ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltmul1 GIF version

Theorem ltmul1 8563
Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ltmul1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)))

Proof of Theorem ltmul1
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltmul1a 8562 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ))
21ex 115 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)))
3 recexgt0 8551 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))
433ad2ant3 1021 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))
5 simpl1 1001 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
6 simpl3l 1053 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
75, 6remulcld 8002 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
8 simpl2 1002 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
98, 6remulcld 8002 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
10 simprl 529 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
11 simprrl 539 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ 0 < ๐‘ฅ)
1210, 11jca 306 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ))
137, 9, 123jca 1178 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ)))
14 ltmul1a 8562 . . . . . . . 8 ((((๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ)) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ) < ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ))
1513, 14sylan 283 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ) < ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ))
165recnd 8000 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1716adantr 276 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
186recnd 8000 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1918adantr 276 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2010recnd 8000 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
2120adantr 276 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
2217, 19, 21mulassd 7995 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ) = (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
238recnd 8000 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2423adantr 276 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2524, 19, 21mulassd 7995 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
2615, 22, 253brtr3d 4046 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) < (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
27 simprrr 540 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)
2827adantr 276 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)
2928oveq2d 5904 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) = (๐ด ยท 1))
3028oveq2d 5904 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) = (๐ต ยท 1))
3126, 29, 303brtr3d 4046 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ด ยท 1) < (๐ต ยท 1))
3217mulridd 7988 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
3324mulridd 7988 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
3431, 32, 333brtr3d 4046 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ๐ด < ๐ต)
3534ex 115 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โ†’ ๐ด < ๐ต))
364, 35rexlimddv 2609 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โ†’ ๐ด < ๐ต))
372, 36impbid 129 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  โˆƒwrex 2466   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7823  โ„cr 7824  0cc0 7825  1c1 7826   ยท cmul 7830   < clt 8006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-ltxr 8011  df-sub 8144  df-neg 8145
This theorem is referenced by:  lemul1  8564  reapmul1lem  8565  ltmul2  8827  ltdiv1  8839  ltdiv23  8863  recp1lt1  8870  ltmul1i  8891  ltmul1d  9752  mertenslemi1  11557  flodddiv4t2lthalf  11956  qnumgt0  12212  tangtx  14555
  Copyright terms: Public domain W3C validator