Theorem bitsfzolem 12118

Description: Lemma for bitsfzo 12119. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.) (Revised by AV, 1-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bitsfzo.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
bitsfzo.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
bitsfzo.3	⊢ (𝜑 → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
bitsfzo.4	⊢ 𝑆 = inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
bitsfzolem	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem bitsfzolem

Dummy variables 𝑢 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsfzo.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nn0uz 9636	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleqtrdi 2289	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
4		2nn 9152	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
6		bitsfzo.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
7	5, 6	nnexpcld 10787	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑀) ∈ ℕ)
8	7	nnzd 9447	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑀) ∈ ℤ)
9		bitsfzo.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
11		n2dvds1 12077	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
12	4	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℕ)
13		ssrab2 3268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ⊆ ℕ0
14		bitsfzo.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑆 = inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < )
15		nnssnn0 9252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
16	1	nn0red 9303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
17		2re 9060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ∈ ℝ
18	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
19		1lt2 9160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 1 < 2
20	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
21		expnbnd 10755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑛))
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑛))
23		ssrexv 3248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑛)))
24	15, 22, 23	mpsyl 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑛))
25		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = 𝑢 → (2↑𝑛) = (2↑𝑢))
26	25	breq2d 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 = 𝑢 → (𝑁 < (2↑𝑛) ↔ 𝑁 < (2↑𝑢)))
27	26	cbvrexv 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑛) ↔ ∃𝑢 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑢))
28	24, 27	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑢))
29		0zd 9338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑𝑢))) → 0 ∈ ℤ)
30	2	rabeqi 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘0) ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}
31		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑𝑢))) → (𝑢 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑𝑢)))
32	26	elrab 2920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ↔ (𝑢 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑𝑢)))
33	31, 32	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑𝑢))) → 𝑢 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
34	1	nn0zd 9446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑𝑢))) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑢)) → 𝑁 ∈ ℤ)
36		2z 9354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℤ
37		elfznn0 10189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑢) → 𝑛 ∈ ℕ0)
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑𝑢))) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑢)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
39		zexpcl 10646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℤ)
40	36, 38, 39	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑𝑢))) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑢)) → (2↑𝑛) ∈ ℤ)
41		zdclt 9403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑛) ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < (2↑𝑛))
42	35, 40, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑𝑢))) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑢)) → DECID 𝑁 < (2↑𝑛))
43	29, 30, 33, 42	infssuzcldc 10325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑𝑢))) → inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
44	28, 43	rexlimddv 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
45	14, 44	eqeltrid 2283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
46	13, 45	sselid 3181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
47	46	nn0zd 9446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
49		0red 8027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
50	6	nn0zd 9446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
52	51	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
53	48	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ ℝ)
54	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
55	54	nn0ge0d 9305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑀)
56	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
57	56, 54	reexpcld 10782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑀) ∈ ℝ)
58	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
59	5, 46	nnexpcld 10787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑆) ∈ ℕ)
60	59	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑆) ∈ ℕ)
61	60	nnred 9003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑆) ∈ ℝ)
62		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑀) ≤ 𝑁)
63	45	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
64		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 = 𝑆 → (2↑𝑚) = (2↑𝑆))
65	64	breq2d 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑚 = 𝑆 → (𝑁 < (2↑𝑚) ↔ 𝑁 < (2↑𝑆)))
66		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (2↑𝑛) = (2↑𝑚))
67	66	breq2d 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑁 < (2↑𝑛) ↔ 𝑁 < (2↑𝑚)))
68	67	cbvrabv 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} = {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑚)}
69	65, 68	elrab2 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ↔ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑𝑆)))
70	69	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} → 𝑁 < (2↑𝑆))
71	63, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 < (2↑𝑆))
72	57, 58, 61, 62, 71	lelttrd 8151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑀) < (2↑𝑆))
73		nn0ltexp2 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 2) → (𝑀 < 𝑆 ↔ (2↑𝑀) < (2↑𝑆)))
74	18, 6, 46, 20, 73	syl31anc 1252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑆 ↔ (2↑𝑀) < (2↑𝑆)))
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑀 < 𝑆 ↔ (2↑𝑀) < (2↑𝑆)))
76	72, 75	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑆)
77	49, 52, 53, 55, 76	lelttrd 8151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑆)
78		elnnz 9336	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ ↔ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑆))
79	48, 77, 78	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ)
80		nnm1nn0 9290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
81	79, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
82	12, 81	nnexpcld 10787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℕ)
83	82	nncnd 9004	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℂ)
84	83	mullidd 8044	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (1 · (2↑(𝑆 − 1))) = (2↑(𝑆 − 1)))
85	82	nnred 9003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℝ)
86	53	ltm1d 8959	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) < 𝑆)
87		peano2zm 9364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑆 ∈ ℤ → (𝑆 − 1) ∈ ℤ)
88	47, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 1) ∈ ℤ)
89		zltnle 9372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑆 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝑆 − 1) < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
90	88, 47, 89	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 − 1) < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
91	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑆 − 1) < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
92	86, 91	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 1))
