Theorem frec2uzf1od 10374

Description: 𝐺 (see frec2uz0d 10367) is a one-to-one onto mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzf1od	⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzf1od

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 9233	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ∈ V
2	1	mptex 5734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) ∈ V
3		vex 2738	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
4	2, 3	fvex 5527	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
5	4	ax-gen 1447	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
6		frec2uz.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
7		frecfnom 6392	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
8	5, 6, 7	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
9		frec2uz.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
10	9	fneq1i 5302	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Fn ω ↔ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
11	8, 10	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ω)
12	6, 9	frec2uzrand 10373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶))
13		eqimss 3207	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶) → ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶))
14	12, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶))
15		df-f 5212	. . . 4 ⊢ (𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺 Fn ω ∧ ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶)))
16	11, 14, 15	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶))
17	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐶 ∈ ℤ)
18		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
19	17, 9, 18	frec2uzzd 10368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
20	19	3adant3 1017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
21	20	zred 9346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
22	21	ltnrd 8043	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑦))
23	22	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑦))
24		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧))
25	24	breq2d 4010	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧)))
26	23, 25	mtbid 672	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧))
27	17	3adant3 1017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝐶 ∈ ℤ)
28		simp2 998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
29		simp3 999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ∈ ω)
30	27, 9, 28, 29	frec2uzltd 10371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧)))
31	30	con3d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑧))
32	31	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → (¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑧))
33	26, 32	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑧)
34	24	breq1d 4008	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
35	23, 34	mtbid 672	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ¬ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))
36	27, 9, 29, 28	frec2uzltd 10371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
37	36	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
38	35, 37	mtod 663	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
39		nntri3 6488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)))
40	39	3adant1 1015	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)))
41	40	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)))
42	33, 38, 41	mpbir2and 944	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → 𝑦 = 𝑧)
43	42	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
44	43	3expb 1204	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
45	44	ralrimivva 2557	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
46		dff13 5759	. . 3 ⊢ (𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶) ∧ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
47	16, 45, 46	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶))
48		dff1o5 5462	. 2 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶) ∧ ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶)))
49	47, 12, 48	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978  ∀wal 1351   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  ∀wral 2453  Vcvv 2735   ⊆ wss 3127   class class class wbr 3998   ↦ cmpt 4059  ωcom 4583  ran crn 4621   Fn wfn 5203  ⟶wf 5204  –1-1→wf1 5205  –1-1-onto→wf1o 5207  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865  freccfrec 6381  1c1 7787   + caddc 7789   < clt 7966  ℤcz 9224  ℤ_≥cuz 9499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8891  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500

This theorem is referenced by:  frec2uzisod  10375  frecuzrdglem  10379  frecuzrdgtcl  10380  frecuzrdgsuc  10382  frecuzrdgg  10384  frecuzrdgdomlem  10385  frecuzrdgfunlem  10387  frecuzrdgsuctlem  10391  uzenom  10393  frecfzennn  10394  frechashgf1o  10396  frec2uzled  10397  hashfz1  10729  hashen  10730  ennnfonelemjn  12368  ennnfonelem1  12373  ennnfonelemhf1o  12379  ennnfonelemrn  12385  ssnnctlemct  12412