Theorem lgsquad2lem1 15322

Description: Lemma for lgsquad2 15324. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsquad2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lgsquad2.2	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
lgsquad2.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lgsquad2.4	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
lgsquad2.5	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
lgsquad2lem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
lgsquad2lem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
lgsquad2lem1.m	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 𝑀)
lgsquad2lem1.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) = (-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
lgsquad2lem1.2	⊢ (𝜑 → ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵)) = (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

Assertion

Ref	Expression
lgsquad2lem1	⊢ (𝜑 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

Proof of Theorem lgsquad2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsquad2lem1.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 𝑀)
2		lgsquad2lem1.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5		ax-1cn 7972	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		npcan 8235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
7	4, 5, 6	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
8		lgsquad2lem1.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
9	8	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
10	9	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
11		npcan 8235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
12	10, 5, 11	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
13	7, 12	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) + 1) · ((𝐵 − 1) + 1)) = (𝐴 · 𝐵))
14		peano2zm 9364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
15	3, 14	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
16	15	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
17	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
18		peano2zm 9364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
19	9, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
20	19	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 1) ∈ ℂ)
21	16, 17, 20, 17	muladdd 8442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) + 1) · ((𝐵 − 1) + 1)) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + (1 · 1)) + (((𝐴 − 1) · 1) + ((𝐵 − 1) · 1))))
22		1t1e1 9143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · 1) = 1
23	22	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 · 1) = 1)
24	23	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + (1 · 1)) = (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1))
25	16	mulridd 8043	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) · 1) = (𝐴 − 1))
26	20	mulridd 8043	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 1) · 1) = (𝐵 − 1))
27	25, 26	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) · 1) + ((𝐵 − 1) · 1)) = ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)))
28	24, 27	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + (1 · 1)) + (((𝐴 − 1) · 1) + ((𝐵 − 1) · 1))) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
29	21, 28	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) + 1) · ((𝐵 − 1) + 1)) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
30	13, 29	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
31	1, 30	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
32	31	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) = (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) − 1))
33	16, 20	mulcld 8047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ∈ ℂ)
34		addcl 8004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) ∈ ℂ)
35	33, 5, 34	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) ∈ ℂ)
36	16, 20	addcld 8046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) ∈ ℂ)
37	35, 36, 17	addsubd 8358	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) − 1) = (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
38		pncan 8232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) = ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))
39	33, 5, 38	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) = ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))
40	39	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) = (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
41	32, 37, 40	3eqtrd 2233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) = (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
42	41	oveq1d 5937	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) / 2) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) / 2))
43		2cnd 9063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
44		2ap0 9083	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 # 0
45	44	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 # 0)
46	33, 36, 43, 45	divdirapd 8856	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) / 2) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) + (((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) / 2)))
47	16, 20, 43, 45	divassapd 8853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) = ((𝐴 − 1) · ((𝐵 − 1) / 2)))
48	16, 43, 45	divcanap2d 8819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐴 − 1) / 2)) = (𝐴 − 1))
49	48	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝐴 − 1) / 2)) · ((𝐵 − 1) / 2)) = ((𝐴 − 1) · ((𝐵 − 1) / 2)))
50		lgsquad2.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
51		dvdsmul1 11978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
52	3, 9, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
53	52, 1	breqtrd 4059	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝑀)
54		2z 9354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℤ
55		lgsquad2.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
56	55	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
57		dvdstr 11993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((2 ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ 𝑀) → 2 ∥ 𝑀))
58	54, 3, 56, 57	mp3an2i 1353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ 𝑀) → 2 ∥ 𝑀))
59	53, 58	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝐴 → 2 ∥ 𝑀))
60	50, 59	mtod 664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
61		1zzd 9353	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
62		2prm 12295	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℙ
63		nprmdvds1 12308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℙ → ¬ 2 ∥ 1)
64	62, 63	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 1)
65		omoe 12061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝐴 − 1))
66	3, 60, 61, 64, 65	syl22anc 1250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝐴 − 1))
67		2ne0 9082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
68	67	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
69		dvdsval2 11955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐴 − 1) ↔ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ))
70	54, 68, 15, 69	mp3an2i 1353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝐴 − 1) ↔ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ))
71	66, 70	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ)
72	71	zcnd 9449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℂ)
73		dvdsmul2 11979	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐵))
74	3, 9, 73	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐵))
75	74, 1	breqtrd 4059	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ 𝑀)
76		dvdstr 11993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((2 ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝑀) → 2 ∥ 𝑀))
77	54, 9, 56, 76	mp3an2i 1353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝑀) → 2 ∥ 𝑀))
78	75, 77	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝐵 → 2 ∥ 𝑀))
79	50, 78	mtod 664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
80		omoe 12061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝐵 − 1))
81	9, 79, 61, 64, 80	syl22anc 1250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝐵 − 1))
82		dvdsval2 11955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐵 − 1) ↔ ((𝐵 − 1) / 2) ∈ ℤ))
83	54, 68, 19, 82	mp3an2i 1353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝐵 − 1) ↔ ((𝐵 − 1) / 2) ∈ ℤ))
84	81, 83	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 1) / 2) ∈ ℤ)
85	84	zcnd 9449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 1) / 2) ∈ ℂ)
86	43, 72, 85	mulassd 8050	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝐴 − 1) / 2)) · ((𝐵 − 1) / 2)) = (2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))))
87	47, 49, 86	3eqtr2d 2235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) = (2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))))
88	16, 20, 43, 45	divdirapd 8856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) / 2) = (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)))
