Theorem bitsfzolem 12517

Description: Lemma for bitsfzo 12518. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.) (Revised by AV, 1-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bitsfzo.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
bitsfzo.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
bitsfzo.3	⊢ (𝜑 → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
bitsfzo.4	⊢ 𝑆 = inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
bitsfzolem	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem bitsfzolem

Dummy variables 𝑢 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsfzo.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nn0uz 9791	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleqtrdi 2324	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
4		2nn 9305	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
6		bitsfzo.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
7	5, 6	nnexpcld 10958	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑀) ∈ ℕ)
8	7	nnzd 9601	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑀) ∈ ℤ)
9		bitsfzo.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
11		n2dvds1 12475	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
12	4	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℕ)
13		ssrab2 3312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ⊆ ℕ0
14		bitsfzo.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑆 = inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < )
15		nnssnn0 9405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
16	1	nn0red 9456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
17		2re 9213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ∈ ℝ
18	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
19		1lt2 9313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 1 < 2
20	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
21		expnbnd 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑛))
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑛))
23		ssrexv 3292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑛)))
24	15, 22, 23	mpsyl 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑛))
25		oveq2 6026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = 𝑢 → (2↑𝑛) = (2↑𝑢))
26	25	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 = 𝑢 → (𝑁 < (2↑𝑛) ↔ 𝑁 < (2↑𝑢)))
27	26	cbvrexv 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑛) ↔ ∃𝑢 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑢))
28	24, 27	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑢))
29		0zd 9491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑𝑢))) → 0 ∈ ℤ)
30	2	rabeqi 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘0) ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}
31		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑𝑢))) → (𝑢 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑𝑢)))
32	26	elrab 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ↔ (𝑢 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑𝑢)))
33	31, 32	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑𝑢))) → 𝑢 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
34	1	nn0zd 9600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑𝑢))) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑢)) → 𝑁 ∈ ℤ)
36		2z 9507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℤ
37		elfznn0 10349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑢) → 𝑛 ∈ ℕ0)
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑𝑢))) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑢)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
39		zexpcl 10817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℤ)
40	36, 38, 39	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑𝑢))) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑢)) → (2↑𝑛) ∈ ℤ)
41		zdclt 9557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑛) ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < (2↑𝑛))
42	35, 40, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑𝑢))) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑢)) → DECID 𝑁 < (2↑𝑛))
43	29, 30, 33, 42	infssuzcldc 10496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑𝑢))) → inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
44	28, 43	rexlimddv 2655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
45	14, 44	eqeltrid 2318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
46	13, 45	sselid 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
47	46	nn0zd 9600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
49		0red 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
50	6	nn0zd 9600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
52	51	zred 9602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
53	48	zred 9602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ ℝ)
54	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
55	54	nn0ge0d 9458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑀)
56	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
57	56, 54	reexpcld 10953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑀) ∈ ℝ)
58	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
59	5, 46	nnexpcld 10958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑆) ∈ ℕ)
60	59	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑆) ∈ ℕ)
61	60	nnred 9156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑆) ∈ ℝ)
62		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑀) ≤ 𝑁)
63	45	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
64		oveq2 6026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 = 𝑆 → (2↑𝑚) = (2↑𝑆))
65	64	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑚 = 𝑆 → (𝑁 < (2↑𝑚) ↔ 𝑁 < (2↑𝑆)))
66		oveq2 6026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (2↑𝑛) = (2↑𝑚))
67	66	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑁 < (2↑𝑛) ↔ 𝑁 < (2↑𝑚)))
68	67	cbvrabv 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} = {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑚)}
69	65, 68	elrab2 2965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ↔ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑𝑆)))
70	69	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} → 𝑁 < (2↑𝑆))
71	63, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 < (2↑𝑆))
72	57, 58, 61, 62, 71	lelttrd 8304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑀) < (2↑𝑆))
73		nn0ltexp2 10972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 2) → (𝑀 < 𝑆 ↔ (2↑𝑀) < (2↑𝑆)))
74	18, 6, 46, 20, 73	syl31anc 1276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑆 ↔ (2↑𝑀) < (2↑𝑆)))
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑀 < 𝑆 ↔ (2↑𝑀) < (2↑𝑆)))
76	72, 75	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑆)
77	49, 52, 53, 55, 76	lelttrd 8304	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑆)
78		elnnz 9489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ ↔ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑆))
79	48, 77, 78	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ)
80		nnm1nn0 9443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
81	79, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
82	12, 81	nnexpcld 10958	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℕ)
83	82	nncnd 9157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℂ)
84	83	mullidd 8197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (1 · (2↑(𝑆 − 1))) = (2↑(𝑆 − 1)))
85	82	nnred 9156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℝ)
86	53	ltm1d 9112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) < 𝑆)
87		peano2zm 9517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑆 ∈ ℤ → (𝑆 − 1) ∈ ℤ)
88	47, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 1) ∈ ℤ)
89		zltnle 9525	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑆 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝑆 − 1) < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
90	88, 47, 89	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 − 1) < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
91	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑆 − 1) < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
92	86, 91	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 1))
