Theorem mullidd 8197

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mullidd	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mullidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mullid 8177	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  1c1 8033   · cmul 8037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-mulcl 8130  ax-mulcom 8133  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-1rid 8139  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6021

This theorem is referenced by:  subhalfhalf  9379  bitsfzolem  12517  bitsfzo  12518  4sqlem18  12983  plypow  15471  wilthlem1  15707  mersenne  15724  perfectlem2  15727  gausslemma2dlem1a  15790  gausslemma2dlem4  15796  gausslemma2dlem7  15800  gausslemma2d  15801  lgseisenlem1  15802  lgseisenlem2  15803  lgseisenlem4  15805  lgsquad2lem1  15813