Proof of Theorem mulsub
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | negsub 8154 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵)) |
2 | | negsub 8154 |
. . 3
⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 + -𝐷) = (𝐶 − 𝐷)) |
3 | 1, 2 | oveqan12d 5869 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + -𝐵) · (𝐶 + -𝐷)) = ((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 − 𝐷))) |
4 | | negcl 8106 |
. . . 4
⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈
ℂ) |
5 | | negcl 8106 |
. . . . 5
⊢ (𝐷 ∈ ℂ → -𝐷 ∈
ℂ) |
6 | | muladd 8290 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ -𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + -𝐵) · (𝐶 + -𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (-𝐷 · -𝐵)) + ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵)))) |
7 | 5, 6 | sylanr2 403 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + -𝐵) · (𝐶 + -𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (-𝐷 · -𝐵)) + ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵)))) |
8 | 4, 7 | sylanl2 401 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + -𝐵) · (𝐶 + -𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (-𝐷 · -𝐵)) + ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵)))) |
9 | | mul2neg 8304 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐷 · -𝐵) = (𝐷 · 𝐵)) |
10 | 9 | ancoms 266 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (-𝐷 · -𝐵) = (𝐷 · 𝐵)) |
11 | 10 | oveq2d 5866 |
. . . . 5
⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐶) + (-𝐷 · -𝐵)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵))) |
12 | 11 | ad2ant2l 505 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) + (-𝐷 · -𝐵)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵))) |
13 | | mulneg2 8302 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐷) = -(𝐴 · 𝐷)) |
14 | | mulneg2 8302 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 · -𝐵) = -(𝐶 · 𝐵)) |
15 | 13, 14 | oveqan12d 5869 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵)) = (-(𝐴 · 𝐷) + -(𝐶 · 𝐵))) |
16 | | mulcl 7888 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ) |
17 | | mulcl 7888 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ) |
18 | | negdi 8163 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ) → -((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) = (-(𝐴 · 𝐷) + -(𝐶 · 𝐵))) |
19 | 16, 17, 18 | syl2an 287 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) →
-((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) = (-(𝐴 · 𝐷) + -(𝐶 · 𝐵))) |
20 | 15, 19 | eqtr4d 2206 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵)) = -((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) |
21 | 20 | ancom2s 561 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵)) = -((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) |
22 | 21 | an42s 584 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵)) = -((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) |
23 | 12, 22 | oveq12d 5868 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) →
(((𝐴 · 𝐶) + (-𝐷 · -𝐵)) + ((𝐴 · -𝐷) + (𝐶 · -𝐵))) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + -((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))) |
24 | | mulcl 7888 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ) |
25 | | mulcl 7888 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ) |
26 | 25 | ancoms 266 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ) |
27 | | addcl 7886 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ) |
28 | 24, 26, 27 | syl2an 287 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ) |
29 | 28 | an4s 583 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ) |
30 | 17 | ancoms 266 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ) |
31 | | addcl 7886 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ) |
32 | 16, 30, 31 | syl2an 287 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ) |
33 | 32 | an42s 584 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ) |
34 | 29, 33 | negsubd 8223 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) →
(((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + -((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) − ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))) |
35 | 8, 23, 34 | 3eqtrd 2207 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + -𝐵) · (𝐶 + -𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) − ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))) |
36 | 3, 35 | eqtr3d 2205 |
1
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) − ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))) |