Theorem gausslemma2d 15113

Description: Gauss' Lemma (see also theorem 9.6 in [ApostolNT] p. 182) for integer 2: Let p be an odd prime. Let S = {2, 4, 6, ..., p - 1}. Let n denote the number of elements of S whose least positive residue modulo p is greater than p/2. Then ( 2 | p ) = (-1)^n. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2d	⊢ (𝜑 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3		gausslemma2d.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4		gausslemma2d.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5		gausslemma2d.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
6	1, 2, 3, 4, 5	gausslemma2dlem7 15112	. 2 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)
7	1	gausslemma2dlem0a 15093	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
8		nnq 9684	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℚ)
10		eldifi 3277	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
11		prmgt1 12244	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
12	1, 10, 11	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
13		q1mod 10413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
14	9, 12, 13	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
15	14	eqcomd 2195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 = (1 mod 𝑃))
16	15	eqeq2d 2201	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1 ↔ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)))
17		neg1z 9335	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℤ
18	1, 4, 2, 5	gausslemma2dlem0h 15100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
19		zexpcl 10599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
20	17, 18, 19	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
21		2nn 9129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
23	1, 2	gausslemma2dlem0b 15094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
24	23	nnnn0d 9279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
25	22, 24	nnexpcld 10740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℕ)
26	25	nnzd 9424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℤ)
27	20, 26	zmulcld 9431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ)
28		zq 9677	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℚ)
29	27, 28	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℚ)
30	29	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℚ)
31		1z 9329	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
32		zq 9677	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
33	31, 32	mp1i 10	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → 1 ∈ ℚ)
34	20	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
35	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℚ)
36	7	nngt0d 9012	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑃)
37	36	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → 0 < 𝑃)
38		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
39	30, 33, 34, 35, 37, 38	modqmul1 10434	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃))
40	39	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃)))
41	20	zcnd 9426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
42	25	nncnd 8982	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
43	41, 42, 41	mul32d 8158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) = (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (2↑𝐻)))
44	18	nn0cnd 9281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
45	44	2timesd 9211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
46	45	eqcomd 2195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝑁) = (2 · 𝑁))
47	46	oveq2d 5922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = (-1↑(2 · 𝑁)))
48		neg1cn 9073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℂ
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
50	49, 18, 18	expaddd 10720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
51	18	nn0zd 9423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
52		m1expeven 10631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
53	51, 52	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
54	47, 50, 53	3eqtr3d 2230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
55	54	oveq1d 5921	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (2↑𝐻)) = (1 · (2↑𝐻)))
56	42	mullidd 8023	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · (2↑𝐻)) = (2↑𝐻))
57	43, 55, 56	3eqtrd 2226	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) = (2↑𝐻))
58	57	oveq1d 5921	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((2↑𝐻) mod 𝑃))
59	41	mullidd 8023	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · (-1↑𝑁)) = (-1↑𝑁))
60	59	oveq1d 5921	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃))
61	58, 60	eqeq12d 2204	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) ↔ ((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
62	2	oveq2i 5917	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑𝐻) = (2↑((𝑃 − 1) / 2))
63	62	oveq1i 5916	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃)
64	63	eqeq1i 2197	. . . . . 6 ⊢ (((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃))
65		2z 9331	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
66		lgsvalmod 15063	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
67	65, 1, 66	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
68	67	eqcomd 2195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
69	68	eqeq1d 2198	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
70	1, 4, 2, 5	gausslemma2dlem0i 15101	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
71	69, 70	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
72	64, 71	biimtrid 152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
73	61, 72	sylbid 150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
74	40, 73	syld 45	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
75	16, 74	sylbid 150	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
76	6, 75	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ∖ cdif 3146  ifcif 3553  {csn 3614   class class class wbr 4025   ↦ cmpt 4086  ‘cfv 5242  (class class class)co 5906  ℂcc 7856  0cc0 7858  1c1 7859   + caddc 7861   · cmul 7863   < clt 8040   − cmin 8176  -cneg 8177   / cdiv 8677  ℕcn 8968  2c2 9019  4c4 9021  ℕ₀cn0 9226  ℤcz 9303  ℚcq 9670  ...cfz 10060  ⌊cfl 10323   mod cmo 10379  ↑cexp 10583  ℙcprime 12219   /_L clgs 15041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4140  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-iinf 4612  ax-cnex 7949  ax-resscn 7950  ax-1cn 7951  ax-1re 7952  ax-icn 7953  ax-addcl 7954  ax-addrcl 7955  ax-mulcl 7956  ax-mulrcl 7957  ax-addcom 7958  ax-mulcom 7959  ax-addass 7960  ax-mulass 7961  ax-distr 7962  ax-i2m1 7963  ax-0lt1 7964  ax-1rid 7965  ax-0id 7966  ax-rnegex 7967  ax-precex 7968  ax-cnre 7969  ax-pre-ltirr 7970  ax-pre-ltwlin 7971  ax-pre-lttrn 7972  ax-pre-apti 7973  ax-pre-ltadd 7974  ax-pre-mulgt0 7975  ax-pre-mulext 7976  ax-arch 7977  ax-caucvg 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-nul 3443  df-if 3554  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-iun 3910  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-tr 4124  df-id 4318  df-po 4321  df-iso 4322  df-iord 4391  df-on 4393  df-ilim 4394  df-suc 4396  df-iom 4615  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-f1 5247  df-fo 5248  df-f1o 5249  df-fv 5250  df-isom 5251  df-riota 5861  df-ov 5909  df-oprab 5910  df-mpo 5911  df-1st 6180  df-2nd 6181  df-recs 6345  df-irdg 6410  df-frec 6431  df-1o 6456  df-2o 6457  df-oadd 6460  df-er 6574  df-en 6782  df-dom 6783  df-fin 6784  df-sup 7029  df-inf 7030  df-pnf 8042  df-mnf 8043  df-xr 8044  df-ltxr 8045  df-le 8046  df-sub 8178  df-neg 8179  df-reap 8580  df-ap 8587  df-div 8678  df-inn 8969  df-2 9027  df-3 9028  df-4 9029  df-5 9030  df-6 9031  df-7 9032  df-8 9033  df-n0 9227  df-z 9304  df-uz 9579  df-q 9671  df-rp 9706  df-ioo 9944  df-fz 10061  df-fzo 10195  df-fl 10325  df-mod 10380  df-seqfrec 10505  df-exp 10584  df-fac 10771  df-ihash 10821  df-cj 10960  df-re 10961  df-im 10962  df-rsqrt 11116  df-abs 11117  df-clim 11396  df-proddc 11668  df-dvds 11905  df-gcd 12054  df-prm 12220  df-phi 12323  df-pc 12397  df-lgs 15042

This theorem is referenced by: (None)