ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subdi GIF version

Theorem subdi 8344
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
subdi ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdi
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 simp3 999 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
3 subcl 8158 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
433adant1 1015 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
51, 2, 4adddid 7984 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐶 + (𝐵𝐶))) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · (𝐵𝐶))))
6 pncan3 8167 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 + (𝐵𝐶)) = 𝐵)
76ancoms 268 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 + (𝐵𝐶)) = 𝐵)
873adant1 1015 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 + (𝐵𝐶)) = 𝐵)
98oveq2d 5893 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐶 + (𝐵𝐶))) = (𝐴 · 𝐵))
105, 9eqtr3d 2212 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · (𝐵𝐶))) = (𝐴 · 𝐵))
11 mulcl 7940 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
12113adant3 1017 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
13 mulcl 7940 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
14133adant2 1016 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
15 mulcl 7940 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐶) ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵𝐶)) ∈ ℂ)
163, 15sylan2 286 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)) → (𝐴 · (𝐵𝐶)) ∈ ℂ)
17163impb 1199 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵𝐶)) ∈ ℂ)
1812, 14, 17subaddd 8288 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵𝐶)) ↔ ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · (𝐵𝐶))) = (𝐴 · 𝐵)))
1910, 18mpbird 167 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵𝐶)))
2019eqcomd 2183 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  (class class class)co 5877  cc 7811   + caddc 7816   · cmul 7818  cmin 8130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-sub 8132
This theorem is referenced by:  subdir  8345  subdii  8366  subdid  8373  expubnd  10579  subsq  10629  cos01bnd  11768  modmulconst  11832  odd2np1  11880  omoe  11903  omeo  11905  phiprmpw  12224  pythagtriplem14  12279
  Copyright terms: Public domain W3C validator