Theorem 4sqlem18 12602

Description: Lemma for 4sq 12604. Inductive step, odd prime case. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem11.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5	⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6	⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7	⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem18	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀,𝑛   𝑛,𝑁   𝑃,𝑖,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑖,𝑛   𝑇,𝑖   𝜑,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

Proof of Theorem 4sqlem18

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 12303	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	nncnd 9021	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
5	4	mullidd 8061	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑃) = 𝑃)
6		4sq.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
7		4sqlem11.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
8		4sq.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9		4sq.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
10		4sq.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
11		4sq.6	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
12	7, 8, 9, 1, 10, 11, 6	4sqlem13m 12597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ 𝑀 < 𝑃))
13	12	simpld 112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑇)
14		1zzd 9370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) → 1 ∈ ℤ)
15		nnuz 9654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	15	rabeqi 2756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆} = {𝑖 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
17	11, 16	eqtri 2217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
18		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) → 𝑗 ∈ 𝑇)
19		elfznn 10146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑗) → 𝑖 ∈ ℕ)
20	19	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑗)) → 𝑖 ∈ ℕ)
21	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑗)) → 𝑃 ∈ ℕ)
22	20, 21	nnmulcld 9056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑗)) → (𝑖 · 𝑃) ∈ ℕ)
23	22	nnnn0d 9319	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑗)) → (𝑖 · 𝑃) ∈ ℕ0)
24	7	4sqlemsdc 12594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 · 𝑃) ∈ ℕ0 → DECID (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆)
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑗)) → DECID (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆)
26	14, 17, 18, 25	infssuzcldc 10342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
27	13, 26	exlimddv 1913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
28	6, 27	eqeltrid 2283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑇)
29		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑖 · 𝑃) = (𝑀 · 𝑃))
30	29	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → ((𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆))
31	30, 11	elrab2 2923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆))
32	28, 31	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆))
33	32	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆)
34	7	4sqlem2 12583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
35	33, 34	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
36	35	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
37		simp1l 1023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝜑)
38	37, 8	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
39	37, 9	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
40	37, 1	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑃 ∈ ℙ)
41	37, 10	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
42		simp1r 1024	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
43		simp2ll 1066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑎 ∈ ℤ)
44		simp2lr 1067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑏 ∈ ℤ)
45		simp2rl 1068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑐 ∈ ℤ)
46		simp2rr 1069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑑 ∈ ℤ)
47		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
48		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
49		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
50		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
51		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2)) + (((((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2))) / 𝑀) = (((((((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2)) + (((((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2))) / 𝑀)
52		simp3 1001	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
53	7, 38, 39, 40, 41, 11, 6, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52	4sqlem17 12601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
54	53	pm2.21i 647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
55	54	3expia 1207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ))) → ((𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)))
56	55	anassrs 400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)))
57	56	rexlimdvva 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)))
58	57	rexlimdvva 2622	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)))
59	36, 58	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
60	59	pm2.01da 637	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
61	32	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
62		elnn1uz2 9698	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 = 1 ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)))
63	61, 62	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 = 1 ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)))
64	60, 63	ecased 1360	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = 1)
65	64, 28	eqeltrrd 2274	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑇)
66		oveq1 5932	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 · 𝑃) = (1 · 𝑃))
67	66	eleq1d 2265	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ (1 · 𝑃) ∈ 𝑆))
68	67, 11	elrab2 2923	. . . 4 ⊢ (1 ∈ 𝑇 ↔ (1 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑃) ∈ 𝑆))
69	68	simprbi 275	. . 3 ⊢ (1 ∈ 𝑇 → (1 · 𝑃) ∈ 𝑆)
70	65, 69	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑃) ∈ 𝑆)
71	5, 70	eqeltrrd 2274	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∧ w3a 980   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  {cab 2182  ∃wrex 2476  {crab 2479   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  infcinf 7058  ℝcr 7895  0cc0 7896  1c1 7897   + caddc 7899   · cmul 7901   < clt 8078   − cmin 8214   / cdiv 8716  ℕcn 9007  2c2 9058  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618  ...cfz 10100   mod cmo 10431  ↑cexp 10647  ℙcprime 12300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-dvds 11970  df-gcd 12146  df-prm 12301  df-gz 12564

This theorem is referenced by:  4sqlem19  12603