Theorem lgsquad2lem1 15768

Description: Lemma for lgsquad2 15770. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsquad2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lgsquad2.2	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
lgsquad2.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lgsquad2.4	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
lgsquad2.5	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
lgsquad2lem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
lgsquad2lem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
lgsquad2lem1.m	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 𝑀)
lgsquad2lem1.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) = (-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
lgsquad2lem1.2	⊢ (𝜑 → ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵)) = (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

Assertion

Ref	Expression
lgsquad2lem1	⊢ (𝜑 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

Proof of Theorem lgsquad2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsquad2lem1.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 𝑀)
2		lgsquad2lem1.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 9576	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 9578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5		ax-1cn 8100	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		npcan 8363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
7	4, 5, 6	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
8		lgsquad2lem1.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
9	8	nnzd 9576	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
10	9	zcnd 9578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
11		npcan 8363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
12	10, 5, 11	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
13	7, 12	oveq12d 6025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) + 1) · ((𝐵 − 1) + 1)) = (𝐴 · 𝐵))
14		peano2zm 9492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
15	3, 14	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
16	15	zcnd 9578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
17	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
18		peano2zm 9492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
19	9, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
20	19	zcnd 9578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 1) ∈ ℂ)
21	16, 17, 20, 17	muladdd 8570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) + 1) · ((𝐵 − 1) + 1)) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + (1 · 1)) + (((𝐴 − 1) · 1) + ((𝐵 − 1) · 1))))
22		1t1e1 9271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · 1) = 1
23	22	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 · 1) = 1)
24	23	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + (1 · 1)) = (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1))
25	16	mulridd 8171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) · 1) = (𝐴 − 1))
26	20	mulridd 8171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 1) · 1) = (𝐵 − 1))
27	25, 26	oveq12d 6025	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) · 1) + ((𝐵 − 1) · 1)) = ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)))
28	24, 27	oveq12d 6025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + (1 · 1)) + (((𝐴 − 1) · 1) + ((𝐵 − 1) · 1))) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
29	21, 28	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) + 1) · ((𝐵 − 1) + 1)) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
30	13, 29	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
31	1, 30	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
32	31	oveq1d 6022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) = (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) − 1))
33	16, 20	mulcld 8175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ∈ ℂ)
34		addcl 8132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) ∈ ℂ)
35	33, 5, 34	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) ∈ ℂ)
36	16, 20	addcld 8174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) ∈ ℂ)
37	35, 36, 17	addsubd 8486	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) − 1) = (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
38		pncan 8360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) = ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))
39	33, 5, 38	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) = ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))
40	39	oveq1d 6022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + 1) − 1) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) = (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
41	32, 37, 40	3eqtrd 2266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) = (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))))
42	41	oveq1d 6022	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) / 2) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) / 2))
43		2cnd 9191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
44		2ap0 9211	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 # 0
45	44	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 # 0)
46	33, 36, 43, 45	divdirapd 8984	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) + ((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1))) / 2) = ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) + (((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) / 2)))
47	16, 20, 43, 45	divassapd 8981	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) = ((𝐴 − 1) · ((𝐵 − 1) / 2)))
48	16, 43, 45	divcanap2d 8947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐴 − 1) / 2)) = (𝐴 − 1))
49	48	oveq1d 6022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝐴 − 1) / 2)) · ((𝐵 − 1) / 2)) = ((𝐴 − 1) · ((𝐵 − 1) / 2)))
50		lgsquad2.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
51		dvdsmul1 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
52	3, 9, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
53	52, 1	breqtrd 4109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝑀)
54		2z 9482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℤ
55		lgsquad2.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
56	55	nnzd 9576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
57		dvdstr 12347	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((2 ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ 𝑀) → 2 ∥ 𝑀))
