Theorem qre 9512

Description: A rational number is a real number. (Contributed by NM, 14-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
qre	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem qre

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9509	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2		zre 9150	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
3		nnre 8819	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
4		nnap0 8841	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 # 0)
5	3, 4	jca 304	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 # 0))
6		redivclap 8583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 # 0) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ)
7	6	3expb 1183	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ)
8	2, 5, 7	syl2an 287	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ)
9		eleq1 2217	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ))
10	8, 9	syl5ibrcom 156	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → 𝐴 ∈ ℝ))
11	10	rexlimivv 2577	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	1, 11	sylbi 120	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 2125  ∃wrex 2433   class class class wbr 3961  (class class class)co 5814  ℝcr 7710  0cc0 7711   # cap 8435   / cdiv 8524  ℕcn 8812  ℤcz 9146  ℚcq 9506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-z 9147  df-q 9507

This theorem is referenced by:  qssre  9517  qltlen  9527  qlttri2  9528  irradd  9533  irrmul  9534  qletric  10121  qlelttric  10122  qltnle  10123  qdceq  10124  qbtwnz  10129  qbtwnxr  10135  qavgle  10136  ioo0  10137  ioom  10138  ico0  10139  ioc0  10140  flqcl  10150  flqlelt  10153  qfraclt1  10157  qfracge0  10158  flqge  10159  flqltnz  10164  flqwordi  10165  flqbi  10167  flqbi2  10168  flqaddz  10174  flqmulnn0  10176  flltdivnn0lt  10181  ceilqval  10183  ceiqge  10186  ceiqm1l  10188  ceiqle  10190  flqleceil  10194  flqeqceilz  10195  intfracq  10197  flqdiv  10198  modqval  10201  modq0  10206  mulqmod0  10207  negqmod0  10208  modqge0  10209  modqlt  10210  modqelico  10211  modqdiffl  10212  modqmulnn  10219  modqid  10226  modqid0  10227  modqabs  10234  modqabs2  10235  modqcyc  10236  mulqaddmodid  10241  modqmuladdim  10244  modqmuladdnn0  10245  modqltm1p1mod  10253  q2txmodxeq0  10261  q2submod  10262  modqdi  10269  modqsubdir  10270  fimaxq  10678  qabsor  10952  qdenre  11079  expcnvre  11377  flodddiv4t2lthalf  11801  sqrt2irraplemnn  12025  sqrt2irrap  12026  qnumgt0  12044  blssps  12774  blss  12775  qtopbas  12869  logbgcd1irraplemap  13233  qdencn  13547  apdifflemf  13566