Theorem pythagtriplem1 12828

Description: Lemma for pythagtrip 12846. Prove a weaker version of one direction of the theorem. (Contributed by Scott Fenton, 28-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem1	⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑚,𝑘   𝐵,𝑛,𝑚,𝑘   𝐶,𝑛,𝑚,𝑘

Proof of Theorem pythagtriplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 9141	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
2		nncn 9141	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
3		nncn 9141	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
4		sqcl 10852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚↑2) ∈ ℂ)
5	4	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚↑2) ∈ ℂ)
6	5	sqcld 10923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((𝑚↑2)↑2) ∈ ℂ)
7		2cn 9204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		sqcl 10852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
9		mulcl 8149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑛↑2) ∈ ℂ) → ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)) ∈ ℂ)
10	4, 8, 9	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)) ∈ ℂ)
11		mulcl 8149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)) ∈ ℂ) → (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) ∈ ℂ)
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) ∈ ℂ)
13	6, 12	subcld 8480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) ∈ ℂ)
14	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
15	14	sqcld 10923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((𝑛↑2)↑2) ∈ ℂ)
16		mulcl 8149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑛) ∈ ℂ)
17	16	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑛) ∈ ℂ)
18		mulcl 8149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑚 · 𝑛) ∈ ℂ) → (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∈ ℂ)
19	7, 17, 18	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∈ ℂ)
20	19	sqcld 10923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) ∈ ℂ)
21	13, 15, 20	add32d 8337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) + ((𝑛↑2)↑2)))
22	6, 12, 20	subadd23d 8502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((𝑚↑2)↑2) + (((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))))
23		sqmul 10853	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑚 · 𝑛) ∈ ℂ) → ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) = ((2↑2) · ((𝑚 · 𝑛)↑2)))
24	7, 17, 23	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) = ((2↑2) · ((𝑚 · 𝑛)↑2)))
25		sq2 10887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2↑2) = 4
26	25	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (2↑2) = 4)
27		sqmul 10853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑚 · 𝑛)↑2) = ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))
28	27	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((𝑚 · 𝑛)↑2) = ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))
29	26, 28	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((2↑2) · ((𝑚 · 𝑛)↑2)) = (4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))
30	24, 29	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) = (4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))
31	30	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) = ((4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))))
32		4cn 9211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		subdir 8555	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)) ∈ ℂ) → ((4 − 2) · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) = ((4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))))
34	32, 7, 10, 33	mp3an12i 1375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((4 − 2) · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) = ((4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))))
35		2p2e4 9260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 + 2) = 4
36	32, 7, 7, 35	subaddrii 8458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4 − 2) = 2
37	36	oveq1i 6023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((4 − 2) · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) = (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))
38	34, 37	eqtr3di 2277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) = (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))
39	31, 38	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) = (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))
40	39	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑚↑2)↑2) + (((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))) = (((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))))
41	22, 40	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))))
42	41	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) + ((𝑛↑2)↑2)) = ((((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
43	21, 42	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = ((((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
44		binom2sub 10905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑚↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑛↑2) ∈ ℂ) → (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) = ((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
45	4, 8, 44	syl2anr 290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) = ((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
46	45	oveq1d 6028	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)))
47		binom2 10903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑛↑2) ∈ ℂ) → (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2) = ((((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
48	4, 8, 47	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2) = ((((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
49	43, 46, 48	3eqtr4d 2272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2))
50	49	3adant3 1041	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2))
51	50	oveq2d 6029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘↑2) · ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2))) = ((𝑘↑2) · (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2)))
52		simp3 1023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℂ)
53	4	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑚↑2) ∈ ℂ)
54	8	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
55	53, 54	subcld 8480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∈ ℂ)
56	52, 55	sqmuld 10937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) = ((𝑘↑2) · (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2)))
57	17	3adant3 1041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑛) ∈ ℂ)
58	7, 57, 18	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∈ ℂ)
59	52, 58	sqmuld 10937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2) = ((𝑘↑2) · ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)))
60	56, 59	oveq12d 6031	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)) = (((𝑘↑2) · (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2)) + ((𝑘↑2) · ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2))))
61		sqcl 10852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘↑2) ∈ ℂ)
62	61	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘↑2) ∈ ℂ)
63	55	sqcld 10923	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) ∈ ℂ)
64	58	sqcld 10923	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) ∈ ℂ)
65	62, 63, 64	adddid 8194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘↑2) · ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2))) = (((𝑘↑2) · (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2)) + ((𝑘↑2) · ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2))))
66	60, 65	eqtr4d 2265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)) = ((𝑘↑2) · ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2))))
67	53, 54	addcld 8189	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)) ∈ ℂ)
68	52, 67	sqmuld 10937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2) = ((𝑘↑2) · (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2)))
69	51, 66, 68	3eqtr4d 2272	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2))
70	1, 2, 3, 69	syl3an 1313	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2))
71		oveq1 6020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) → (𝐴↑2) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2))
72		oveq1 6020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) → (𝐵↑2) = ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2))
73	71, 72	oveqan12d 6032	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)))
74	73	3adant3 1041	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)))
75		oveq1 6020	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))) → (𝐶↑2) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2))
76	75	3ad2ant3 1044	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → (𝐶↑2) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2))
77	74, 76	eqeq12d 2244	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ↔ (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2)))
78	70, 77	syl5ibrcom 157	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)))
79	78	3expa 1227	. . 3 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)))
80	79	rexlimdva 2648	. 2 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)))
81	80	rexlimivv 2654	1 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509  (class class class)co 6013  ℂcc 8020   + caddc 8025   · cmul 8027   − cmin 8340  ℕcn 9133  2c2 9184  4c4 9186  ↑cexp 10790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-seqfrec 10700  df-exp 10791

This theorem is referenced by:  pythagtriplem2  12829