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Theorem frec2uzf1od 9716
Description: 𝐺 (see frec2uz0d 9709) is a one-to-one onto mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
Assertion
Ref Expression
frec2uzf1od (𝜑𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzf1od
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 8669 . . . . . . . . 9 ℤ ∈ V
21mptex 5466 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) ∈ V
3 vex 2617 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
42, 3fvex 5273 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
54ax-gen 1381 . . . . . 6 𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
6 frec2uz.1 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
7 frecfnom 6101 . . . . . 6 ((∀𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
85, 6, 7sylancr 405 . . . . 5 (𝜑 → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
9 frec2uz.2 . . . . . 6 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
109fneq1i 5064 . . . . 5 (𝐺 Fn ω ↔ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
118, 10sylibr 132 . . . 4 (𝜑𝐺 Fn ω)
126, 9frec2uzrand 9715 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐺 = (ℤ𝐶))
13 eqimss 3064 . . . . 5 (ran 𝐺 = (ℤ𝐶) → ran 𝐺 ⊆ (ℤ𝐶))
1412, 13syl 14 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ (ℤ𝐶))
15 df-f 4976 . . . 4 (𝐺:ω⟶(ℤ𝐶) ↔ (𝐺 Fn ω ∧ ran 𝐺 ⊆ (ℤ𝐶)))
1611, 14, 15sylanbrc 408 . . 3 (𝜑𝐺:ω⟶(ℤ𝐶))
176adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → 𝐶 ∈ ℤ)
18 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
1917, 9, 18frec2uzzd 9710 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → (𝐺𝑦) ∈ ℤ)
20193adant3 961 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺𝑦) ∈ ℤ)
2120zred 8778 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺𝑦) ∈ ℝ)
2221ltnrd 7517 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ¬ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑦))
2322adantr 270 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → ¬ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑦))
24 simpr 108 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧))
2524breq2d 3826 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → ((𝐺𝑦) < (𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧)))
2623, 25mtbid 630 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → ¬ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧))
27173adant3 961 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝐶 ∈ ℤ)
28 simp2 942 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
29 simp3 943 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ∈ ω)
3027, 9, 28, 29frec2uzltd 9713 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦𝑧 → (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧)))
3130con3d 594 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) → ¬ 𝑦𝑧))
3231adantr 270 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → (¬ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) → ¬ 𝑦𝑧))
3326, 32mpd 13 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → ¬ 𝑦𝑧)
3424breq1d 3824 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → ((𝐺𝑦) < (𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦)))
3523, 34mtbid 630 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → ¬ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦))
3627, 9, 29, 28frec2uzltd 9713 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑧𝑦 → (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦)))
3736adantr 270 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → (𝑧𝑦 → (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦)))
3835, 37mtod 622 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → ¬ 𝑧𝑦)
39 nntri3 6193 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (¬ 𝑦𝑧 ∧ ¬ 𝑧𝑦)))
40393adant1 959 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (¬ 𝑦𝑧 ∧ ¬ 𝑧𝑦)))
4140adantr 270 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (¬ 𝑦𝑧 ∧ ¬ 𝑧𝑦)))
4233, 38, 41mpbir2and 888 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → 𝑦 = 𝑧)
4342ex 113 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
44433expb 1142 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
4544ralrimivva 2451 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
46 dff13 5490 . . 3 (𝐺:ω–1-1→(ℤ𝐶) ↔ (𝐺:ω⟶(ℤ𝐶) ∧ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
4716, 45, 46sylanbrc 408 . 2 (𝜑𝐺:ω–1-1→(ℤ𝐶))
48 dff1o5 5213 . 2 (𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) ↔ (𝐺:ω–1-1→(ℤ𝐶) ∧ ran 𝐺 = (ℤ𝐶)))
4947, 12, 48sylanbrc 408 1 (𝜑𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 922  wal 1285   = wceq 1287  wcel 1436  wral 2355  Vcvv 2614  wss 2986   class class class wbr 3814  cmpt 3868  ωcom 4371  ran crn 4405   Fn wfn 4967  wf 4968  1-1wf1 4969  1-1-ontowf1o 4971  cfv 4972  (class class class)co 5594  freccfrec 6090  1c1 7272   + caddc 7274   < clt 7443  cz 8660  cuz 8928
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-addcom 7366  ax-addass 7368  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-ltadd 7382
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-iord 4160  df-on 4162  df-ilim 4163  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-recs 6005  df-frec 6091  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-inn 8335  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929
This theorem is referenced by:  frec2uzisod  9717  frecuzrdglem  9721  frecuzrdgtcl  9722  frecuzrdgsuc  9724  frecuzrdgg  9726  frecuzrdgdomlem  9727  frecuzrdgfunlem  9729  frecuzrdgsuctlem  9733  uzenom  9735  frecfzennn  9736  frechashgf1o  9738  frec2uzled  9739  hashfz1  10040  hashen  10041
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