Theorem gausslemma2d 15418

Description: Gauss' Lemma (see also theorem 9.6 in [ApostolNT] p. 182) for integer 2: Let p be an odd prime. Let S = {2, 4, 6, ..., p - 1}. Let n denote the number of elements of S whose least positive residue modulo p is greater than p/2. Then ( 2 | p ) = (-1)^n. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2d	⊢ (𝜑 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3		gausslemma2d.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4		gausslemma2d.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5		gausslemma2d.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
6	1, 2, 3, 4, 5	gausslemma2dlem7 15417	. 2 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)
7	1	gausslemma2dlem0a 15398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
8		nnq 9726	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℚ)
10		eldifi 3286	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
11		prmgt1 12327	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
12	1, 10, 11	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
13		q1mod 10467	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
14	9, 12, 13	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
15	14	eqcomd 2202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 = (1 mod 𝑃))
16	15	eqeq2d 2208	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1 ↔ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)))
17		neg1z 9377	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℤ
18	1, 4, 2, 5	gausslemma2dlem0h 15405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
19		zexpcl 10665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
20	17, 18, 19	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
21		2nn 9171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
23	1, 2	gausslemma2dlem0b 15399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
24	23	nnnn0d 9321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
25	22, 24	nnexpcld 10806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℕ)
26	25	nnzd 9466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℤ)
27	20, 26	zmulcld 9473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ)
28		zq 9719	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℚ)
29	27, 28	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℚ)
30	29	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℚ)
31		1z 9371	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
32		zq 9719	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
33	31, 32	mp1i 10	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → 1 ∈ ℚ)
34	20	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
35	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℚ)
36	7	nngt0d 9053	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑃)
37	36	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → 0 < 𝑃)
38		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
39	30, 33, 34, 35, 37, 38	modqmul1 10488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃))
40	39	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃)))
41	20	zcnd 9468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
42	25	nncnd 9023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
43	41, 42, 41	mul32d 8198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) = (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (2↑𝐻)))
44	18	nn0cnd 9323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
45	44	2timesd 9253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
46	45	eqcomd 2202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝑁) = (2 · 𝑁))
47	46	oveq2d 5941	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = (-1↑(2 · 𝑁)))
48		neg1cn 9114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℂ
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
50	49, 18, 18	expaddd 10786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
51	18	nn0zd 9465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
52		m1expeven 10697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
53	51, 52	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
54	47, 50, 53	3eqtr3d 2237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
55	54	oveq1d 5940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (2↑𝐻)) = (1 · (2↑𝐻)))
56	42	mullidd 8063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · (2↑𝐻)) = (2↑𝐻))
57	43, 55, 56	3eqtrd 2233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) = (2↑𝐻))
58	57	oveq1d 5940	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((2↑𝐻) mod 𝑃))
59	41	mullidd 8063	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · (-1↑𝑁)) = (-1↑𝑁))
60	59	oveq1d 5940	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃))
61	58, 60	eqeq12d 2211	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) ↔ ((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
62	2	oveq2i 5936	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑𝐻) = (2↑((𝑃 − 1) / 2))
63	62	oveq1i 5935	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃)
64	63	eqeq1i 2204	. . . . . 6 ⊢ (((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃))
65		2z 9373	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
66		lgsvalmod 15368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
67	65, 1, 66	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
68	67	eqcomd 2202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
69	68	eqeq1d 2205	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
70	1, 4, 2, 5	gausslemma2dlem0i 15406	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
71	69, 70	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
72	64, 71	biimtrid 152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
73	61, 72	sylbid 150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
74	40, 73	syld 45	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
75	16, 74	sylbid 150	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
76	6, 75	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ∖ cdif 3154  ifcif 3562  {csn 3623   class class class wbr 4034   ↦ cmpt 4095  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℂcc 7896  0cc0 7898  1c1 7899   + caddc 7901   · cmul 7903   < clt 8080   − cmin 8216  -cneg 8217   / cdiv 8718  ℕcn 9009  2c2 9060  4c4 9062  ℕ₀cn0 9268  ℤcz 9345  ℚcq 9712  ...cfz 10102  ⌊cfl 10377   mod cmo 10433  ↑cexp 10649  ℙcprime 12302   /_L clgs 15346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016  ax-arch 8017  ax-caucvg 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-5 9071  df-6 9072  df-7 9073  df-8 9074  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-q 9713  df-rp 9748  df-ioo 9986  df-fz 10103  df-fzo 10237  df-fl 10379  df-mod 10434  df-seqfrec 10559  df-exp 10650  df-fac 10837  df-ihash 10887  df-cj 11026  df-re 11027  df-im 11028  df-rsqrt 11182  df-abs 11183  df-clim 11463  df-proddc 11735  df-dvds 11972  df-gcd 12148  df-prm 12303  df-phi 12406  df-pc 12481  df-lgs 15347

This theorem is referenced by:  2lgs  15453