Theorem qre 9858

Description: A rational number is a real number. (Contributed by NM, 14-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
qre	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem qre

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9855	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2		zre 9482	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
3		nnre 9149	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
4		nnap0 9171	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 # 0)
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 # 0))
6		redivclap 8910	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 # 0) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ)
7	6	3expb 1230	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ)
8	2, 5, 7	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ)
9		eleq1 2294	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ))
10	8, 9	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → 𝐴 ∈ ℝ))
11	10	rexlimivv 2656	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	1, 11	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017  ℝcr 8030  0cc0 8031   # cap 8760   / cdiv 8851  ℕcn 9142  ℤcz 9478  ℚcq 9852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-z 9479  df-q 9853

This theorem is referenced by:  qssre  9863  qltlen  9873  qlttri2  9874  irradd  9879  irrmul  9880  qletric  10500  qlelttric  10501  qltnle  10502  qdceq  10503  qdclt  10504  qdcle  10505  qbtwnz  10510  qbtwnxr  10516  qavgle  10517  ioo0  10518  ioom  10519  ico0  10520  ioc0  10521  xqltnle  10526  flqcl  10532  flqlelt  10535  qfraclt1  10539  qfracge0  10540  flqge  10541  flqltnz  10546  flqwordi  10547  flqbi  10549  flqbi2  10550  flqaddz  10556  flqmulnn0  10558  flltdivnn0lt  10563  ceilqval  10567  ceiqge  10570  ceiqm1l  10572  ceiqle  10574  flqleceil  10578  flqeqceilz  10579  intfracq  10581  flqdiv  10582  modqval  10585  modq0  10590  mulqmod0  10591  negqmod0  10592  modqge0  10593  modqlt  10594  modqelico  10595  modqdiffl  10596  modqmulnn  10603  modqid  10610  modqid0  10611  modqabs  10618  modqabs2  10619  modqcyc  10620  mulqaddmodid  10625  modqmuladdim  10628  modqmuladdnn0  10629  modqltm1p1mod  10637  q2txmodxeq0  10645  q2submod  10646  modqdi  10653  modqsubdir  10654  qsqeqor  10911  fimaxq  11090  qabsor  11635  qdenre  11762  expcnvre  12063  flodddiv4t2lthalf  12499  bitsmod  12516  bitsinv1lem  12521  sqrt2irraplemnn  12750  sqrt2irrap  12751  qnumgt0  12769  4sqlem6  12955  blssps  15150  blss  15151  qtopbas  15245  logbgcd1irraplemap  15692  qdencn  16631  apdifflemf  16650