Theorem rexlimivv 2674

Description: Inference from Theorem 19.23 of [Margaris] p. 90 (restricted quantifier version). (Contributed by NM, 17-Feb-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexlimivv.1	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝜑 → 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rexlimivv	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝜓   𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem rexlimivv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexlimivv.1	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝜑 → 𝜓))
2	1	rexlimdva 2668	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))
3	2	rexlimiv 2662	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-ial 1587  ax-i5r 1588

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-ral 2533  df-rex 2534

This theorem is used by:  opelxp  4806  f1o2ndf1  6468  xpdom2  7135  distrlem5prl  7959  distrlem5pru  7960  mulrid  8329  cnegex  8511  recexap  8989  creur  9297  creui  9298  cju  9299  elz2  9725  qre  10040  qaddcl  10050  qnegcl  10051  qmulcl  10052  qreccl  10057  elpqb  10066  fundm2domnop0  11321  replim  11645  prodmodc  12369  odd2np1  12664  opoe  12686  omoe  12687  opeo  12688  omeo  12689  qredeu  12899  pythagtriplem1  13072  pcz  13139  4sqlem1  13195  4sqlem2  13196  4sqlem4  13199  mul4sq  13201  txuni2  15499  blssioo  15796  tgioo  15797  elply  15977  2sqlem2  16456  mul2sq  16457  2sqlem7  16462  upgredgpr  16612