Theorem gausslemma2d 15791

Description: Gauss' Lemma (see also theorem 9.6 in [ApostolNT] p. 182) for integer 2: Let p be an odd prime. Let S = {2, 4, 6, ..., p - 1}. Let n denote the number of elements of S whose least positive residue modulo p is greater than p/2. Then ( 2 | p ) = (-1)^n. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2d	⊢ (𝜑 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3		gausslemma2d.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4		gausslemma2d.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5		gausslemma2d.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
6	1, 2, 3, 4, 5	gausslemma2dlem7 15790	. 2 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)
7	1	gausslemma2dlem0a 15771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
8		nnq 9860	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℚ)
10		eldifi 3327	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
11		prmgt1 12697	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
12	1, 10, 11	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
13		q1mod 10611	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
14	9, 12, 13	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
15	14	eqcomd 2235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 = (1 mod 𝑃))
16	15	eqeq2d 2241	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1 ↔ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)))
17		neg1z 9504	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℤ
18	1, 4, 2, 5	gausslemma2dlem0h 15778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
19		zexpcl 10809	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
20	17, 18, 19	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
21		2nn 9298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
23	1, 2	gausslemma2dlem0b 15772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
24	23	nnnn0d 9448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
25	22, 24	nnexpcld 10950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℕ)
26	25	nnzd 9594	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℤ)
27	20, 26	zmulcld 9601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ)
28		zq 9853	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℚ)
29	27, 28	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℚ)
30	29	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℚ)
31		1z 9498	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
32		zq 9853	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
33	31, 32	mp1i 10	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → 1 ∈ ℚ)
34	20	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
35	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℚ)
36	7	nngt0d 9180	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑃)
37	36	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → 0 < 𝑃)
38		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
39	30, 33, 34, 35, 37, 38	modqmul1 10632	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃))
40	39	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃)))
41	20	zcnd 9596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
42	25	nncnd 9150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
43	41, 42, 41	mul32d 8325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) = (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (2↑𝐻)))
44	18	nn0cnd 9450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
45	44	2timesd 9380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
46	45	eqcomd 2235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝑁) = (2 · 𝑁))
47	46	oveq2d 6029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = (-1↑(2 · 𝑁)))
48		neg1cn 9241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℂ
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
50	49, 18, 18	expaddd 10930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
51	18	nn0zd 9593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
52		m1expeven 10841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
53	51, 52	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
54	47, 50, 53	3eqtr3d 2270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
55	54	oveq1d 6028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (2↑𝐻)) = (1 · (2↑𝐻)))
56	42	mullidd 8190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · (2↑𝐻)) = (2↑𝐻))
57	43, 55, 56	3eqtrd 2266	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) = (2↑𝐻))
58	57	oveq1d 6028	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((2↑𝐻) mod 𝑃))
59	41	mullidd 8190	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · (-1↑𝑁)) = (-1↑𝑁))
60	59	oveq1d 6028	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃))
61	58, 60	eqeq12d 2244	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) ↔ ((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
62	2	oveq2i 6024	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑𝐻) = (2↑((𝑃 − 1) / 2))
63	62	oveq1i 6023	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃)
64	63	eqeq1i 2237	. . . . . 6 ⊢ (((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃))
65		2z 9500	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
66		lgsvalmod 15741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
67	65, 1, 66	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
68	67	eqcomd 2235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
69	68	eqeq1d 2238	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
70	1, 4, 2, 5	gausslemma2dlem0i 15779	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
71	69, 70	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
72	64, 71	biimtrid 152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
73	61, 72	sylbid 150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
74	40, 73	syld 45	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
75	16, 74	sylbid 150	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
76	6, 75	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∖ cdif 3195  ifcif 3603  {csn 3667   class class class wbr 4086   ↦ cmpt 4148  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℂcc 8023  0cc0 8025  1c1 8026   + caddc 8028   · cmul 8030   < clt 8207   − cmin 8343  -cneg 8344   / cdiv 8845  ℕcn 9136  2c2 9187  4c4 9189  ℕ₀cn0 9395  ℤcz 9472  ℚcq 9846  ...cfz 10236  ⌊cfl 10521   mod cmo 10577  ↑cexp 10793  ℙcprime 12672   /_L clgs 15719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-tp 3675  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-sup 7177  df-inf 7178  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-ioo 10120  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-fl 10523  df-mod 10578  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-fac 10981  df-ihash 11031  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-clim 11833  df-proddc 12105  df-dvds 12342  df-gcd 12518  df-prm 12673  df-phi 12776  df-pc 12851  df-lgs 15720

This theorem is referenced by:  2lgs  15826