Theorem qre 9832

Description: A rational number is a real number. (Contributed by NM, 14-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
qre	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem qre

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9829	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2		zre 9461	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
3		nnre 9128	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
4		nnap0 9150	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 # 0)
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 # 0))
6		redivclap 8889	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 # 0) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ)
7	6	3expb 1228	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ)
8	2, 5, 7	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ)
9		eleq1 2292	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ))
10	8, 9	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → 𝐴 ∈ ℝ))
11	10	rexlimivv 2654	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	1, 11	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  ℝcr 8009  0cc0 8010   # cap 8739   / cdiv 8830  ℕcn 9121  ℤcz 9457  ℚcq 9826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-z 9458  df-q 9827

This theorem is referenced by:  qssre  9837  qltlen  9847  qlttri2  9848  irradd  9853  irrmul  9854  qletric  10473  qlelttric  10474  qltnle  10475  qdceq  10476  qdclt  10477  qdcle  10478  qbtwnz  10483  qbtwnxr  10489  qavgle  10490  ioo0  10491  ioom  10492  ico0  10493  ioc0  10494  xqltnle  10499  flqcl  10505  flqlelt  10508  qfraclt1  10512  qfracge0  10513  flqge  10514  flqltnz  10519  flqwordi  10520  flqbi  10522  flqbi2  10523  flqaddz  10529  flqmulnn0  10531  flltdivnn0lt  10536  ceilqval  10540  ceiqge  10543  ceiqm1l  10545  ceiqle  10547  flqleceil  10551  flqeqceilz  10552  intfracq  10554  flqdiv  10555  modqval  10558  modq0  10563  mulqmod0  10564  negqmod0  10565  modqge0  10566  modqlt  10567  modqelico  10568  modqdiffl  10569  modqmulnn  10576  modqid  10583  modqid0  10584  modqabs  10591  modqabs2  10592  modqcyc  10593  mulqaddmodid  10598  modqmuladdim  10601  modqmuladdnn0  10602  modqltm1p1mod  10610  q2txmodxeq0  10618  q2submod  10619  modqdi  10626  modqsubdir  10627  qsqeqor  10884  fimaxq  11062  qabsor  11601  qdenre  11728  expcnvre  12029  flodddiv4t2lthalf  12465  bitsmod  12482  bitsinv1lem  12487  sqrt2irraplemnn  12716  sqrt2irrap  12717  qnumgt0  12735  4sqlem6  12921  blssps  15116  blss  15117  qtopbas  15211  logbgcd1irraplemap  15658  qdencn  16455  apdifflemf  16474