Theorem recexgt0 8626

Description: Existence of reciprocal of positive real number. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
recexgt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem recexgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-precex 8008	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1))
2		0re 8045	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		ltxrlt 8111	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ 0 <ℝ 𝐴))
4	2, 3	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ 0 <ℝ 𝐴))
5	4	pm5.32i 454	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴))
6		ltxrlt 8111	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 < 𝑥 ↔ 0 <ℝ 𝑥))
7	2, 6	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 ↔ 0 <ℝ 𝑥))
8	7	anbi1d 465	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) ↔ (0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)))
9	8	rexbiia 2512	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1))
10	1, 5, 9	3imtr4i 201	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℝcr 7897  0cc0 7898  1c1 7899   <_ℝ cltrr 7902   · cmul 7903   < clt 8080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1re 7992  ax-addrcl 7995  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-ltxr 8085

This theorem is referenced by:  ltmul1  8638