Theorem rexlimivv 2668

Description: Inference from Theorem 19.23 of [Margaris] p. 90 (restricted quantifier version). (Contributed by NM, 17-Feb-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexlimivv.1	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝜑 → 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rexlimivv	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝜓   𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rexlimivv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexlimivv.1	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝜑 → 𝜓))
2	1	rexlimdva 2662	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))
3	2	rexlimiv 2656	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2205  ∃wrex 2523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-ial 1583  ax-i5r 1584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-ral 2527  df-rex 2528

This theorem is referenced by:  opelxp  4784  f1o2ndf1  6437  xpdom2  7095  distrlem5prl  7917  distrlem5pru  7918  mulrid  8287  cnegex  8467  recexap  8944  creur  9250  creui  9251  cju  9252  elz2  9666  qre  9975  qaddcl  9985  qnegcl  9986  qmulcl  9987  qreccl  9992  elpqb  10000  fundm2domnop0  11245  replim  11569  prodmodc  12289  odd2np1  12584  opoe  12606  omoe  12607  opeo  12608  omeo  12609  qredeu  12819  pythagtriplem1  12988  pcz  13055  4sqlem1  13111  4sqlem2  13112  4sqlem4  13115  mul4sq  13117  txuni2  15247  blssioo  15544  tgioo  15545  elply  15725  2sqlem2  16114  mul2sq  16115  2sqlem7  16120  upgredgpr  16270