93		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 = (𝑆 − 1) → (2↑𝑚) = (2↑(𝑆 − 1)))
94	93	breq2d 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 = (𝑆 − 1) → (𝑁 < (2↑𝑚) ↔ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))))
95	94, 68	elrab2 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ↔ ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))))
96		0zd 9338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) ∧ ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)))) → 0 ∈ ℤ)
97	26	cbvrabv 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘0) ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} = {𝑢 ∈ (ℤ≥‘0) ∣ 𝑁 < (2↑𝑢)}
98	30, 97	eqtri 2217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} = {𝑢 ∈ (ℤ≥‘0) ∣ 𝑁 < (2↑𝑢)}
99		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) ∧ ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)))) → ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))))
100	99, 95	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) ∧ ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)))) → (𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
101	34	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) ∧ ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)))) ∧ 𝑢 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
102		elfznn0 10189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑢 ∈ (0...(𝑆 − 1)) → 𝑢 ∈ ℕ0)
103	102	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) ∧ ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)))) ∧ 𝑢 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → 𝑢 ∈ ℕ0)
104		zexpcl 10646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑢 ∈ ℕ0) → (2↑𝑢) ∈ ℤ)
105	36, 103, 104	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) ∧ ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)))) ∧ 𝑢 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → (2↑𝑢) ∈ ℤ)
106		zdclt 9403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑢) ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < (2↑𝑢))
107	101, 105, 106	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) ∧ ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)))) ∧ 𝑢 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → DECID 𝑁 < (2↑𝑢))
108	96, 98, 100, 107	infssuzledc 10324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) ∧ ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)))) → inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 1))
109	95, 108	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) ∧ (𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}) → inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 1))
110	14, 109	eqbrtrid 4068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) ∧ (𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}) → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1))
111	110	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
112	95, 111	biimtrrid 153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))) → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
113	81, 112	mpand 429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)) → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
114	92, 113	mtod 664	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)))
115	85, 58, 114	nltled 8147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ≤ 𝑁)
116	84, 115	eqbrtrd 4055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (1 · (2↑(𝑆 − 1))) ≤ 𝑁)
117		1red 8041	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
118		2rp 9733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ+
119	118	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ+)
120		1zzd 9353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
121	48, 120	zsubcld 9453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ ℤ)
122	119, 121	rpexpcld 10789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℝ+)
123	117, 58, 122	lemuldivd 9821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((1 · (2↑(𝑆 − 1))) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))))
124	116, 123	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))))
125		2cn 9061	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
126		expm1t 10659	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → (2↑𝑆) = ((2↑(𝑆 − 1)) · 2))
127	125, 79, 126	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑆) = ((2↑(𝑆 − 1)) · 2))
128	71, 127	breqtrd 4059	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 < ((2↑(𝑆 − 1)) · 2))
129	58, 56, 122	ltdivmuld 9823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < 2 ↔ 𝑁 < ((2↑(𝑆 − 1)) · 2)))
130	128, 129	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < 2)
131		df-2 9049	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 = (1 + 1)
132	130, 131	breqtrdi 4074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < (1 + 1))
133		nnexpcl 10644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑆 − 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℕ)
134	4, 81, 133	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℕ)
135		znq 9698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℕ) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∈ ℚ)
136	34, 134, 135	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∈ ℚ)
137		flqbi 10380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∧ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < (1 + 1))))
138	136, 120, 137	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∧ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < (1 + 1))))
139	124, 132, 138	mpbir2and 946	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) = 1)
140	139	breq2d 4045	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) ↔ 2 ∥ 1))
141	11, 140	mtbiri 676	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))))
142		bitsval2 12109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑆 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑆 − 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))))))
143	34, 81, 142	syl2an2r 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑆 − 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))))))
144	141, 143	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ (bits‘𝑁))
145	10, 144	sseldd 3184	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ (0..^𝑀))
146		elfzolt2 10232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 − 1) ∈ (0..^𝑀) → (𝑆 − 1) < 𝑀)
147	145, 146	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) < 𝑀)
148		zlem1lt 9382	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑆 ≤ 𝑀 ↔ (𝑆 − 1) < 𝑀))
149	47, 51, 148	syl2an2r 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 ≤ 𝑀 ↔ (𝑆 − 1) < 𝑀))
150	147, 149	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ≤ 𝑀)
151		zltnle 9372	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ 𝑀))
152	50, 48, 151	syl2an2r 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑀 < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ 𝑀))
153	76, 152	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑆 ≤ 𝑀)
154	150, 153	pm2.65da 662	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (2↑𝑀) ≤ 𝑁)
155		zltnle 9372	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑𝑀) ↔ ¬ (2↑𝑀) ≤ 𝑁))
156	34, 8, 155	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < (2↑𝑀) ↔ ¬ (2↑𝑀) ≤ 𝑁))
157	154, 156	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (2↑𝑀))
158		elfzo2 10225	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (2↑𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑𝑀)))
159	3, 8, 157, 158	syl3anbrc 1183	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476  {crab 2479   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  infcinf 7049  ℂcc 7877  ℝcr 7878  0cc0 7879  1c1 7880   + caddc 7882   · cmul 7884   < clt 8061   ≤ cle 8062   − cmin 8197   / cdiv 8699  ℕcn 8990  2c2 9041  ℕ₀cn0 9249  ℤcz 9326  ℤ_≥cuz 9601  ℚcq 9693  ℝ⁺crp 9728  ...cfz 10083  ..^cfzo 10217  ⌊cfl 10358  ↑cexp 10630   ∥ cdvds 11952  bitscbits 12105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-fl 10360  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-dvds 11953  df-bits 12106

This theorem is referenced by:  bitsfzo  12119