Theorem subdi 8344

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
subdi	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 997	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp3 999	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
3		subcl 8158	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
4	3	3adant1 1015	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
5	1, 2, 4	adddid 7984	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐶 + (𝐵 − 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · (𝐵 − 𝐶))))
6		pncan3 8167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 + (𝐵 − 𝐶)) = 𝐵)
7	6	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 + (𝐵 − 𝐶)) = 𝐵)
8	7	3adant1 1015	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 + (𝐵 − 𝐶)) = 𝐵)
9	8	oveq2d 5893	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐶 + (𝐵 − 𝐶))) = (𝐴 · 𝐵))
10	5, 9	eqtr3d 2212	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · (𝐵 − 𝐶))) = (𝐴 · 𝐵))
11		mulcl 7940	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
12	11	3adant3 1017	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
13		mulcl 7940	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
14	13	3adant2 1016	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
15		mulcl 7940	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) ∈ ℂ)
16	3, 15	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) ∈ ℂ)
17	16	3impb 1199	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) ∈ ℂ)
18	12, 14, 17	subaddd 8288	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) ↔ ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · (𝐵 − 𝐶))) = (𝐴 · 𝐵)))
19	10, 18	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)))
20	19	eqcomd 2183	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5877  ℂcc 7811   + caddc 7816   · cmul 7818   − cmin 8130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-sub 8132

This theorem is referenced by:  subdir  8345  subdii  8366  subdid  8373  expubnd  10579  subsq  10629  cos01bnd  11768  modmulconst  11832  odd2np1  11880  omoe  11903  omeo  11905  phiprmpw  12224  pythagtriplem14  12279