ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltmul1 GIF version

Theorem ltmul1 8552
Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ltmul1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)))

Proof of Theorem ltmul1
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltmul1a 8551 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ))
21ex 115 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)))
3 recexgt0 8540 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))
433ad2ant3 1020 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))
5 simpl1 1000 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
6 simpl3l 1052 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
75, 6remulcld 7991 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
8 simpl2 1001 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
98, 6remulcld 7991 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
10 simprl 529 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
11 simprrl 539 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ 0 < ๐‘ฅ)
1210, 11jca 306 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ))
137, 9, 123jca 1177 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ)))
14 ltmul1a 8551 . . . . . . . 8 ((((๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ)) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ) < ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ))
1513, 14sylan 283 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ) < ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ))
165recnd 7989 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1716adantr 276 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
186recnd 7989 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1918adantr 276 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2010recnd 7989 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
2120adantr 276 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
2217, 19, 21mulassd 7984 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ) = (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
238recnd 7989 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2423adantr 276 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2524, 19, 21mulassd 7984 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
2615, 22, 253brtr3d 4036 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) < (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
27 simprrr 540 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)
2827adantr 276 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)
2928oveq2d 5894 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) = (๐ด ยท 1))
3028oveq2d 5894 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) = (๐ต ยท 1))
3126, 29, 303brtr3d 4036 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ด ยท 1) < (๐ต ยท 1))
3217mulridd 7977 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
3324mulridd 7977 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
3431, 32, 333brtr3d 4036 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ๐ด < ๐ต)
3534ex 115 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โ†’ ๐ด < ๐ต))
364, 35rexlimddv 2599 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โ†’ ๐ด < ๐ต))
372, 36impbid 129 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  โ„‚cc 7812  โ„cr 7813  0cc0 7814  1c1 7815   ยท cmul 7819   < clt 7995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-ltxr 8000  df-sub 8133  df-neg 8134
This theorem is referenced by:  lemul1  8553  reapmul1lem  8554  ltmul2  8816  ltdiv1  8828  ltdiv23  8852  recp1lt1  8859  ltmul1i  8880  ltmul1d  9741  mertenslemi1  11546  flodddiv4t2lthalf  11945  qnumgt0  12201  tangtx  14420
  Copyright terms: Public domain W3C validator