ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subdi GIF version

Theorem subdi 8140
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
subdi ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdi
StepHypRef Expression
1 simp1 981 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 simp3 983 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
3 subcl 7954 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
433adant1 999 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
51, 2, 4adddid 7783 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐶 + (𝐵𝐶))) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · (𝐵𝐶))))
6 pncan3 7963 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 + (𝐵𝐶)) = 𝐵)
76ancoms 266 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 + (𝐵𝐶)) = 𝐵)
873adant1 999 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 + (𝐵𝐶)) = 𝐵)
98oveq2d 5783 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐶 + (𝐵𝐶))) = (𝐴 · 𝐵))
105, 9eqtr3d 2172 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · (𝐵𝐶))) = (𝐴 · 𝐵))
11 mulcl 7740 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
12113adant3 1001 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
13 mulcl 7740 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
14133adant2 1000 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
15 mulcl 7740 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐶) ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵𝐶)) ∈ ℂ)
163, 15sylan2 284 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)) → (𝐴 · (𝐵𝐶)) ∈ ℂ)
17163impb 1177 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵𝐶)) ∈ ℂ)
1812, 14, 17subaddd 8084 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵𝐶)) ↔ ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · (𝐵𝐶))) = (𝐴 · 𝐵)))
1910, 18mpbird 166 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵𝐶)))
2019eqcomd 2143 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  (class class class)co 5767  cc 7611   + caddc 7616   · cmul 7618  cmin 7926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-setind 4447  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-sub 7928
This theorem is referenced by:  subdir  8141  subdii  8162  subdid  8169  expubnd  10343  subsq  10392  cos01bnd  11454  modmulconst  11514  odd2np1  11559  omoe  11582  omeo  11584  phiprmpw  11887
  Copyright terms: Public domain W3C validator