89	87, 88	oveq12d 5940	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) + (((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) / 2)) = ((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) + (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2))))
90	42, 46, 89	3eqtrd 2233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) / 2) = ((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) + (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2))))
91	90	oveq1d 5937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) + (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)))
92	54	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
93	71, 84	zmulcld 9454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
94	92, 93	zmulcld 9454	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) ∈ ℤ)
95	94	zcnd 9449	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
96	71, 84	zaddcld 9452	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
97	96	zcnd 9449	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
98		lgsquad2.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
99	98	nnzd 9447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
100		lgsquad2.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
101		omoe 12061	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
102	99, 100, 61, 64, 101	syl22anc 1250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝑁 − 1))
103		peano2zm 9364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
104	99, 103	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
105		dvdsval2 11955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
106	54, 68, 104, 105	mp3an2i 1353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
107	102, 106	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
108	107	zcnd 9449	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ)
109	95, 97, 108	adddird 8052	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) + (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
110	93	zcnd 9449	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
111	43, 110, 108	mulassd 8050	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
112	111	oveq1d 5937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = ((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
113	91, 109, 112	3eqtrd 2233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = ((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
114	113	oveq2d 5938	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
115		neg1cn 9095	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
116	115	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
117		neg1ap0 9099	. . . . . 6 ⊢ -1 # 0
118	117	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -1 # 0)
119	93, 107	zmulcld 9454	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
120	92, 119	zmulcld 9454	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) ∈ ℤ)
121	96, 107	zmulcld 9454	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
122		expaddzap 10675	. . . . 5 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 # 0) ∧ ((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) ∈ ℤ ∧ ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)) → (-1↑((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
123	116, 118, 120, 121, 122	syl22anc 1250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
124		expmulzap 10677	. . . . . . 7 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 # 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑2)↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
125	116, 118, 92, 119, 124	syl22anc 1250	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑2)↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
126		neg1sqe1 10726	. . . . . . . 8 ⊢ (-1↑2) = 1
127	126	oveq1i 5932	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑2)↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))
128		1exp 10660	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ → (1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = 1)
129	119, 128	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = 1)
130	127, 129	eqtrid 2241	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-1↑2)↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = 1)
131	125, 130	eqtrd 2229	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = 1)
132	131	oveq1d 5937	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = (1 · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
133	123, 132	eqtrd 2229	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = (1 · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
134	116, 118, 121	expclzapd 10770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
135	134	mullidd 8044	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
136	72, 85, 108	adddird 8052	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) = ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
137	136	oveq2d 5938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
138	135, 137	eqtrd 2229	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
139	114, 133, 138	3eqtrd 2233	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
140		lgsquad2lem1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) = (-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
141		lgsquad2lem1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵)) = (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
142	140, 141	oveq12d 5940	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) · ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵))) = ((-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
143	71, 107	zmulcld 9454	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
144	84, 107	zmulcld 9454	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
145		expaddzap 10675	. . . 4 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 # 0) ∧ ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)) → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
146	116, 118, 143, 144, 145	syl22anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
147	142, 146	eqtr4d 2232	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) · ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
148		lgscl 15255	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
149	3, 99, 148	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
150	149	zcnd 9449	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
151		lgscl 15255	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
152	9, 99, 151	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
153	152	zcnd 9449	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℂ)
154		lgscl 15255	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 /L 𝐴) ∈ ℤ)
155	99, 3, 154	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /L 𝐴) ∈ ℤ)
156	155	zcnd 9449	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /L 𝐴) ∈ ℂ)
157		lgscl 15255	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 /L 𝐵) ∈ ℤ)
158	99, 9, 157	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /L 𝐵) ∈ ℤ)
159	158	zcnd 9449	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /L 𝐵) ∈ ℂ)
160	150, 153, 156, 159	mul4d 8181	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) · ((𝑁 /L 𝐴) · (𝑁 /L 𝐵))) = (((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) · ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵))))
161	2	nnne0d 9035	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
162	8	nnne0d 9035	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
163		lgsdir 15276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
164	3, 9, 99, 161, 162, 163	syl32anc 1257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
165	1	oveq1d 5937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = (𝑀 /L 𝑁))
166	164, 165	eqtr3d 2231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = (𝑀 /L 𝑁))
167		lgsdi 15278	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑁 /L (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑁 /L 𝐴) · (𝑁 /L 𝐵)))
168	99, 3, 9, 161, 162, 167	syl32anc 1257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /L (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑁 /L 𝐴) · (𝑁 /L 𝐵)))
169	1	oveq2d 5938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /L (𝐴 · 𝐵)) = (𝑁 /L 𝑀))
170	168, 169	eqtr3d 2231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 /L 𝐴) · (𝑁 /L 𝐵)) = (𝑁 /L 𝑀))
171	166, 170	oveq12d 5940	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) · ((𝑁 /L 𝐴) · (𝑁 /L 𝐵))) = ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)))
172	160, 171	eqtr3d 2231	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) · ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵))) = ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)))
173	139, 147, 172	3eqtr2rd 2236	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  0cc0 7879  1c1 7880   + caddc 7882   · cmul 7884   − cmin 8197  -cneg 8198   # cap 8608   / cdiv 8699  ℕcn 8990  2c2 9041  ℤcz 9326  ↑cexp 10630   ∥ cdvds 11952   gcd cgcd 12120  ℙcprime 12275   /_L clgs 15238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-proddc 11716  df-dvds 11953  df-gcd 12121  df-prm 12276  df-phi 12379  df-pc 12454  df-lgs 15239

This theorem is referenced by:  lgsquad2lem2  15323