Theorem qre 10040

Description: A rational number is a real number. (Contributed by NM, 14-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
qre	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem qre

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 10037	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2		zre 9657	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
3		nnre 9320	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
4		nnap0 9342	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 # 0)
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 # 0))
6		redivclap 9069	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 # 0) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ)
7	6	3expb 1235	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ)
8	2, 5, 7	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ)
9		eleq1 2301	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ))
10	8, 9	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → 𝐴 ∈ ℝ))
11	10	rexlimivv 2674	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	1, 11	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  ℝcr 8184  0cc0 8185   # cap 8917   / cdiv 9010  ℕcn 9313  ℤcz 9653  ℚcq 10034

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-z 9654  df-q 10035

This theorem is used by:  qssre  10045  qltlen  10055  qlttri2  10056  irradd  10061  irraddap  10062  irrmul  10063  qletric  10692  qlelttric  10693  qltnle  10694  qdceq  10695  qdclt  10696  qdcle  10697  qbtwnz  10702  qbtwnxr  10708  qavgle  10709  ioo0  10710  ioom  10711  ico0  10712  ioc0  10713  xqltnle  10718  flqcl  10724  flqlelt  10728  flaplelt  10729  qfraclt1  10733  qfracge0  10734  flqge  10735  flapge  10736  flqltnz  10742  flqwordi  10743  flqbi  10745  flqbi2  10746  flqaddz  10752  flqmulnn0  10754  flltdivnn0lt  10759  ceilqval  10763  ceiqge  10766  ceiqm1l  10768  ceiqle  10770  flqleceil  10774  flqeqceilz  10775  intfracq  10777  flqdiv  10778  modqval  10781  modq0  10786  mulqmod0  10787  negqmod0  10788  modqge0  10789  modqlt  10790  modqelico  10791  modqdiffl  10792  modqmulnn  10799  modqid  10806  modqid0  10807  modqabs  10814  modqabs2  10815  modqcyc  10816  mulqaddmodid  10821  modqmuladdim  10824  modqmuladdnn0  10825  modqltm1p1mod  10833  q2txmodxeq0  10841  q2submod  10842  modqdi  10849  modqsubdir  10850  qsqeqor  11107  fimaxq  11291  qabsor  11862  qdenre  11990  expcnvre  12294  flodddiv4t2lthalf  12730  bitsmod  12747  bitsinv1lem  12752  sqrt2irraplemnn  12983  sqrt2irrap  12984  qnumgt0  13002  nn0sqdcq  13012  sqrtrirr  13013  4sqlem6  13190  blssps  15670  blss  15671  qtopbas  15765  logbgcd1irraplemap  16222  log2tlbndlog2  16237  ppiqsval  16257  chtqcl  16261  chtqval  16262  ppiqval  16265  chtqwordi  16280  ppiqwordi  16285  ppiqeq0  16297  ppiqltx  16298  ppiqub  16310  chtqleppi  16311  chtqub  16313  bposlem8  16335  bposlem9  16336  qdencn  17295  rirrdisj  17308  apdifflemf  17319  qdiff  17322