Theorem mullidd 8344

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mullidd	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mullidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mullid 8324	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  1c1 8180   · cmul 8184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-mulcl 8277  ax-mulcom 8280  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-1rid 8286  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088

This theorem is used by:  adddirp1d  8352  mulsubfacd  8747  mulcanapd  8991  receuap  9001  divdivdivap  9045  divcanap5  9046  subrecap  9171  ltrec  9215  recp1lt1  9231  nndivtr  9348  subhalfhalf  9544  xp1d2m1eqxm1d2  9562  gtndiv  9745  lincmb01cmp  10415  lincmble  10416  iccf1o  10417  modqfrac  10787  qnegmod  10819  addmodid  10822  m1expcl2  11011  expgt1  11027  ltexp2a  11041  leexp2a  11042  binom3  11107  faclbnd  11193  facavg  11198  bcval5  11215  sq01  11674  cvg1nlemcau  11764  resqrexlemover  11790  resqrexlemcalc2  11795  absimle  11865  maxabslemlub  11988  reccn2ap  12095  binom1p  12268  binom1dif  12270  fprodsplitdc  12379  fprodcl2lem  12388  efcllemp  12441  ef01bndlem  12539  efieq1re  12555  eirraplem  12560  iddvds  12587  bitsfzolem  12737  bitsfzo  12738  gcdaddm  12777  rpmulgcd  12819  prmind2  12914  isprm5lem  12936  phiprm  13021  eulerthlemth  13030  fermltl  13032  hashgcdlem  13036  odzdvds  13044  powm2modprm  13051  modprm0  13053  pythagtriplem4  13067  4sqlem18  13207  mulgnnass  14009  dvexp  15861  dvef  15877  plypow  15894  reeff1oleme  15922  sin0pilem1  15932  sinhalfpip  15971  sinhalfpim  15972  coshalfpip  15973  coshalfpim  15974  tangtx  15989  logdivlti  16033  logfac  16048  binom4  16138  pellexlem2  16149  wilthlem1  16151  mersenne  16216  perfectlem2  16219  bposlem2  16231  lgsval2lem  16248  lgsval4a  16260  lgsneg1  16263  lgsdilem  16265  lgsdir2lem4  16269  lgsdir2  16271  lgsdir  16273  lgsmulsqcoprm  16284  lgsdirnn0  16285  lgsdinn0  16286  gausslemma2dlem1a  16296  gausslemma2dlem4  16302  gausslemma2dlem7  16306  gausslemma2d  16307  lgseisenlem1  16308  lgseisenlem2  16309  lgseisenlem4  16311  lgsquad2lem1  16319  2sqlem8  16361  qdencn  17191