. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nmnfgt	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ -∞))

Proof of Theorem nmnfgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngtmnft 9744	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
2	1	biimpd 143	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐴))
3	2	necon2ad 2391	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐴 → 𝐴 ≠ -∞))
4		mnflt 9710	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
5	4	adantl 275	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → -∞ < 𝐴)
6		mnfltpnf 9712	. . . . . 6 ⊢ -∞ < +∞
7		breq2 3980	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < +∞))
8	6, 7	mpbiri 167	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → -∞ < 𝐴)
9	8	adantl 275	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → -∞ < 𝐴)
10		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
11		simplr 520	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
12	10, 11	pm2.21ddne 2417	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ < 𝐴)
13		elxr 9703	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
14	13	biimpi 119	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
15	14	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
16	5, 9, 12, 15	mpjao3dan 1296	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -∞ < 𝐴)
17	16	ex 114	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≠ -∞ → -∞ < 𝐴))
18	3, 17	impbid 128	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ -∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ w3o 966   = wceq 1342   ∈ wcel 2135   ≠ wne 2334   class class class wbr 3976  ℝcr 7743  +∞cpnf 7921  -∞cmnf 7922  ℝ^*cxr 7923   < clt 7924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-pre-ltirr 7856

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-xp 4604  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929

This theorem is referenced by:  xlt2add  9807  xrmaxadd  11188  xblpnfps  12939  xblpnf  12940