Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | ltmul1a 8547 |
. . 3
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง ๐ด < ๐ต) โ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) |
2 | 1 | ex 115 |
. 2
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ))) |
3 | | recexgt0 8536 |
. . . 4
โข ((๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ) โ โ๐ฅ โ โ (0 < ๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1)) |
4 | 3 | 3ad2ant3 1020 |
. . 3
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โ โ๐ฅ โ โ (0 < ๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1)) |
5 | | simpl1 1000 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โ ๐ด โ โ) |
6 | | simpl3l 1052 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โ ๐ถ โ โ) |
7 | 5, 6 | remulcld 7987 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โ (๐ด ยท ๐ถ) โ โ) |
8 | | simpl2 1001 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โ ๐ต โ โ) |
9 | 8, 6 | remulcld 7987 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โ (๐ต ยท ๐ถ) โ โ) |
10 | | simprl 529 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โ ๐ฅ โ โ) |
11 | | simprrl 539 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โ 0 < ๐ฅ) |
12 | 10, 11 | jca 306 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โ (๐ฅ โ โ โง 0 < ๐ฅ)) |
13 | 7, 9, 12 | 3jca 1177 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โ ((๐ด ยท ๐ถ) โ โ โง (๐ต ยท ๐ถ) โ โ โง (๐ฅ โ โ โง 0 < ๐ฅ))) |
14 | | ltmul1a 8547 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ด ยท ๐ถ) โ โ โง (๐ต ยท ๐ถ) โ โ โง (๐ฅ โ โ โง 0 < ๐ฅ)) โง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐ฅ) < ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐ฅ)) |
15 | 13, 14 | sylan 283 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐ฅ) < ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐ฅ)) |
16 | 5 | recnd 7985 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โ ๐ด โ โ) |
17 | 16 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ ๐ด โ โ) |
18 | 6 | recnd 7985 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โ ๐ถ โ โ) |
19 | 18 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ ๐ถ โ โ) |
20 | 10 | recnd 7985 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โ ๐ฅ โ โ) |
21 | 20 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ ๐ฅ โ โ) |
22 | 17, 19, 21 | mulassd 7980 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐ฅ) = (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐ฅ))) |
23 | 8 | recnd 7985 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โ ๐ต โ โ) |
24 | 23 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ ๐ต โ โ) |
25 | 24, 19, 21 | mulassd 7980 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐ฅ) = (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐ฅ))) |
26 | 15, 22, 25 | 3brtr3d 4034 |
. . . . . 6
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐ฅ)) < (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐ฅ))) |
27 | | simprrr 540 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โ (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1) |
28 | 27 | adantr 276 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1) |
29 | 28 | oveq2d 5890 |
. . . . . 6
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐ฅ)) = (๐ด ยท 1)) |
30 | 28 | oveq2d 5890 |
. . . . . 6
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐ฅ)) = (๐ต ยท 1)) |
31 | 26, 29, 30 | 3brtr3d 4034 |
. . . . 5
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ (๐ด ยท 1) < (๐ต ยท 1)) |
32 | 17 | mulridd 7973 |
. . . . 5
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ (๐ด ยท 1) = ๐ด) |
33 | 24 | mulridd 7973 |
. . . . 5
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ (๐ต ยท 1) = ๐ต) |
34 | 31, 32, 33 | 3brtr3d 4034 |
. . . 4
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ ๐ด < ๐ต) |
35 | 34 | ex 115 |
. . 3
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โง (๐ฅ โ โ โง (0 <
๐ฅ โง (๐ถ ยท ๐ฅ) = 1))) โ ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โ ๐ด < ๐ต)) |
36 | 4, 35 | rexlimddv 2599 |
. 2
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โ ๐ด < ๐ต)) |
37 | 2, 36 | impbid 129 |
1
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 <
๐ถ)) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ))) |