ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recexgt0 GIF version

Theorem recexgt0 8349
Description: Existence of reciprocal of positive real number. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
recexgt0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem recexgt0
StepHypRef Expression
1 ax-precex 7737 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1))
2 0re 7773 . . . 4 0 ∈ ℝ
3 ltxrlt 7837 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ 0 < 𝐴))
42, 3mpan 420 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ 0 < 𝐴))
54pm5.32i 449 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
6 ltxrlt 7837 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑥))
72, 6mpan 420 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑥))
87anbi1d 460 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → ((0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) ↔ (0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)))
98rexbiia 2450 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1))
101, 5, 93imtr4i 200 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  wrex 2417   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  cr 7626  0cc0 7627  1c1 7628   < cltrr 7631   · cmul 7632   < clt 7807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1re 7721  ax-addrcl 7724  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-ltxr 7812
This theorem is referenced by:  ltmul1  8361
  Copyright terms: Public domain W3C validator