93		oveq2 6026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 = (𝑆 − 1) → (2↑𝑚) = (2↑(𝑆 − 1)))
94	93	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 = (𝑆 − 1) → (𝑁 < (2↑𝑚) ↔ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))))
95	94, 68	elrab2 2965	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ↔ ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))))
96		0zd 9491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) ∧ ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)))) → 0 ∈ ℤ)
97	26	cbvrabv 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘0) ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} = {𝑢 ∈ (ℤ≥‘0) ∣ 𝑁 < (2↑𝑢)}
98	30, 97	eqtri 2252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} = {𝑢 ∈ (ℤ≥‘0) ∣ 𝑁 < (2↑𝑢)}
99		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) ∧ ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)))) → ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))))
100	99, 95	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) ∧ ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)))) → (𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
101	34	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) ∧ ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)))) ∧ 𝑢 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
102		elfznn0 10349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑢 ∈ (0...(𝑆 − 1)) → 𝑢 ∈ ℕ0)
103	102	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) ∧ ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)))) ∧ 𝑢 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → 𝑢 ∈ ℕ0)
104		zexpcl 10817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑢 ∈ ℕ0) → (2↑𝑢) ∈ ℤ)
105	36, 103, 104	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) ∧ ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)))) ∧ 𝑢 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → (2↑𝑢) ∈ ℤ)
106		zdclt 9557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑢) ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < (2↑𝑢))
107	101, 105, 106	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) ∧ ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)))) ∧ 𝑢 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → DECID 𝑁 < (2↑𝑢))
108	96, 98, 100, 107	infssuzledc 10495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) ∧ ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)))) → inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 1))
109	95, 108	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) ∧ (𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}) → inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 1))
110	14, 109	eqbrtrid 4123	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) ∧ (𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}) → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1))
111	110	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
112	95, 111	biimtrrid 153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))) → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
113	81, 112	mpand 429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)) → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
114	92, 113	mtod 669	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)))
115	85, 58, 114	nltled 8300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ≤ 𝑁)
116	84, 115	eqbrtrd 4110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (1 · (2↑(𝑆 − 1))) ≤ 𝑁)
117		1red 8194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
118		2rp 9893	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ+
119	118	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ+)
120		1zzd 9506	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
121	48, 120	zsubcld 9607	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ ℤ)
122	119, 121	rpexpcld 10960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℝ+)
123	117, 58, 122	lemuldivd 9981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((1 · (2↑(𝑆 − 1))) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))))
124	116, 123	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))))
125		2cn 9214	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
126		expm1t 10830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → (2↑𝑆) = ((2↑(𝑆 − 1)) · 2))
127	125, 79, 126	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑆) = ((2↑(𝑆 − 1)) · 2))
128	71, 127	breqtrd 4114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 < ((2↑(𝑆 − 1)) · 2))
129	58, 56, 122	ltdivmuld 9983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < 2 ↔ 𝑁 < ((2↑(𝑆 − 1)) · 2)))
130	128, 129	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < 2)
131		df-2 9202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 = (1 + 1)
132	130, 131	breqtrdi 4129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < (1 + 1))
133		nnexpcl 10815	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑆 − 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℕ)
134	4, 81, 133	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℕ)
135		znq 9858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℕ) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∈ ℚ)
136	34, 134, 135	syl2an2r 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∈ ℚ)
137		flqbi 10551	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∧ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < (1 + 1))))
138	136, 120, 137	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∧ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < (1 + 1))))
139	124, 132, 138	mpbir2and 952	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) = 1)
140	139	breq2d 4100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) ↔ 2 ∥ 1))
141	11, 140	mtbiri 681	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))))
142		bitsval2 12507	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑆 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑆 − 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))))))
143	34, 81, 142	syl2an2r 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑆 − 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))))))
144	141, 143	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ (bits‘𝑁))
145	10, 144	sseldd 3228	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ (0..^𝑀))
146		elfzolt2 10392	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 − 1) ∈ (0..^𝑀) → (𝑆 − 1) < 𝑀)
147	145, 146	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) < 𝑀)
148		zlem1lt 9536	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑆 ≤ 𝑀 ↔ (𝑆 − 1) < 𝑀))
149	47, 51, 148	syl2an2r 599	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 ≤ 𝑀 ↔ (𝑆 − 1) < 𝑀))
150	147, 149	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ≤ 𝑀)
151		zltnle 9525	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ 𝑀))
152	50, 48, 151	syl2an2r 599	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑀 < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ 𝑀))
153	76, 152	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑆 ≤ 𝑀)
154	150, 153	pm2.65da 667	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (2↑𝑀) ≤ 𝑁)
155		zltnle 9525	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑𝑀) ↔ ¬ (2↑𝑀) ≤ 𝑁))
156	34, 8, 155	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < (2↑𝑀) ↔ ¬ (2↑𝑀) ≤ 𝑁))
157	154, 156	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (2↑𝑀))
158		elfzo2 10385	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (2↑𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑𝑀)))
159	3, 8, 157, 158	syl3anbrc 1207	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 841   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511  {crab 2514   ⊆ wss 3200   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  infcinf 7182  ℂcc 8030  ℝcr 8031  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   · cmul 8037   < clt 8214   ≤ cle 8215   − cmin 8350   / cdiv 8852  ℕcn 9143  2c2 9194  ℕ₀cn0 9402  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755  ℚcq 9853  ℝ⁺crp 9888  ...cfz 10243  ..^cfzo 10377  ⌊cfl 10529  ↑cexp 10801   ∥ cdvds 12350  bitscbits 12503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-fl 10531  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-dvds 12351  df-bits 12504

This theorem is referenced by:  bitsfzo  12518