Theorem mullidd 8308

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mullidd	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mullidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mullid 8288	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  1c1 8144   · cmul 8148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-mulcl 8241  ax-mulcom 8244  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-1rid 8250  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-iota 5317  df-fv 5365  df-ov 6061

This theorem is referenced by:  adddirp1d  8316  mulsubfacd  8710  mulcanapd  8953  receuap  8963  divdivdivap  9007  divcanap5  9008  subrecap  9133  ltrec  9177  recp1lt1  9193  nndivtr  9299  subhalfhalf  9493  xp1d2m1eqxm1d2  9511  gtndiv  9694  lincmb01cmp  10358  lincmble  10359  iccf1o  10360  modqfrac  10726  qnegmod  10758  addmodid  10761  m1expcl2  10950  expgt1  10966  ltexp2a  10980  leexp2a  10981  binom3  11046  faclbnd  11131  facavg  11136  bcval5  11153  cvg1nlemcau  11697  resqrexlemover  11723  resqrexlemcalc2  11728  absimle  11797  maxabslemlub  11920  reccn2ap  12026  binom1p  12199  binom1dif  12201  fprodsplitdc  12310  fprodcl2lem  12319  efcllemp  12372  ef01bndlem  12470  efieq1re  12486  eirraplem  12491  iddvds  12518  bitsfzolem  12668  bitsfzo  12669  gcdaddm  12708  rpmulgcd  12750  prmind2  12845  isprm5lem  12866  phiprm  12948  eulerthlemth  12957  fermltl  12959  hashgcdlem  12963  odzdvds  12971  powm2modprm  12978  modprm0  12980  pythagtriplem4  12994  4sqlem18  13134  mulgnnass  13913  dvexp  15705  dvef  15721  plypow  15738  reeff1oleme  15766  sin0pilem1  15775  sinhalfpip  15814  sinhalfpim  15815  coshalfpip  15816  coshalfpim  15817  tangtx  15832  logdivlti  15875  binom4  15973  pellexlem2  15975  wilthlem1  15977  mersenne  15994  perfectlem2  15997  lgsval2lem  16012  lgsval4a  16024  lgsneg1  16027  lgsdilem  16029  lgsdir2lem4  16033  lgsdir2  16035  lgsdir  16037  lgsmulsqcoprm  16048  lgsdirnn0  16049  lgsdinn0  16050  gausslemma2dlem1a  16060  gausslemma2dlem4  16066  gausslemma2dlem7  16070  gausslemma2d  16071  lgseisenlem1  16072  lgseisenlem2  16073  lgseisenlem4  16075  lgsquad2lem1  16083  2sqlem8  16125  qdencn  16946