Theorem mulsub 8728

Description: Product of two differences. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
mulsub	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) − ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))))

Proof of Theorem mulsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negsub 8574	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
2		negsub 8574	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 + -𝐷) = (𝐶 − 𝐷))
3	1, 2	oveqan12d 6104	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + -𝐵) · (𝐶 + -𝐷)) = ((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 − 𝐷)))
4		negcl 8526	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
5		negcl 8526	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℂ → -𝐷 ∈ ℂ)
6		muladd 8711	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ -𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + -𝐵) · (𝐶 + -𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (-𝐷 · -𝐵)) + ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵))))
7	5, 6	sylanr2 409	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + -𝐵) · (𝐶 + -𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (-𝐷 · -𝐵)) + ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵))))
8	4, 7	sylanl2 407	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + -𝐵) · (𝐶 + -𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (-𝐷 · -𝐵)) + ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵))))
9		mul2neg 8725	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐷 · -𝐵) = (𝐷 · 𝐵))
10	9	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (-𝐷 · -𝐵) = (𝐷 · 𝐵))
11	10	oveq2d 6101	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐶) + (-𝐷 · -𝐵)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)))
12	11	ad2ant2l 512	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) + (-𝐷 · -𝐵)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)))
13		mulneg2 8723	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐷) = -(𝐴 · 𝐷))
14		mulneg2 8723	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 · -𝐵) = -(𝐶 · 𝐵))
15	13, 14	oveqan12d 6104	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵)) = (-(𝐴 · 𝐷) + -(𝐶 · 𝐵)))
16		mulcl 8306	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
17		mulcl 8306	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
18		negdi 8583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ) → -((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) = (-(𝐴 · 𝐷) + -(𝐶 · 𝐵)))
19	16, 17, 18	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → -((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) = (-(𝐴 · 𝐷) + -(𝐶 · 𝐵)))
20	15, 19	eqtr4d 2274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵)) = -((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
21	20	ancom2s 572	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵)) = -((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
22	21	an42s 597	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵)) = -((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
23	12, 22	oveq12d 6103	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) + (-𝐷 · -𝐵)) + ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵))) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + -((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))))
24		mulcl 8306	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
25		mulcl 8306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
26	25	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
27		addcl 8304	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ)
28	24, 26, 27	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ)
29	28	an4s 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ)
30	17	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
31		addcl 8304	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ)
32	16, 30, 31	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ)
33	32	an42s 597	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ)
34	29, 33	negsubd 8643	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + -((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) − ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))))
35	8, 23, 34	3eqtrd 2275	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + -𝐵) · (𝐶 + -𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) − ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))))
36	3, 35	eqtr3d 2273	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) − ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  ℂcc 8177   + caddc 8182   · cmul 8184   − cmin 8497  -cneg 8498

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8499  df-neg 8500

This theorem is used by:  mulsubd  8744  muleqadd  8998  addltmul  9542  sqabssub  11822