Theorem frec2uzf1od 10845

Description: 𝐺 (see frec2uz0d 10838) is a one-to-one onto mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzf1od	⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzf1od

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 9655	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ∈ V
2	1	mptex 5943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) ∈ V
3		vex 2824	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
4	2, 3	fvex 5715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
5	4	ax-gen 1502	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
6		frec2uz.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
7		frecfnom 6672	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
8	5, 6, 7	sylancr 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
9		frec2uz.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
10	9	fneq1i 5475	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Fn ω ↔ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
11	8, 10	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ω)
12	6, 9	frec2uzrand 10844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶))
13		eqimss 3302	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶) → ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶))
14	12, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶))
15		df-f 5381	. . . 4 ⊢ (𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺 Fn ω ∧ ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶)))
16	11, 14, 15	sylanbrc 421	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶))
17	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐶 ∈ ℤ)
18		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
19	17, 9, 18	frec2uzzd 10839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
20	19	3adant3 1048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
21	20	zred 9770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
22	21	ltnrd 8437	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑦))
23	22	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑦))
24		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧))
25	24	breq2d 4142	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧)))
26	23, 25	mtbid 683	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧))
27	17	3adant3 1048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝐶 ∈ ℤ)
28		simp2 1029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
29		simp3 1030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ∈ ω)
30	27, 9, 28, 29	frec2uzltd 10842	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧)))
31	30	con3d 640	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑧))
32	31	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → (¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑧))
33	26, 32	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑧)
34	24	breq1d 4140	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
35	23, 34	mtbid 683	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ¬ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))
36	27, 9, 29, 28	frec2uzltd 10842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
37	36	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
38	35, 37	mtod 673	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
39		nntri3 6770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)))
40	39	3adant1 1046	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)))
41	40	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)))
42	33, 38, 41	mpbir2and 957	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → 𝑦 = 𝑧)
43	42	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
44	43	3expb 1235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
45	44	ralrimivva 2632	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
46		dff13 5974	. . 3 ⊢ (𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶) ∧ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
47	16, 45, 46	sylanbrc 421	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶))
48		dff1o5 5648	. 2 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶) ∧ ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶)))
49	47, 12, 48	sylanbrc 421	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009  ∀wal 1400   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192  ωcom 4737  ran crn 4775   Fn wfn 5372  ⟶wf 5373  –1-1→wf1 5374  –1-1-onto→wf1o 5376  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  freccfrec 6661  1c1 8180   + caddc 8182   < clt 8360  ℤcz 9646  ℤ_≥cuz 9923

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924

This theorem is used by:  frec2uzisod  10846  frecuzrdglem  10850  frecuzrdgtcl  10851  frecuzrdgsuc  10853  frecuzrdgg  10855  frecuzrdgdomlem  10856  frecuzrdgfunlem  10858  frecuzrdgsuctlem  10862  uzenom  10864  frecfzennn  10865  frechashgf1o  10867  frec2uzled  10868  hashfz1  11224  hashen  11225  nninfctlemfo  12819  ennnfonelemjn  13295  ennnfonelem1  13300  ennnfonelemhf1o  13306  ennnfonelemrn  13312  ssnnctlemct  13339