ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzf1od GIF version

Theorem frec2uzf1od 10439
Description: 𝐺 (see frec2uz0d 10432) is a one-to-one onto mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
Assertion
Ref Expression
frec2uzf1od (𝜑𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzf1od
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 9293 . . . . . . . . 9 ℤ ∈ V
21mptex 5763 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) ∈ V
3 vex 2755 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
42, 3fvex 5554 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
54ax-gen 1460 . . . . . 6 𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
6 frec2uz.1 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
7 frecfnom 6427 . . . . . 6 ((∀𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
85, 6, 7sylancr 414 . . . . 5 (𝜑 → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
9 frec2uz.2 . . . . . 6 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
109fneq1i 5329 . . . . 5 (𝐺 Fn ω ↔ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
118, 10sylibr 134 . . . 4 (𝜑𝐺 Fn ω)
126, 9frec2uzrand 10438 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐺 = (ℤ𝐶))
13 eqimss 3224 . . . . 5 (ran 𝐺 = (ℤ𝐶) → ran 𝐺 ⊆ (ℤ𝐶))
1412, 13syl 14 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ (ℤ𝐶))
15 df-f 5239 . . . 4 (𝐺:ω⟶(ℤ𝐶) ↔ (𝐺 Fn ω ∧ ran 𝐺 ⊆ (ℤ𝐶)))
1611, 14, 15sylanbrc 417 . . 3 (𝜑𝐺:ω⟶(ℤ𝐶))
176adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → 𝐶 ∈ ℤ)
18 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
1917, 9, 18frec2uzzd 10433 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → (𝐺𝑦) ∈ ℤ)
20193adant3 1019 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺𝑦) ∈ ℤ)
2120zred 9406 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺𝑦) ∈ ℝ)
2221ltnrd 8100 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ¬ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑦))
2322adantr 276 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → ¬ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑦))
24 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧))
2524breq2d 4030 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → ((𝐺𝑦) < (𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧)))
2623, 25mtbid 673 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → ¬ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧))
27173adant3 1019 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝐶 ∈ ℤ)
28 simp2 1000 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
29 simp3 1001 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ∈ ω)
3027, 9, 28, 29frec2uzltd 10436 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦𝑧 → (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧)))
3130con3d 632 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) → ¬ 𝑦𝑧))
3231adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → (¬ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) → ¬ 𝑦𝑧))
3326, 32mpd 13 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → ¬ 𝑦𝑧)
3424breq1d 4028 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → ((𝐺𝑦) < (𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦)))
3523, 34mtbid 673 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → ¬ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦))
3627, 9, 29, 28frec2uzltd 10436 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑧𝑦 → (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦)))
3736adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → (𝑧𝑦 → (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦)))
3835, 37mtod 664 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → ¬ 𝑧𝑦)
39 nntri3 6523 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (¬ 𝑦𝑧 ∧ ¬ 𝑧𝑦)))
40393adant1 1017 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (¬ 𝑦𝑧 ∧ ¬ 𝑧𝑦)))
4140adantr 276 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (¬ 𝑦𝑧 ∧ ¬ 𝑧𝑦)))
4233, 38, 41mpbir2and 946 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧)) → 𝑦 = 𝑧)
4342ex 115 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
44433expb 1206 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
4544ralrimivva 2572 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
46 dff13 5790 . . 3 (𝐺:ω–1-1→(ℤ𝐶) ↔ (𝐺:ω⟶(ℤ𝐶) ∧ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
4716, 45, 46sylanbrc 417 . 2 (𝜑𝐺:ω–1-1→(ℤ𝐶))
48 dff1o5 5489 . 2 (𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) ↔ (𝐺:ω–1-1→(ℤ𝐶) ∧ ran 𝐺 = (ℤ𝐶)))
4947, 12, 48sylanbrc 417 1 (𝜑𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 980  wal 1362   = wceq 1364  wcel 2160  wral 2468  Vcvv 2752  wss 3144   class class class wbr 4018  cmpt 4079  ωcom 4607  ran crn 4645   Fn wfn 5230  wf 5231  1-1wf1 5232  1-1-ontowf1o 5234  cfv 5235  (class class class)co 5897  freccfrec 6416  1c1 7843   + caddc 7845   < clt 8023  cz 9284  cuz 9559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560
This theorem is referenced by:  frec2uzisod  10440  frecuzrdglem  10444  frecuzrdgtcl  10445  frecuzrdgsuc  10447  frecuzrdgg  10449  frecuzrdgdomlem  10450  frecuzrdgfunlem  10452  frecuzrdgsuctlem  10456  uzenom  10458  frecfzennn  10459  frechashgf1o  10461  frec2uzled  10462  hashfz1  10798  hashen  10799  ennnfonelemjn  12456  ennnfonelem1  12461  ennnfonelemhf1o  12467  ennnfonelemrn  12473  ssnnctlemct  12500
  Copyright terms: Public domain W3C validator