Theorem recexgt0 8856

Description: Existence of reciprocal of positive real number. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
recexgt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem recexgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-precex 8239	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1))
2		0re 8276	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		ltxrlt 8341	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ 0 <ℝ 𝐴))
4	2, 3	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ 0 <ℝ 𝐴))
5	4	pm5.32i 454	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴))
6		ltxrlt 8341	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 < 𝑥 ↔ 0 <ℝ 𝑥))
7	2, 6	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 ↔ 0 <ℝ 𝑥))
8	7	anbi1d 465	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) ↔ (0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)))
9	8	rexbiia 2559	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1))
10	1, 5, 9	3imtr4i 201	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∃wrex 2523   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052  ℝcr 8128  0cc0 8129  1c1 8130   <_ℝ cltrr 8133   · cmul 8134   < clt 8310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1re 8223  ax-addrcl 8226  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-xp 4757  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-ltxr 8315

This theorem is referenced by:  ltmul1  8868