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Theorem ltmul1 8484
Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ltmul1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem ltmul1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltmul1a 8483 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶))
21ex 114 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)))
3 recexgt0 8472 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))
433ad2ant3 1009 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))
5 simpl1 989 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 simpl3l 1041 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
75, 6remulcld 7923 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
8 simpl2 990 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
98, 6remulcld 7923 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
10 simprl 521 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
11 simprrl 529 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 0 < 𝑥)
1210, 11jca 304 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
137, 9, 123jca 1166 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → ((𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)))
14 ltmul1a 8483 . . . . . . . 8 ((((𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) < ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥))
1513, 14sylan 281 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) < ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥))
165recnd 7921 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
1716adantr 274 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
186recnd 7921 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
1918adantr 274 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
2010recnd 7921 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
2120adantr 274 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2217, 19, 21mulassd 7916 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) = (𝐴 · (𝐶 · 𝑥)))
238recnd 7921 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
2423adantr 274 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℂ)
2524, 19, 21mulassd 7916 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥) = (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)))
2615, 22, 253brtr3d 4010 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 · (𝐶 · 𝑥)) < (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)))
27 simprrr 530 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → (𝐶 · 𝑥) = 1)
2827adantr 274 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐶 · 𝑥) = 1)
2928oveq2d 5855 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 · (𝐶 · 𝑥)) = (𝐴 · 1))
3028oveq2d 5855 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)) = (𝐵 · 1))
3126, 29, 303brtr3d 4010 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 · 1) < (𝐵 · 1))
3217mulid1d 7910 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3324mulid1d 7910 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
3431, 32, 333brtr3d 4010 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → 𝐴 < 𝐵)
3534ex 114 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) → 𝐴 < 𝐵))
364, 35rexlimddv 2586 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) → 𝐴 < 𝐵))
372, 36impbid 128 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 967   = wceq 1342  wcel 2135  wrex 2443   class class class wbr 3979  (class class class)co 5839  cc 7745  cr 7746  0cc0 7747  1c1 7748   · cmul 7752   < clt 7927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4097  ax-pow 4150  ax-pr 4184  ax-un 4408  ax-setind 4511  ax-cnex 7838  ax-resscn 7839  ax-1cn 7840  ax-1re 7841  ax-icn 7842  ax-addcl 7843  ax-addrcl 7844  ax-mulcl 7845  ax-mulrcl 7846  ax-addcom 7847  ax-mulcom 7848  ax-addass 7849  ax-mulass 7850  ax-distr 7851  ax-i2m1 7852  ax-1rid 7854  ax-0id 7855  ax-rnegex 7856  ax-precex 7857  ax-cnre 7858  ax-pre-ltadd 7863  ax-pre-mulgt0 7864
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2726  df-sbc 2950  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-br 3980  df-opab 4041  df-id 4268  df-xp 4607  df-rel 4608  df-cnv 4609  df-co 4610  df-dm 4611  df-iota 5150  df-fun 5187  df-fv 5193  df-riota 5795  df-ov 5842  df-oprab 5843  df-mpo 5844  df-pnf 7929  df-mnf 7930  df-ltxr 7932  df-sub 8065  df-neg 8066
This theorem is referenced by:  lemul1  8485  reapmul1lem  8486  ltmul2  8745  ltdiv1  8757  ltdiv23  8781  recp1lt1  8788  ltmul1i  8809  ltmul1d  9668  mertenslemi1  11470  flodddiv4t2lthalf  11868  qnumgt0  12124  tangtx  13357
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