58	54, 3, 56, 57	mp3an2i 1376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ 𝑀) → 2 ∥ 𝑀))
59	53, 58	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝐴 → 2 ∥ 𝑀))
60	50, 59	mtod 667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
61		1zzd 9481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
62		2prm 12657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℙ
63		nprmdvds1 12670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℙ → ¬ 2 ∥ 1)
64	62, 63	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 1)
65		omoe 12415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝐴 − 1))
66	3, 60, 61, 64, 65	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝐴 − 1))
67		2ne0 9210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
68	67	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
69		dvdsval2 12309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐴 − 1) ↔ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ))
70	54, 68, 15, 69	mp3an2i 1376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝐴 − 1) ↔ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ))
71	66, 70	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ)
72	71	zcnd 9578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℂ)
73		dvdsmul2 12333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐵))
74	3, 9, 73	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐵))
75	74, 1	breqtrd 4109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ 𝑀)
76		dvdstr 12347	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((2 ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝑀) → 2 ∥ 𝑀))
77	54, 9, 56, 76	mp3an2i 1376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 ∥ 𝐵 ∧ 𝐵 ∥ 𝑀) → 2 ∥ 𝑀))
78	75, 77	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝐵 → 2 ∥ 𝑀))
79	50, 78	mtod 667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
80		omoe 12415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝐵 − 1))
81	9, 79, 61, 64, 80	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝐵 − 1))
82		dvdsval2 12309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐵 − 1) ↔ ((𝐵 − 1) / 2) ∈ ℤ))
83	54, 68, 19, 82	mp3an2i 1376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝐵 − 1) ↔ ((𝐵 − 1) / 2) ∈ ℤ))
84	81, 83	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 1) / 2) ∈ ℤ)
85	84	zcnd 9578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 1) / 2) ∈ ℂ)
86	43, 72, 85	mulassd 8178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝐴 − 1) / 2)) · ((𝐵 − 1) / 2)) = (2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))))
87	47, 49, 86	3eqtr2d 2268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) = (2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))))
88	16, 20, 43, 45	divdirapd 8984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) / 2) = (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)))
89	87, 88	oveq12d 6025	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) / 2) + (((𝐴 − 1) + (𝐵 − 1)) / 2)) = ((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) + (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2))))
90	42, 46, 89	3eqtrd 2266	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) / 2) = ((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) + (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2))))
91	90	oveq1d 6022	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) + (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)))
92	54	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
93	71, 84	zmulcld 9583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
94	92, 93	zmulcld 9583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) ∈ ℤ)
95	94	zcnd 9578	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
96	71, 84	zaddcld 9581	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
97	96	zcnd 9578	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
98		lgsquad2.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
99	98	nnzd 9576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
100		lgsquad2.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
101		omoe 12415	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
102	99, 100, 61, 64, 101	syl22anc 1272	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝑁 − 1))
103		peano2zm 9492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
104	99, 103	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
105		dvdsval2 12309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
106	54, 68, 104, 105	mp3an2i 1376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
107	102, 106	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
108	107	zcnd 9578	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ)
109	95, 97, 108	adddird 8180	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) + (((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
110	93	zcnd 9578	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
111	43, 110, 108	mulassd 8178	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
112	111	oveq1d 6022	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2))) · ((𝑁 − 1) / 2)) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = ((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
113	91, 109, 112	3eqtrd 2266	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = ((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
114	113	oveq2d 6023	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
115		neg1cn 9223	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
116	115	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
117		neg1ap0 9227	. . . . . 6 ⊢ -1 # 0
118	117	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -1 # 0)
119	93, 107	zmulcld 9583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
120	92, 119	zmulcld 9583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) ∈ ℤ)
121	96, 107	zmulcld 9583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
122		expaddzap 10813	. . . . 5 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 # 0) ∧ ((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) ∈ ℤ ∧ ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)) → (-1↑((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
123	116, 118, 120, 121, 122	syl22anc 1272	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
124		expmulzap 10815	. . . . . . 7 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 # 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑2)↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
