ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qre GIF version

Theorem qre 9366
Description: A rational number is a real number. (Contributed by NM, 14-Nov-2002.)
Assertion
Ref Expression
qre (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem qre
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 9363 . 2 (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2 zre 9009 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
3 nnre 8684 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
4 nnap0 8706 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 # 0)
53, 4jca 302 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 # 0))
6 redivclap 8451 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 # 0) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ)
763expb 1165 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ)
82, 5, 7syl2an 285 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ)
9 eleq1 2178 . . . 4 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ))
108, 9syl5ibrcom 156 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → 𝐴 ∈ ℝ))
1110rexlimivv 2530 . 2 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → 𝐴 ∈ ℝ)
121, 11sylbi 120 1 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1314  wcel 1463  wrex 2392   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740  cr 7583  0cc0 7584   # cap 8306   / cdiv 8392  cn 8677  cz 9005  cq 9360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-z 9006  df-q 9361
This theorem is referenced by:  qssre  9371  qltlen  9381  qlttri2  9382  irradd  9387  irrmul  9388  qletric  9961  qlelttric  9962  qltnle  9963  qdceq  9964  qbtwnz  9969  qbtwnxr  9975  qavgle  9976  ioo0  9977  ioom  9978  ico0  9979  ioc0  9980  flqcl  9986  flqlelt  9989  qfraclt1  9993  qfracge0  9994  flqge  9995  flqltnz  10000  flqwordi  10001  flqbi  10003  flqbi2  10004  flqaddz  10010  flqmulnn0  10012  flltdivnn0lt  10017  ceilqval  10019  ceiqge  10022  ceiqm1l  10024  ceiqle  10026  flqleceil  10030  flqeqceilz  10031  intfracq  10033  flqdiv  10034  modqval  10037  modq0  10042  mulqmod0  10043  negqmod0  10044  modqge0  10045  modqlt  10046  modqelico  10047  modqdiffl  10048  modqmulnn  10055  modqid  10062  modqid0  10063  modqabs  10070  modqabs2  10071  modqcyc  10072  mulqaddmodid  10077  modqmuladdim  10080  modqmuladdnn0  10081  modqltm1p1mod  10089  q2txmodxeq0  10097  q2submod  10098  modqdi  10105  modqsubdir  10106  fimaxq  10513  qabsor  10787  qdenre  10914  expcnvre  11212  flodddiv4t2lthalf  11530  sqrt2irraplemnn  11752  sqrt2irrap  11753  qnumgt0  11771  blssps  12491  blss  12492  qtopbas  12586  qdencn  13024
  Copyright terms: Public domain W3C validator