Theorem sqabsadd 10542

Description: Square of absolute value of sum. Proposition 10-3.7(g) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 21-Jan-2007.)

Assertion

Ref	Expression
sqabsadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) + (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))))))

Proof of Theorem sqabsadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjadd 10372	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + 𝐵)) = ((∗‘𝐴) + (∗‘𝐵)))
2	1	oveq2d 5682	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · (∗‘(𝐴 + 𝐵))) = ((𝐴 + 𝐵) · ((∗‘𝐴) + (∗‘𝐵))))
3		cjcl 10336	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
4		cjcl 10336	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
5	3, 4	anim12i 332	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐵) ∈ ℂ))
6		muladd 7916	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐵) ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) · ((∗‘𝐴) + (∗‘𝐵))) = (((𝐴 · (∗‘𝐴)) + ((∗‘𝐵) · 𝐵)) + ((𝐴 · (∗‘𝐵)) + ((∗‘𝐴) · 𝐵))))
7	5, 6	mpdan 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · ((∗‘𝐴) + (∗‘𝐵))) = (((𝐴 · (∗‘𝐴)) + ((∗‘𝐵) · 𝐵)) + ((𝐴 · (∗‘𝐵)) + ((∗‘𝐴) · 𝐵))))
8	2, 7	eqtrd 2121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · (∗‘(𝐴 + 𝐵))) = (((𝐴 · (∗‘𝐴)) + ((∗‘𝐵) · 𝐵)) + ((𝐴 · (∗‘𝐵)) + ((∗‘𝐴) · 𝐵))))
9		addcl 7521	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
10		absvalsq 10540	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → ((abs‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) · (∗‘(𝐴 + 𝐵))))
11	9, 10	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) · (∗‘(𝐴 + 𝐵))))
12		absvalsq 10540	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
13		absvalsq 10540	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((abs‘𝐵)↑2) = (𝐵 · (∗‘𝐵)))
14		mulcom 7525	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐵) ∈ ℂ) → (𝐵 · (∗‘𝐵)) = ((∗‘𝐵) · 𝐵))
15	4, 14	mpdan 413	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · (∗‘𝐵)) = ((∗‘𝐵) · 𝐵))
16	13, 15	eqtrd 2121	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((abs‘𝐵)↑2) = ((∗‘𝐵) · 𝐵))
17	12, 16	oveqan12d 5685	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) + ((∗‘𝐵) · 𝐵)))
18		mulcl 7523	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (∗‘𝐵)) ∈ ℂ)
19	4, 18	sylan2 281	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (∗‘𝐵)) ∈ ℂ)
20	19	addcjd 10445	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (∗‘𝐵)) + (∗‘(𝐴 · (∗‘𝐵)))) = (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵)))))
21		cjmul 10373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐵) ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = ((∗‘𝐴) · (∗‘(∗‘𝐵))))
22	4, 21	sylan2 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = ((∗‘𝐴) · (∗‘(∗‘𝐵))))
23		cjcj 10371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐵)) = 𝐵)
24	23	adantl 272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(∗‘𝐵)) = 𝐵)
25	24	oveq2d 5682	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) · (∗‘(∗‘𝐵))) = ((∗‘𝐴) · 𝐵))
26	22, 25	eqtrd 2121	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = ((∗‘𝐴) · 𝐵))
27	26	oveq2d 5682	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (∗‘𝐵)) + (∗‘(𝐴 · (∗‘𝐵)))) = ((𝐴 · (∗‘𝐵)) + ((∗‘𝐴) · 𝐵)))
28	20, 27	eqtr3d 2123	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵)))) = ((𝐴 · (∗‘𝐵)) + ((∗‘𝐴) · 𝐵)))
29	17, 28	oveq12d 5684	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) + (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))))) = (((𝐴 · (∗‘𝐴)) + ((∗‘𝐵) · 𝐵)) + ((𝐴 · (∗‘𝐵)) + ((∗‘𝐴) · 𝐵))))
30	8, 11, 29	3eqtr4d 2131	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) + (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  ‘cfv 5028  (class class class)co 5666  ℂcc 7402   + caddc 7407   · cmul 7409  2c2 8527  ↑cexp 10008  ∗ccj 10327  ℜcre 10328  abscabs 10484

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-mulrcl 7498  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-precex 7509  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515  ax-pre-mulgt0 7516  ax-pre-mulext 7517  ax-arch 7518  ax-caucvg 7519

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-reap 8106  df-ap 8113  df-div 8194  df-inn 8477  df-2 8535  df-3 8536  df-4 8537  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-rp 9189  df-iseq 9907  df-seq3 9908  df-exp 10009  df-cj 10330  df-re 10331  df-im 10332  df-rsqrt 10485  df-abs 10486

This theorem is referenced by:  abstri  10591  sqabsaddi  10639