Theorem rexlimivv 2668

Description: Inference from Theorem 19.23 of [Margaris] p. 90 (restricted quantifier version). (Contributed by NM, 17-Feb-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexlimivv.1	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝜑 → 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rexlimivv	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝜓   𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rexlimivv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexlimivv.1	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝜑 → 𝜓))
2	1	rexlimdva 2662	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))
3	2	rexlimiv 2656	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2205  ∃wrex 2523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-ial 1583  ax-i5r 1584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-ral 2527  df-rex 2528

This theorem is referenced by:  opelxp  4781  f1o2ndf1  6426  xpdom2  7084  distrlem5prl  7903  distrlem5pru  7904  mulrid  8273  cnegex  8453  recexap  8929  creur  9235  creui  9236  cju  9237  elz2  9651  qre  9960  qaddcl  9970  qnegcl  9971  qmulcl  9972  qreccl  9977  elpqb  9985  fundm2domnop0  11224  replim  11548  prodmodc  12268  odd2np1  12563  opoe  12585  omoe  12586  opeo  12587  omeo  12588  qredeu  12798  pythagtriplem1  12967  pcz  13034  4sqlem1  13090  4sqlem2  13091  4sqlem4  13094  mul4sq  13096  txuni2  15138  blssioo  15435  tgioo  15436  elply  15616  2sqlem2  16005  mul2sq  16006  2sqlem7  16011  upgredgpr  16161