Theorem gausslemma2d 16405

Description: Gauss' Lemma (see also theorem 9.6 in [ApostolNT] p. 182) for integer 2: Let p be an odd prime. Let S = {2, 4, 6, ..., p - 1}. Let n denote the number of elements of S whose least positive residue modulo p is greater than p/2. Then ( 2 | p ) = (-1)^n. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2d	⊢ (𝜑 → (2 /L 𝑃) = ( -1↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3		gausslemma2d.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4		gausslemma2d.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5		gausslemma2d.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
6	1, 2, 3, 4, 5	gausslemma2dlem7 16404	. 2 ⊢ (𝜑 → ((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)
7	1	gausslemma2dlem0a 16385	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
8		nnq 10050	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℚ)
10		eldifi 3351	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
11		prmgt1 12937	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
12	1, 10, 11	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
13		q1mod 10815	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
14	9, 12, 13	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
15	14	eqcomd 2244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 = (1 mod 𝑃))
16	15	eqeq2d 2250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1 ↔ ((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)))
17		neg1z 9688	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℤ
18	1, 4, 2, 5	gausslemma2dlem0h 16392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
19		zexpcl 11013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ( -1↑𝑁) ∈ ℤ)
20	17, 18, 19	sylancr 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( -1↑𝑁) ∈ ℤ)
21		2nn 9478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
23	1, 2	gausslemma2dlem0b 16386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
24	23	nnnn0d 9632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
25	22, 24	nnexpcld 11155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℕ)
26	25	nnzd 9779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℤ)
27	20, 26	zmulcld 9786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ)
28		zq 10043	. . . . . . . 8 ⊢ ((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ → (( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℚ)
29	27, 28	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℚ)
30	29	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℚ)
31		1z 9682	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
32		zq 10043	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
33	31, 32	mp1i 10	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → 1 ∈ ℚ)
34	20	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ( -1↑𝑁) ∈ ℤ)
35	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℚ)
36	7	nngt0d 9358	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑃)
37	36	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → 0 < 𝑃)
38		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
39	30, 33, 34, 35, 37, 38	modqmul1 10836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · ( -1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · ( -1↑𝑁)) mod 𝑃))
40	39	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → (((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · ( -1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · ( -1↑𝑁)) mod 𝑃)))
41	20	zcnd 9781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( -1↑𝑁) ∈ ℂ)
42	25	nncnd 9328	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
43	41, 42, 41	mul32d 8487	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · ( -1↑𝑁)) = ((( -1↑𝑁) · ( -1↑𝑁)) · (2↑𝐻)))
44	18	nn0cnd 9634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
45	44	2timesd 9560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
46	45	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝑁) = (2 · 𝑁))
47	46	oveq2d 6104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( -1↑(𝑁 + 𝑁)) = ( -1↑(2 · 𝑁)))
48		neg1cn 9419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℂ
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
50	49, 18, 18	expaddd 11135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( -1↑(𝑁 + 𝑁)) = (( -1↑𝑁) · ( -1↑𝑁)))
51	18	nn0zd 9778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
52		m1expeven 11045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ( -1↑(2 · 𝑁)) = 1)
53	51, 52	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( -1↑(2 · 𝑁)) = 1)
54	47, 50, 53	3eqtr3d 2279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (( -1↑𝑁) · ( -1↑𝑁)) = 1)
55	54	oveq1d 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((( -1↑𝑁) · ( -1↑𝑁)) · (2↑𝐻)) = (1 · (2↑𝐻)))
56	42	mullidd 8351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · (2↑𝐻)) = (2↑𝐻))
57	43, 55, 56	3eqtrd 2275	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · ( -1↑𝑁)) = (2↑𝐻))
58	57	oveq1d 6103	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · ( -1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((2↑𝐻) mod 𝑃))
59	41	mullidd 8351	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · ( -1↑𝑁)) = ( -1↑𝑁))
60	59	oveq1d 6103	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 · ( -1↑𝑁)) mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃))
61	58, 60	eqeq12d 2253	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · ( -1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · ( -1↑𝑁)) mod 𝑃) ↔ ((2↑𝐻) mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃)))
62	2	oveq2i 6099	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑𝐻) = (2↑((𝑃 − 1) / 2))
63	62	oveq1i 6098	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃)
64	63	eqeq1i 2246	. . . . . 6 ⊢ (((2↑𝐻) mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃))
65		2z 9684	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
66		lgsvalmod 16355	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
67	65, 1, 66	sylancr 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
68	67	eqcomd 2244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
69	68	eqeq1d 2247	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃)))
70	1, 4, 2, 5	gausslemma2dlem0i 16393	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = ( -1↑𝑁)))
71	69, 70	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = ( -1↑𝑁)))
72	64, 71	biimtrid 152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2↑𝐻) mod 𝑃) = (( -1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = ( -1↑𝑁)))
73	61, 72	sylbid 150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · ( -1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · ( -1↑𝑁)) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = ( -1↑𝑁)))
74	40, 73	syld 45	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = ( -1↑𝑁)))
75	16, 74	sylbid 150	. 2 ⊢ (𝜑 → (((( -1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = ( -1↑𝑁)))
76	6, 75	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → (2 /L 𝑃) = ( -1↑𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∖ cdif 3217  ifcif 3638  {csn 3709   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  0cc0 8186  1c1 8187   + caddc 8189   · cmul 8191   < clt 8367   − cmin 8505   -cneg 8506   / cdiv 9011  ℕcn 9314  2c2 9365  4c4 9367  ℕ₀cn0 9575  ℤcz 9656  ℚcq 10036  ...cfz 10429  ⌊cfl 10721   mod cmo 10781  ↑cexp 10997  ℙcprime 12911   /_L clgs 16333

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-sup 7331  df-inf 7332  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-ioo 10312  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-fl 10723  df-mod 10782  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-fac 11187  df-ihash 11238  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-clim 12071  df-proddc 12344  df-dvds 12581  df-gcd 12757  df-prm 12912  df-phi 13019  df-pc 13094  df-lgs 16334

This theorem is used by:  2lgs  16440