ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nmnfgt GIF version

Theorem nmnfgt 9442
Description: An extended real is greater than minus infinite iff they are not equal. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
nmnfgt (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐴𝐴 ≠ -∞))

Proof of Theorem nmnfgt
StepHypRef Expression
1 ngtmnft 9441 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
21biimpd 143 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐴))
32necon2ad 2324 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐴𝐴 ≠ -∞))
4 mnflt 9410 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
54adantl 273 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → -∞ < 𝐴)
6 mnfltpnf 9412 . . . . . 6 -∞ < +∞
7 breq2 3879 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < +∞))
86, 7mpbiri 167 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → -∞ < 𝐴)
98adantl 273 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → -∞ < 𝐴)
10 simpr 109 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
11 simplr 500 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
1210, 11pm2.21ddne 2350 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ < 𝐴)
13 elxr 9404 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
1413biimpi 119 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
1514adantr 272 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
165, 9, 12, 15mpjao3dan 1253 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → -∞ < 𝐴)
1716ex 114 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≠ -∞ → -∞ < 𝐴))
183, 17impbid 128 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐴𝐴 ≠ -∞))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  w3o 929   = wceq 1299  wcel 1448  wne 2267   class class class wbr 3875  cr 7499  +∞cpnf 7669  -∞cmnf 7670  *cxr 7671   < clt 7672
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-pre-ltirr 7607
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-xp 4483  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677
This theorem is referenced by:  xlt2add  9504  xrmaxadd  10869  xblpnfps  12326  xblpnf  12327
  Copyright terms: Public domain W3C validator