ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pythagtriplem1 GIF version

Theorem pythagtriplem1 12278
Description: Lemma for pythagtrip 12296. Prove a weaker version of one direction of the theorem. (Contributed by Scott Fenton, 28-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem1 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›,๐‘š,๐‘˜   ๐ต,๐‘›,๐‘š,๐‘˜   ๐ถ,๐‘›,๐‘š,๐‘˜

Proof of Theorem pythagtriplem1
StepHypRef Expression
1 nncn 8940 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
2 nncn 8940 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
3 nncn 8940 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
4 sqcl 10594 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘šโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
54adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘šโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
65sqcld 10665 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
7 2cn 9003 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„‚
8 sqcl 10594 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘›โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
9 mulcl 7951 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘šโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘›โ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
104, 8, 9syl2anr 290 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
11 mulcl 7951 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
127, 10, 11sylancr 414 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
136, 12subcld 8281 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) โˆˆ โ„‚)
148adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘›โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1514sqcld 10665 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘›โ†‘2)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
16 mulcl 7951 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
1716ancoms 268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
18 mulcl 7951 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘š ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„‚)
197, 17, 18sylancr 414 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„‚)
2019sqcld 10665 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2113, 15, 20add32d 8138 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (((((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) + ((๐‘›โ†‘2)โ†‘2)) + ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2)) = (((((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) + ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2)) + ((๐‘›โ†‘2)โ†‘2)))
226, 12, 20subadd23d 8303 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) + ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2)) = (((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) + (((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))))))
23 sqmul 10595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘š ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท ((๐‘š ยท ๐‘›)โ†‘2)))
247, 17, 23sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท ((๐‘š ยท ๐‘›)โ†‘2)))
25 sq2 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2โ†‘2) = 4
2625a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (2โ†‘2) = 4)
27 sqmul 10595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘›)โ†‘2) = ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))
2827ancoms 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘›)โ†‘2) = ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))
2926, 28oveq12d 5906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2โ†‘2) ยท ((๐‘š ยท ๐‘›)โ†‘2)) = (4 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))))
3024, 29eqtrd 2220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2) = (4 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))))
3130oveq1d 5903 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) = ((4 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))))
32 4cn 9010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 โˆˆ โ„‚
33 subdir 8356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((4 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((4 โˆ’ 2) ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))) = ((4 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))))
3432, 7, 10, 33mp3an12i 1351 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((4 โˆ’ 2) ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))) = ((4 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))))
35 2p2e4 9059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 + 2) = 4
3632, 7, 7, 35subaddrii 8259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4 โˆ’ 2) = 2
3736oveq1i 5898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((4 โˆ’ 2) ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))) = (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))
3834, 37eqtr3di 2235 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((4 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) = (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))))
3931, 38eqtrd 2220 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) = (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))))
4039oveq2d 5904 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) + (((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2))))) = (((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) + (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))))
4122, 40eqtrd 2220 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) + ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2)) = (((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) + (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))))
4241oveq1d 5903 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (((((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) + ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2)) + ((๐‘›โ†‘2)โ†‘2)) = ((((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) + (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) + ((๐‘›โ†‘2)โ†‘2)))
4321, 42eqtrd 2220 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (((((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) + ((๐‘›โ†‘2)โ†‘2)) + ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2)) = ((((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) + (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) + ((๐‘›โ†‘2)โ†‘2)))
44 binom2sub 10647 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘šโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘›โ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))โ†‘2) = ((((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) + ((๐‘›โ†‘2)โ†‘2)))
454, 8, 44syl2anr 290 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))โ†‘2) = ((((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) + ((๐‘›โ†‘2)โ†‘2)))
4645oveq1d 5903 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))โ†‘2) + ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2)) = (((((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) + ((๐‘›โ†‘2)โ†‘2)) + ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2)))
47 binom2 10645 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘šโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘›โ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))โ†‘2) = ((((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) + (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) + ((๐‘›โ†‘2)โ†‘2)))
484, 8, 47syl2anr 290 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))โ†‘2) = ((((๐‘šโ†‘2)โ†‘2) + (2 ยท ((๐‘šโ†‘2) ยท (๐‘›โ†‘2)))) + ((๐‘›โ†‘2)โ†‘2)))
4943, 46, 483eqtr4d 2230 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))โ†‘2) + ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2)) = (((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))โ†‘2))
50493adant3 1018 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))โ†‘2) + ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2)) = (((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))โ†‘2))
5150oveq2d 5904 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜โ†‘2) ยท ((((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))โ†‘2) + ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2))) = ((๐‘˜โ†‘2) ยท (((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))โ†‘2)))
52 simp3 1000 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
5343ad2ant2 1020 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘šโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
5483ad2ant1 1019 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘›โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
5553, 54subcld 8281 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
5652, 55sqmuld 10679 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2) = ((๐‘˜โ†‘2) ยท (((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))โ†‘2)))
57173adant3 1018 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
587, 57, 18sylancr 414 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„‚)
5952, 58sqmuld 10679 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))โ†‘2) = ((๐‘˜โ†‘2) ยท ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2)))
6056, 59oveq12d 5906 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2) + ((๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))โ†‘2)) = (((๐‘˜โ†‘2) ยท (((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))โ†‘2)) + ((๐‘˜โ†‘2) ยท ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2))))
61 sqcl 10594 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘˜โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
62613ad2ant3 1021 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘˜โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6355sqcld 10665 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6458sqcld 10665 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6562, 63, 64adddid 7995 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜โ†‘2) ยท ((((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))โ†‘2) + ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2))) = (((๐‘˜โ†‘2) ยท (((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))โ†‘2)) + ((๐‘˜โ†‘2) ยท ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2))))
6660, 65eqtr4d 2223 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2) + ((๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))โ†‘2)) = ((๐‘˜โ†‘2) ยท ((((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))โ†‘2) + ((2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))โ†‘2))))
6753, 54addcld 7990 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
6852, 67sqmuld 10679 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2) = ((๐‘˜โ†‘2) ยท (((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))โ†‘2)))
6951, 66, 683eqtr4d 2230 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2) + ((๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))โ†‘2)) = ((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2))
701, 2, 3, 69syl3an 1290 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2) + ((๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))โ†‘2)) = ((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2))
71 oveq1 5895 . . . . . . . 8 (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โ†’ (๐ดโ†‘2) = ((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2))
72 oveq1 5895 . . . . . . . 8 (๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โ†’ (๐ตโ†‘2) = ((๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))โ†‘2))
7371, 72oveqan12d 5907 . . . . . . 7 ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2) + ((๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))โ†‘2)))
74733adant3 1018 . . . . . 6 ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2) + ((๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))โ†‘2)))
75 oveq1 5895 . . . . . . 7 (๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))) โ†’ (๐ถโ†‘2) = ((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2))
76753ad2ant3 1021 . . . . . 6 ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†’ (๐ถโ†‘2) = ((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2))
7774, 76eqeq12d 2202 . . . . 5 ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โ†” (((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2) + ((๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))โ†‘2)) = ((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))โ†‘2)))
7870, 77syl5ibrcom 157 . . . 4 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)))
79783expa 1204 . . 3 (((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)))
8079rexlimdva 2604 . 2 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)))
8180rexlimivv 2610 1 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  โˆƒwrex 2466  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7822   + caddc 7827   ยท cmul 7829   โˆ’ cmin 8141  โ„•cn 8932  2c2 8983  4c4 8985  โ†‘cexp 10532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-seqfrec 10459  df-exp 10533
This theorem is referenced by:  pythagtriplem2  12279
  Copyright terms: Public domain W3C validator