Theorem mullidd 8297

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mullidd	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mullidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mullid 8277	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6052  ℂcc 8130  1c1 8133   · cmul 8137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-mulcl 8230  ax-mulcom 8233  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-1rid 8239  ax-cnre 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-iota 5314  df-fv 5362  df-ov 6055

This theorem is referenced by:  adddirp1d  8305  mulsubfacd  8697  mulcanapd  8940  receuap  8948  divdivdivap  8992  divcanap5  8993  subrecap  9118  ltrec  9162  recp1lt1  9178  nndivtr  9284  subhalfhalf  9478  xp1d2m1eqxm1d2  9496  gtndiv  9679  lincmb01cmp  10342  lincmble  10343  iccf1o  10344  modqfrac  10706  qnegmod  10738  addmodid  10741  m1expcl2  10930  expgt1  10946  ltexp2a  10960  leexp2a  10961  binom3  11026  faclbnd  11111  facavg  11116  bcval5  11133  cvg1nlemcau  11677  resqrexlemover  11703  resqrexlemcalc2  11708  absimle  11777  maxabslemlub  11900  reccn2ap  12006  binom1p  12179  binom1dif  12181  fprodsplitdc  12290  fprodcl2lem  12299  efcllemp  12352  ef01bndlem  12450  efieq1re  12466  eirraplem  12471  iddvds  12498  bitsfzolem  12648  bitsfzo  12649  gcdaddm  12688  rpmulgcd  12730  prmind2  12825  isprm5lem  12846  phiprm  12928  eulerthlemth  12937  fermltl  12939  hashgcdlem  12943  odzdvds  12951  powm2modprm  12958  modprm0  12960  pythagtriplem4  12974  4sqlem18  13114  mulgnnass  13895  dvexp  15625  dvef  15641  plypow  15658  reeff1oleme  15686  sin0pilem1  15695  sinhalfpip  15734  sinhalfpim  15735  coshalfpip  15736  coshalfpim  15737  tangtx  15752  logdivlti  15795  binom4  15893  pellexlem2  15895  wilthlem1  15897  mersenne  15914  perfectlem2  15917  lgsval2lem  15932  lgsval4a  15944  lgsneg1  15947  lgsdilem  15949  lgsdir2lem4  15953  lgsdir2  15955  lgsdir  15957  lgsmulsqcoprm  15968  lgsdirnn0  15969  lgsdinn0  15970  gausslemma2dlem1a  15980  gausslemma2dlem4  15986  gausslemma2dlem7  15990  gausslemma2d  15991  lgseisenlem1  15992  lgseisenlem2  15993  lgseisenlem4  15995  lgsquad2lem1  16003  2sqlem8  16045  qdencn  16856