Theorem frec2uzf1od 10615

Description: 𝐺 (see frec2uz0d 10608) is a one-to-one onto mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzf1od	⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzf1od

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 9443	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ∈ V
2	1	mptex 5858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) ∈ V
3		vex 2802	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
4	2, 3	fvex 5643	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
5	4	ax-gen 1495	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
6		frec2uz.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
7		frecfnom 6537	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
8	5, 6, 7	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
9		frec2uz.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
10	9	fneq1i 5411	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Fn ω ↔ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
11	8, 10	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ω)
12	6, 9	frec2uzrand 10614	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶))
13		eqimss 3278	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶) → ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶))
14	12, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶))
15		df-f 5318	. . . 4 ⊢ (𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺 Fn ω ∧ ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶)))
16	11, 14, 15	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶))
17	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐶 ∈ ℤ)
18		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
19	17, 9, 18	frec2uzzd 10609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
20	19	3adant3 1041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
21	20	zred 9557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
22	21	ltnrd 8246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑦))
23	22	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑦))
24		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧))
25	24	breq2d 4094	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧)))
26	23, 25	mtbid 676	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧))
27	17	3adant3 1041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝐶 ∈ ℤ)
28		simp2 1022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
29		simp3 1023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ∈ ω)
30	27, 9, 28, 29	frec2uzltd 10612	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧)))
31	30	con3d 634	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑧))
32	31	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → (¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑧))
33	26, 32	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑧)
34	24	breq1d 4092	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
35	23, 34	mtbid 676	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ¬ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))
36	27, 9, 29, 28	frec2uzltd 10612	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
37	36	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
38	35, 37	mtod 667	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
39		nntri3 6633	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)))
40	39	3adant1 1039	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)))
41	40	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)))
42	33, 38, 41	mpbir2and 950	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → 𝑦 = 𝑧)
43	42	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
44	43	3expb 1228	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
45	44	ralrimivva 2612	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
46		dff13 5885	. . 3 ⊢ (𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶) ∧ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
47	16, 45, 46	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶))
48		dff1o5 5577	. 2 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶) ∧ ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶)))
49	47, 12, 48	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002  ∀wal 1393   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4082   ↦ cmpt 4144  ωcom 4679  ran crn 4717   Fn wfn 5309  ⟶wf 5310  –1-1→wf1 5311  –1-1-onto→wf1o 5313  ‘cfv 5314  (class class class)co 5994  freccfrec 6526  1c1 7988   + caddc 7990   < clt 8169  ℤcz 9434  ℤ_≥cuz 9710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-recs 6441  df-frec 6527  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-inn 9099  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711

This theorem is referenced by:  frec2uzisod  10616  frecuzrdglem  10620  frecuzrdgtcl  10621  frecuzrdgsuc  10623  frecuzrdgg  10625  frecuzrdgdomlem  10626  frecuzrdgfunlem  10628  frecuzrdgsuctlem  10632  uzenom  10634  frecfzennn  10635  frechashgf1o  10637  frec2uzled  10638  hashfz1  10992  hashen  10993  nninfctlemfo  12547  ennnfonelemjn  12959  ennnfonelem1  12964  ennnfonelemhf1o  12970  ennnfonelemrn  12976  ssnnctlemct  13003