Theorem mullidd 8351

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mullidd	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mullidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mullid 8331	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  1c1 8187   · cmul 8191

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-mulcl 8284  ax-mulcom 8287  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-1rid 8293  ax-cnre 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091

This theorem is used by:  adddirp1d  8359  mulsubfacd  8754  mulcanapd  8998  receuap  9008  divdivdivap  9052  divcanap5  9053  subrecap  9178  ltrec  9222  recp1lt1  9238  nndivtr  9356  subhalfhalf  9552  xp1d2m1eqxm1d2  9570  gtndiv  9753  lincmb01cmp  10423  lincmble  10424  iccf1o  10425  modqfrac  10796  qnegmod  10828  addmodid  10831  m1expcl2  11020  expgt1  11036  ltexp2a  11050  leexp2a  11051  binom3  11116  faclbnd  11202  facavg  11207  bcval5  11224  sq01  11683  cvg1nlemcau  11773  resqrexlemover  11799  resqrexlemcalc2  11804  absimle  11874  maxabslemlub  11997  reccn2ap  12105  binom1p  12278  binom1dif  12280  fprodsplitdc  12389  fprodcl2lem  12398  efcllemp  12451  ef01bndlem  12549  efieq1re  12565  eirraplem  12570  iddvds  12597  bitsfzolem  12747  bitsfzo  12748  gcdaddm  12787  rpmulgcd  12829  prmind2  12924  isprm5lem  12946  phiprm  13031  eulerthlemth  13040  fermltl  13042  hashgcdlem  13046  odzdvds  13054  powm2modprm  13061  modprm0  13063  pythagtriplem4  13077  4sqlem18  13217  mulgnnass  14020  dvexp  15949  dvef  15965  plypow  15982  reeff1oleme  16010  sin0pilem1  16020  sinhalfpip  16059  sinhalfpim  16060  coshalfpip  16061  coshalfpim  16062  tangtx  16077  logdivlti  16123  logfac  16138  binom4  16231  pellexlem2  16242  wilthlem1  16244  mersenne  16309  perfectlem2  16312  bposlem2  16324  bposlem9  16331  lgsval2lem  16346  lgsval4a  16358  lgsneg1  16361  lgsdilem  16363  lgsdir2lem4  16367  lgsdir2  16369  lgsdir  16371  lgsmulsqcoprm  16382  lgsdirnn0  16383  lgsdinn0  16384  gausslemma2dlem1a  16394  gausslemma2dlem4  16400  gausslemma2dlem7  16404  gausslemma2d  16405  lgseisenlem1  16406  lgseisenlem2  16407  lgseisenlem4  16409  lgsquad2lem1  16417  2sqlem8  16459  qdencn  17290