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Theorem ltmul1 8347
 Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ltmul1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem ltmul1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltmul1a 8346 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶))
21ex 114 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)))
3 recexgt0 8335 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))
433ad2ant3 1004 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))
5 simpl1 984 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 simpl3l 1036 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
75, 6remulcld 7789 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
8 simpl2 985 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
98, 6remulcld 7789 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
10 simprl 520 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
11 simprrl 528 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 0 < 𝑥)
1210, 11jca 304 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
137, 9, 123jca 1161 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → ((𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)))
14 ltmul1a 8346 . . . . . . . 8 ((((𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) < ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥))
1513, 14sylan 281 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) < ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥))
165recnd 7787 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
1716adantr 274 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
186recnd 7787 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
1918adantr 274 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
2010recnd 7787 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
2120adantr 274 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2217, 19, 21mulassd 7782 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) = (𝐴 · (𝐶 · 𝑥)))
238recnd 7787 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
2423adantr 274 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℂ)
2524, 19, 21mulassd 7782 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥) = (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)))
2615, 22, 253brtr3d 3954 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 · (𝐶 · 𝑥)) < (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)))
27 simprrr 529 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → (𝐶 · 𝑥) = 1)
2827adantr 274 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐶 · 𝑥) = 1)
2928oveq2d 5783 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 · (𝐶 · 𝑥)) = (𝐴 · 1))
3028oveq2d 5783 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)) = (𝐵 · 1))
3126, 29, 303brtr3d 3954 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 · 1) < (𝐵 · 1))
3217mulid1d 7776 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3324mulid1d 7776 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
3431, 32, 333brtr3d 3954 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → 𝐴 < 𝐵)
3534ex 114 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) → 𝐴 < 𝐵))
364, 35rexlimddv 2552 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) → 𝐴 < 𝐵))
372, 36impbid 128 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2415   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  ℝcr 7612  0cc0 7613  1c1 7614   · cmul 7618   < clt 7793 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-ltxr 7798  df-sub 7928  df-neg 7929 This theorem is referenced by:  lemul1  8348  reapmul1lem  8349  ltmul2  8607  ltdiv1  8619  ltdiv23  8643  recp1lt1  8650  ltmul1i  8671  ltmul1d  9518  mertenslemi1  11297  flodddiv4t2lthalf  11623  qnumgt0  11865  tangtx  12908
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