ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltmul1 GIF version

Theorem ltmul1 8548
Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ltmul1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)))

Proof of Theorem ltmul1
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltmul1a 8547 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ))
21ex 115 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)))
3 recexgt0 8536 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))
433ad2ant3 1020 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))
5 simpl1 1000 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
6 simpl3l 1052 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
75, 6remulcld 7987 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
8 simpl2 1001 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
98, 6remulcld 7987 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
10 simprl 529 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
11 simprrl 539 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ 0 < ๐‘ฅ)
1210, 11jca 306 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ))
137, 9, 123jca 1177 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ)))
14 ltmul1a 8547 . . . . . . . 8 ((((๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ)) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ) < ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ))
1513, 14sylan 283 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ) < ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ))
165recnd 7985 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1716adantr 276 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
186recnd 7985 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1918adantr 276 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2010recnd 7985 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
2120adantr 276 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
2217, 19, 21mulassd 7980 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ) = (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
238recnd 7985 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2423adantr 276 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2524, 19, 21mulassd 7980 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
2615, 22, 253brtr3d 4034 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) < (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
27 simprrr 540 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)
2827adantr 276 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)
2928oveq2d 5890 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) = (๐ด ยท 1))
3028oveq2d 5890 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) = (๐ต ยท 1))
3126, 29, 303brtr3d 4034 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ด ยท 1) < (๐ต ยท 1))
3217mulridd 7973 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
3324mulridd 7973 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
3431, 32, 333brtr3d 4034 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โˆง (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ๐ด < ๐ต)
3534ex 115 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐‘ฅ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โ†’ ๐ด < ๐ต))
364, 35rexlimddv 2599 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โ†’ ๐ด < ๐ต))
372, 36impbid 129 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  โ„‚cc 7808  โ„cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   ยท cmul 7815   < clt 7991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-ltxr 7996  df-sub 8129  df-neg 8130
This theorem is referenced by:  lemul1  8549  reapmul1lem  8550  ltmul2  8812  ltdiv1  8824  ltdiv23  8848  recp1lt1  8855  ltmul1i  8876  ltmul1d  9737  mertenslemi1  11542  flodddiv4t2lthalf  11941  qnumgt0  12197  tangtx  14229
  Copyright terms: Public domain W3C validator