Theorem qre 9957

Description: A rational number is a real number. (Contributed by NM, 14-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
qre	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem qre

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9954	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2		zre 9581	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
3		nnre 9244	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
4		nnap0 9266	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 # 0)
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 # 0))
6		redivclap 9005	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 # 0) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ)
7	6	3expb 1231	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ)
8	2, 5, 7	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ)
9		eleq1 2295	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ))
10	8, 9	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → 𝐴 ∈ ℝ))
11	10	rexlimivv 2666	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	1, 11	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∃wrex 2521   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050  ℝcr 8126  0cc0 8127   # cap 8855   / cdiv 8946  ℕcn 9237  ℤcz 9577  ℚcq 9951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-z 9578  df-q 9952

This theorem is referenced by:  qssre  9962  qltlen  9972  qlttri2  9973  irradd  9978  irrmul  9979  qletric  10601  qlelttric  10602  qltnle  10603  qdceq  10604  qdclt  10605  qdcle  10606  qbtwnz  10611  qbtwnxr  10617  qavgle  10618  ioo0  10619  ioom  10620  ico0  10621  ioc0  10622  xqltnle  10627  flqcl  10633  flqlelt  10636  qfraclt1  10640  qfracge0  10641  flqge  10642  flqltnz  10647  flqwordi  10648  flqbi  10650  flqbi2  10651  flqaddz  10657  flqmulnn0  10659  flltdivnn0lt  10664  ceilqval  10668  ceiqge  10671  ceiqm1l  10673  ceiqle  10675  flqleceil  10679  flqeqceilz  10680  intfracq  10682  flqdiv  10683  modqval  10686  modq0  10691  mulqmod0  10692  negqmod0  10693  modqge0  10694  modqlt  10695  modqelico  10696  modqdiffl  10697  modqmulnn  10704  modqid  10711  modqid0  10712  modqabs  10719  modqabs2  10720  modqcyc  10721  mulqaddmodid  10726  modqmuladdim  10729  modqmuladdnn0  10730  modqltm1p1mod  10738  q2txmodxeq0  10746  q2submod  10747  modqdi  10754  modqsubdir  10755  qsqeqor  11012  fimaxq  11194  qabsor  11760  qdenre  11887  expcnvre  12189  flodddiv4t2lthalf  12625  bitsmod  12642  bitsinv1lem  12647  sqrt2irraplemnn  12876  sqrt2irrap  12877  qnumgt0  12895  4sqlem6  13081  blssps  15292  blss  15293  qtopbas  15387  logbgcd1irraplemap  15834  qdencn  16807  apdifflemf  16830  qdiff  16833