Theorem mullidd 8202

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mullidd	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mullidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mullid 8182	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  (class class class)co 6023  ℂcc 8035  1c1 8038   · cmul 8042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2212  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-mulcl 8135  ax-mulcom 8138  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-1rid 8144  ax-cnre 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-v 2803  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-iota 5288  df-fv 5336  df-ov 6026

This theorem is referenced by:  subhalfhalf  9384  bitsfzolem  12538  bitsfzo  12539  4sqlem18  13004  plypow  15497  wilthlem1  15733  mersenne  15750  perfectlem2  15753  gausslemma2dlem1a  15816  gausslemma2dlem4  15822  gausslemma2dlem7  15826  gausslemma2d  15827  lgseisenlem1  15828  lgseisenlem2  15829  lgseisenlem4  15831  lgsquad2lem1  15839