Theorem mullidd 8308

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mullidd	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mullidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mullid 8288	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  1c1 8144   · cmul 8148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-mulcl 8241  ax-mulcom 8244  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-1rid 8250  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-iota 5317  df-fv 5365  df-ov 6061

This theorem is referenced by:  adddirp1d  8316  mulsubfacd  8710  mulcanapd  8953  receuap  8963  divdivdivap  9007  divcanap5  9008  subrecap  9133  ltrec  9177  recp1lt1  9193  nndivtr  9299  subhalfhalf  9493  xp1d2m1eqxm1d2  9511  gtndiv  9694  lincmb01cmp  10358  lincmble  10359  iccf1o  10360  modqfrac  10726  qnegmod  10758  addmodid  10761  m1expcl2  10950  expgt1  10966  ltexp2a  10980  leexp2a  10981  binom3  11046  faclbnd  11131  facavg  11136  bcval5  11153  sq01  11608  cvg1nlemcau  11698  resqrexlemover  11724  resqrexlemcalc2  11729  absimle  11798  maxabslemlub  11921  reccn2ap  12027  binom1p  12200  binom1dif  12202  fprodsplitdc  12311  fprodcl2lem  12320  efcllemp  12373  ef01bndlem  12471  efieq1re  12487  eirraplem  12492  iddvds  12519  bitsfzolem  12669  bitsfzo  12670  gcdaddm  12709  rpmulgcd  12751  prmind2  12846  isprm5lem  12867  phiprm  12949  eulerthlemth  12958  fermltl  12960  hashgcdlem  12964  odzdvds  12972  powm2modprm  12979  modprm0  12981  pythagtriplem4  12995  4sqlem18  13135  mulgnnass  13914  dvexp  15706  dvef  15722  plypow  15739  reeff1oleme  15767  sin0pilem1  15776  sinhalfpip  15815  sinhalfpim  15816  coshalfpip  15817  coshalfpim  15818  tangtx  15833  logdivlti  15876  binom4  15974  pellexlem2  15976  wilthlem1  15978  mersenne  15995  perfectlem2  15998  lgsval2lem  16013  lgsval4a  16025  lgsneg1  16028  lgsdilem  16030  lgsdir2lem4  16034  lgsdir2  16036  lgsdir  16038  lgsmulsqcoprm  16049  lgsdirnn0  16050  lgsdinn0  16051  gausslemma2dlem1a  16061  gausslemma2dlem4  16067  gausslemma2dlem7  16071  gausslemma2d  16072  lgseisenlem1  16073  lgseisenlem2  16074  lgseisenlem4  16076  lgsquad2lem1  16084  2sqlem8  16126  qdencn  16947