125	116, 118, 92, 119, 124	syl22anc 1272	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑2)↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
126		neg1sqe1 10864	. . . . . . . 8 ⊢ (-1↑2) = 1
127	126	oveq1i 6017	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑2)↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))
128		1exp 10798	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ → (1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = 1)
129	119, 128	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = 1)
130	127, 129	eqtrid 2274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-1↑2)↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = 1)
131	125, 130	eqtrd 2262	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = 1)
132	131	oveq1d 6022	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = (1 · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
133	123, 132	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑((2 · ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) + ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = (1 · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
134	116, 118, 121	expclzapd 10908	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
135	134	mullidd 8172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))))
136	72, 85, 108	adddird 8180	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)) = ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
137	136	oveq2d 6023	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
138	135, 137	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) + ((𝐵 − 1) / 2)) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
139	114, 133, 138	3eqtrd 2266	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
140		lgsquad2lem1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) = (-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
141		lgsquad2lem1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵)) = (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
142	140, 141	oveq12d 6025	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) · ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵))) = ((-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
143	71, 107	zmulcld 9583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
144	84, 107	zmulcld 9583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
145		expaddzap 10813	. . . 4 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 # 0) ∧ ((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)) → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
146	116, 118, 143, 144, 145	syl22anc 1272	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) = ((-1↑(((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (-1↑(((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
147	142, 146	eqtr4d 2265	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) · ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵))) = (-1↑((((𝐴 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) + (((𝐵 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
148		lgscl 15701	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
149	3, 99, 148	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
150	149	zcnd 9578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
151		lgscl 15701	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
152	9, 99, 151	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
153	152	zcnd 9578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℂ)
154		lgscl 15701	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 /L 𝐴) ∈ ℤ)
155	99, 3, 154	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /L 𝐴) ∈ ℤ)
156	155	zcnd 9578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /L 𝐴) ∈ ℂ)
157		lgscl 15701	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 /L 𝐵) ∈ ℤ)
158	99, 9, 157	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /L 𝐵) ∈ ℤ)
159	158	zcnd 9578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /L 𝐵) ∈ ℂ)
160	150, 153, 156, 159	mul4d 8309	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) · ((𝑁 /L 𝐴) · (𝑁 /L 𝐵))) = (((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) · ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵))))
161	2	nnne0d 9163	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
162	8	nnne0d 9163	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
163		lgsdir 15722	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
164	3, 9, 99, 161, 162, 163	syl32anc 1279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
165	1	oveq1d 6022	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = (𝑀 /L 𝑁))
166	164, 165	eqtr3d 2264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = (𝑀 /L 𝑁))
167		lgsdi 15724	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑁 /L (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑁 /L 𝐴) · (𝑁 /L 𝐵)))
168	99, 3, 9, 161, 162, 167	syl32anc 1279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /L (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑁 /L 𝐴) · (𝑁 /L 𝐵)))
169	1	oveq2d 6023	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /L (𝐴 · 𝐵)) = (𝑁 /L 𝑀))
170	168, 169	eqtr3d 2264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 /L 𝐴) · (𝑁 /L 𝐵)) = (𝑁 /L 𝑀))
171	166, 170	oveq12d 6025	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) · ((𝑁 /L 𝐴) · (𝑁 /L 𝐵))) = ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)))
172	160, 171	eqtr3d 2264	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐴)) · ((𝐵 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝐵))) = ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)))
173	139, 147, 172	3eqtr2rd 2269	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  ℂcc 8005  0cc0 8007  1c1 8008   + caddc 8010   · cmul 8012   − cmin 8325  -cneg 8326   # cap 8736   / cdiv 8827  ℕcn 9118  2c2 9169  ℤcz 9454  ↑cexp 10768   ∥ cdvds 12306   gcd cgcd 12482  ℙcprime 12637   /_L clgs 15684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-2o 6569  df-oadd 6572  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-sup 7159  df-inf 7160  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-fl 10498  df-mod 10553  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-ihash 11006  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-clim 11798  df-proddc 12070  df-dvds 12307  df-gcd 12483  df-prm 12638  df-phi 12741  df-pc 12816  df-lgs 15685

This theorem is referenced by:  lgsquad2lem2  15769