Theorem subhalfhalf 9472

Description: Subtracting the half of a number from the number yields the half of the number. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
subhalfhalf	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))

Proof of Theorem subhalfhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		2cnd 9309	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
3		2ap0 9329	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 # 0)
5	1, 2, 4	divcanap1d 9064	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) · 2) = 𝐴)
6	5	eqcomd 2238	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((𝐴 / 2) · 2))
7	6	oveq1d 6064	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (𝐴 / 2)) = (((𝐴 / 2) · 2) − (𝐴 / 2)))
8		halfcl 9463	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
9	8, 2	mulcomd 8294	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) · 2) = (2 · (𝐴 / 2)))
10	9	oveq1d 6064	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / 2) · 2) − (𝐴 / 2)) = ((2 · (𝐴 / 2)) − (𝐴 / 2)))
11	2, 8	mulsubfacd 8691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (𝐴 / 2)) − (𝐴 / 2)) = ((2 − 1) · (𝐴 / 2)))
12		2m1e1 9354	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) = 1
13	12	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 − 1) = 1)
14	13	oveq1d 6064	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − 1) · (𝐴 / 2)) = (1 · (𝐴 / 2)))
15	8	mullidd 8291	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
16	11, 14, 15	3eqtrd 2269	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (𝐴 / 2)) − (𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
17	7, 10, 16	3eqtrd 2269	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049  ℂcc 8124  0cc0 8126  1c1 8127   · cmul 8131   − cmin 8443   # cap 8854   / cdiv 8945  2c2 9287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-2 9295

This theorem is referenced by:  fldiv4lem1div2uz2  10665  gausslemma2dlem1a  15923