Theorem ltmul1 8914

Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ltmul1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem ltmul1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmul1a 8913	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶))
2	1	ex 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)))
3		recexgt0 8902	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))
4	3	3ad2ant3 1051	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))
5		simpl1 1031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		simpl3l 1083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
7	5, 6	remulcld 8350	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
8		simpl2 1032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8, 6	remulcld 8350	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
10		simprl 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		simprrl 545	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 0 < 𝑥)
12	10, 11	jca 306	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
13	7, 9, 12	3jca 1208	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → ((𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)))
14		ltmul1a 8913	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) < ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥))
15	13, 14	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) < ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥))
16	5	recnd 8348	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	16	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
18	6	recnd 8348	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
19	18	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
20	10	recnd 8348	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → 𝑥 ∈ ℂ)
22	17, 19, 21	mulassd 8343	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) = (𝐴 · (𝐶 · 𝑥)))
23	8	recnd 8348	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	23	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℂ)
25	24, 19, 21	mulassd 8343	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥) = (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)))
26	15, 22, 25	3brtr3d 4159	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 · (𝐶 · 𝑥)) < (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)))
27		simprrr 546	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → (𝐶 · 𝑥) = 1)
28	27	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐶 · 𝑥) = 1)
29	28	oveq2d 6095	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 · (𝐶 · 𝑥)) = (𝐴 · 1))
30	28	oveq2d 6095	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)) = (𝐵 · 1))
31	26, 29, 30	3brtr3d 4159	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 · 1) < (𝐵 · 1))
32	17	mulridd 8337	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
33	24	mulridd 8337	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
34	31, 32, 33	3brtr3d 4159	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → 𝐴 < 𝐵)
35	34	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) → 𝐴 < 𝐵))
36	4, 35	rexlimddv 2673	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) → 𝐴 < 𝐵))
37	2, 36	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  ℝcr 8172  0cc0 8173  1c1 8174   · cmul 8178   < clt 8354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-sub 8493  df-neg 8494

This theorem is referenced by:  lemul1  8915  reapmul1lem  8916  ltmul2  9180  ltdiv1  9192  ltdiv23  9216  recp1lt1  9223  ltmul1i  9244  ltmul1d  10122  mertenslemi1  12285  flodddiv4t2lthalf  12689  qnumgt0  12959  4sqlem12  13164  tangtx  15922  pellexlem2  16075  lgsquadlem1  16179  lgsquadlem2  16180