Theorem ltmul1 8347

Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ltmul1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem ltmul1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmul1a 8346	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶))
2	1	ex 114	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)))
3		recexgt0 8335	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))
4	3	3ad2ant3 1004	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))
5		simpl1 984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		simpl3l 1036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
7	5, 6	remulcld 7789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
8		simpl2 985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8, 6	remulcld 7789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
10		simprl 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		simprrl 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 0 < 𝑥)
12	10, 11	jca 304	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
13	7, 9, 12	3jca 1161	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → ((𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)))
14		ltmul1a 8346	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) < ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥))
15	13, 14	sylan 281	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) < ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥))
16	5	recnd 7787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	16	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
18	6	recnd 7787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
19	18	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
20	10	recnd 7787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
21	20	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → 𝑥 ∈ ℂ)
22	17, 19, 21	mulassd 7782	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝑥) = (𝐴 · (𝐶 · 𝑥)))
23	8	recnd 7787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	23	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℂ)
25	24, 19, 21	mulassd 7782	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥) = (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)))
26	15, 22, 25	3brtr3d 3954	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 · (𝐶 · 𝑥)) < (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)))
27		simprrr 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → (𝐶 · 𝑥) = 1)
28	27	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐶 · 𝑥) = 1)
29	28	oveq2d 5783	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 · (𝐶 · 𝑥)) = (𝐴 · 1))
30	28	oveq2d 5783	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)) = (𝐵 · 1))
31	26, 29, 30	3brtr3d 3954	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 · 1) < (𝐵 · 1))
32	17	mulid1d 7776	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
33	24	mulid1d 7776	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
34	31, 32, 33	3brtr3d 3954	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) ∧ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)) → 𝐴 < 𝐵)
35	34	ex 114	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑥 ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1))) → ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) → 𝐴 < 𝐵))
36	4, 35	rexlimddv 2552	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) → 𝐴 < 𝐵))
37	2, 36	impbid 128	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2415   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  ℝcr 7612  0cc0 7613  1c1 7614   · cmul 7618   < clt 7793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-ltxr 7798  df-sub 7928  df-neg 7929

This theorem is referenced by:  lemul1  8348  reapmul1lem  8349  ltmul2  8607  ltdiv1  8619  ltdiv23  8643  recp1lt1  8650  ltmul1i  8671  ltmul1d  9518  mertenslemi1  11297  flodddiv4t2lthalf  11623  qnumgt0  11865  tangtx  12908