Theorem rexlimivv 2674

Description: Inference from Theorem 19.23 of [Margaris] p. 90 (restricted quantifier version). (Contributed by NM, 17-Feb-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexlimivv.1	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝜑 → 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rexlimivv	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝜓   𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rexlimivv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexlimivv.1	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝜑 → 𝜓))
2	1	rexlimdva 2668	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))
3	2	rexlimiv 2662	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-ial 1587  ax-i5r 1588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-ral 2533  df-rex 2534

This theorem is referenced by:  opelxp  4799  f1o2ndf1  6454  xpdom2  7119  distrlem5prl  7943  distrlem5pru  7944  mulrid  8313  cnegex  8494  recexap  8971  creur  9279  creui  9280  cju  9281  elz2  9695  qre  10004  qaddcl  10014  qnegcl  10015  qmulcl  10016  qreccl  10021  elpqb  10029  fundm2domnop0  11278  replim  11602  prodmodc  12323  odd2np1  12618  opoe  12640  omoe  12641  opeo  12642  omeo  12643  qredeu  12853  pythagtriplem1  13022  pcz  13089  4sqlem1  13145  4sqlem2  13146  4sqlem4  13149  mul4sq  13151  txuni2  15280  blssioo  15577  tgioo  15578  elply  15758  2sqlem2  16148  mul2sq  16149  2sqlem7  16154  upgredgpr  16304