ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qre GIF version

Theorem qre 9042
Description: A rational number is a real number. (Contributed by NM, 14-Nov-2002.)
Assertion
Ref Expression
qre (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem qre
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 9039 . 2 (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2 zre 8687 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
3 nnre 8364 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
4 nnap0 8386 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 # 0)
53, 4jca 300 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 # 0))
6 redivclap 8137 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 # 0) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ)
763expb 1142 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ)
82, 5, 7syl2an 283 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ)
9 eleq1 2147 . . . 4 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ))
108, 9syl5ibrcom 155 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → 𝐴 ∈ ℝ))
1110rexlimivv 2490 . 2 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → 𝐴 ∈ ℝ)
121, 11sylbi 119 1 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1287  wcel 1436  wrex 2356   class class class wbr 3820  (class class class)co 5613  cr 7293  0cc0 7294   # cap 7999   / cdiv 8078  cn 8357  cz 8683  cq 9036
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-z 8684  df-q 9037
This theorem is referenced by:  qssre  9047  qltlen  9057  qlttri2  9058  irradd  9063  irrmul  9064  qletric  9583  qlelttric  9584  qltnle  9585  qdceq  9586  qbtwnz  9591  qbtwnxr  9597  qavgle  9598  ioo0  9599  ioom  9600  ico0  9601  ioc0  9602  flqcl  9608  flqlelt  9611  qfraclt1  9615  qfracge0  9616  flqge  9617  flqltnz  9622  flqwordi  9623  flqbi  9625  flqbi2  9626  flqaddz  9632  flqmulnn0  9634  flltdivnn0lt  9639  ceilqval  9641  ceiqge  9644  ceiqm1l  9646  ceiqle  9648  flqleceil  9652  flqeqceilz  9653  intfracq  9655  flqdiv  9656  modqval  9659  modq0  9664  mulqmod0  9665  negqmod0  9666  modqge0  9667  modqlt  9668  modqelico  9669  modqdiffl  9670  modqmulnn  9677  modqid  9684  modqid0  9685  modqabs  9692  modqabs2  9693  modqcyc  9694  mulqaddmodid  9699  modqmuladdim  9702  modqmuladdnn0  9703  modqltm1p1mod  9711  q2txmodxeq0  9719  q2submod  9720  modqdi  9727  modqsubdir  9728  fimaxq  10131  qabsor  10403  qdenre  10530  flodddiv4t2lthalf  10812  sqrt2irraplemnn  11032  sqrt2irrap  11033  qnumgt0  11051  qdencn  11353
  Copyright terms: Public domain W3C validator