Theorem frec2uzf1od 10865

Description: 𝐺 (see frec2uz0d 10858) is a one-to-one onto mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzf1od	⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzf1od

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 9665	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ∈ V
2	1	mptex 5946	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) ∈ V
3		vex 2824	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
4	2, 3	fvex 5718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
5	4	ax-gen 1502	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
6		frec2uz.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
7		frecfnom 6676	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
8	5, 6, 7	sylancr 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
9		frec2uz.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
10	9	fneq1i 5478	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Fn ω ↔ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
11	8, 10	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ω)
12	6, 9	frec2uzrand 10864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶))
13		eqimss 3302	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶) → ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶))
14	12, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶))
15		df-f 5384	. . . 4 ⊢ (𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺 Fn ω ∧ ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶)))
16	11, 14, 15	sylanbrc 421	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶))
17	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐶 ∈ ℤ)
18		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
19	17, 9, 18	frec2uzzd 10859	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
20	19	3adant3 1048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
21	20	zred 9780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
22	21	ltnrd 8445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑦))
23	22	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑦))
24		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧))
25	24	breq2d 4143	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧)))
26	23, 25	mtbid 683	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧))
27	17	3adant3 1048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝐶 ∈ ℤ)
28		simp2 1029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
29		simp3 1030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ∈ ω)
30	27, 9, 28, 29	frec2uzltd 10862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧)))
31	30	con3d 640	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑧))
32	31	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → (¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑧))
33	26, 32	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑧)
34	24	breq1d 4141	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
35	23, 34	mtbid 683	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ¬ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))
36	27, 9, 29, 28	frec2uzltd 10862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
37	36	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
38	35, 37	mtod 673	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
39		nntri3 6774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)))
40	39	3adant1 1046	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)))
41	40	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)))
42	33, 38, 41	mpbir2and 957	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → 𝑦 = 𝑧)
43	42	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
44	43	3expb 1235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
45	44	ralrimivva 2632	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
46		dff13 5977	. . 3 ⊢ (𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶) ∧ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
47	16, 45, 46	sylanbrc 421	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶))
48		dff1o5 5651	. 2 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶) ∧ ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶)))
49	47, 12, 48	sylanbrc 421	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009  ∀wal 1400   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193  ωcom 4739  ran crn 4777   Fn wfn 5375  ⟶wf 5376  –1-1→wf1 5377  –1-1-onto→wf1o 5379  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  freccfrec 6665  1c1 8187   + caddc 8189   < clt 8367  ℤcz 9656  ℤ_≥cuz 9938

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939

This theorem is used by:  frec2uzisod  10866  frecuzrdglem  10870  frecuzrdgtcl  10871  frecuzrdgsuc  10873  frecuzrdgg  10875  frecuzrdgdomlem  10876  frecuzrdgfunlem  10878  frecuzrdgsuctlem  10882  uzenom  10884  frecfzennn  10885  frechashgf1o  10887  frec2uzled  10888  hashfz1  11245  hashen  11246  nninfctlemfo  12843  ennnfonelemjn  13352  ennnfonelem1  13357  ennnfonelemhf1o  13363  ennnfonelemrn  13369  ssnnctlemct  13396