Theorem recexgt0 8366

Description: Existence of reciprocal of positive real number. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
recexgt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem recexgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-precex 7754	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1))
2		0re 7790	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		ltxrlt 7854	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ 0 <ℝ 𝐴))
4	2, 3	mpan 421	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ 0 <ℝ 𝐴))
5	4	pm5.32i 450	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴))
6		ltxrlt 7854	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 < 𝑥 ↔ 0 <ℝ 𝑥))
7	2, 6	mpan 421	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 ↔ 0 <ℝ 𝑥))
8	7	anbi1d 461	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) ↔ (0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)))
9	8	rexbiia 2453	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1))
10	1, 5, 9	3imtr4i 200	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∃wrex 2418   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782  ℝcr 7643  0cc0 7644  1c1 7645   <_ℝ cltrr 7648   · cmul 7649   < clt 7824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1re 7738  ax-addrcl 7741  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-ltxr 7829

This theorem is referenced by:  ltmul1  8378