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Theorem frec2uzf1od 9962
Description: 𝐺 (see frec2uz0d 9955) is a one-to-one onto mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
Assertion
Ref Expression
frec2uzf1od (𝜑𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzf1od
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 8857 . . . . . . . . 9 ℤ ∈ V
21mptex 5562 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) ∈ V
3 vex 2636 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
42, 3fvex 5360 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
54ax-gen 1390 . . . . . 6 𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
6 frec2uz.1 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
7 frecfnom 6204 . . . . . 6 ((∀𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
85, 6, 7sylancr 406 . . . . 5 (𝜑 → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
9 frec2uz.2 . . . . . 6 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
109fneq1i 5142 . . . . 5 (𝐺 Fn ω ↔ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
118, 10sylibr 133 . . . 4 (𝜑𝐺 Fn ω)
126, 9frec2uzrand 9961 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐺 = (ℤ𝐶))
13 eqimss 3093 . . . . 5 (ran 𝐺 = (ℤ𝐶) → ran 𝐺 ⊆ (ℤ𝐶))
1412, 13syl 14 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ (ℤ𝐶))
15 df-f 5053 . . . 4 (𝐺:ω⟶(ℤ𝐶) ↔ (𝐺 Fn ω ∧ ran 𝐺 ⊆ (ℤ𝐶)))
1611, 14, 15sylanbrc 409 . . 3 (𝜑𝐺:ω⟶(ℤ𝐶))
176adantr 271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → 𝐶 ∈ ℤ)
18 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
1917, 9, 18frec2uzzd 9956 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → (𝐺𝑦) ∈ ℤ)
20193adant3 966 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺𝑦) ∈ ℤ)
2120zred 8967 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺𝑦) ∈ ℝ)
2221ltnrd 7693 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ¬ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑦))
2322adantr 271 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → ¬ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑦))
24 simpr 109 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧))
2524breq2d 3879 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → ((𝐺𝑦) < (𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧)))
2623, 25mtbid 635 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → ¬ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧))
27173adant3 966 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝐶 ∈ ℤ)
28 simp2 947 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
29 simp3 948 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ∈ ω)
3027, 9, 28, 29frec2uzltd 9959 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦𝑧 → (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧)))
3130con3d 599 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) → ¬ 𝑦𝑧))
3231adantr 271 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → (¬ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) → ¬ 𝑦𝑧))
3326, 32mpd 13 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → ¬ 𝑦𝑧)
3424breq1d 3877 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → ((𝐺𝑦) < (𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦)))
3523, 34mtbid 635 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → ¬ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦))
3627, 9, 29, 28frec2uzltd 9959 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑧𝑦 → (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦)))
3736adantr 271 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → (𝑧𝑦 → (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦)))
3835, 37mtod 627 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → ¬ 𝑧𝑦)
39 nntri3 6298 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (¬ 𝑦𝑧 ∧ ¬ 𝑧𝑦)))
40393adant1 964 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (¬ 𝑦𝑧 ∧ ¬ 𝑧𝑦)))
4140adantr 271 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (¬ 𝑦𝑧 ∧ ¬ 𝑧𝑦)))
4233, 38, 41mpbir2and 893 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → 𝑦 = 𝑧)
4342ex 114 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
44433expb 1147 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
4544ralrimivva 2467 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
46 dff13 5585 . . 3 (𝐺:ω–1-1→(ℤ𝐶) ↔ (𝐺:ω⟶(ℤ𝐶) ∧ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
4716, 45, 46sylanbrc 409 . 2 (𝜑𝐺:ω–1-1→(ℤ𝐶))
48 dff1o5 5297 . 2 (𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) ↔ (𝐺:ω–1-1→(ℤ𝐶) ∧ ran 𝐺 = (ℤ𝐶)))
4947, 12, 48sylanbrc 409 1 (𝜑𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 927  wal 1294   = wceq 1296  wcel 1445  wral 2370  Vcvv 2633  wss 3013   class class class wbr 3867  cmpt 3921  ωcom 4433  ran crn 4468   Fn wfn 5044  wf 5045  1-1wf1 5046  1-1-ontowf1o 5048  cfv 5049  (class class class)co 5690  freccfrec 6193  1c1 7448   + caddc 7450   < clt 7619  cz 8848  cuz 9118
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-recs 6108  df-frec 6194  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119
This theorem is referenced by:  frec2uzisod  9963  frecuzrdglem  9967  frecuzrdgtcl  9968  frecuzrdgsuc  9970  frecuzrdgg  9972  frecuzrdgdomlem  9973  frecuzrdgfunlem  9975  frecuzrdgsuctlem  9979  uzenom  9981  frecfzennn  9982  frechashgf1o  9984  frec2uzled  9985  hashfz1  10306  hashen  10307
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