Theorem creur 9047

Description: The real part of a complex number is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
creur	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem creur

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 8083	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
2		cru 8690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤)))
3	2	ancoms 268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤)))
4		eqcom 2208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)))
5		ancom 266	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 = 𝑤 ∧ 𝑥 = 𝑧) ↔ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤))
6	3, 4, 5	3bitr4g 223	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑦 = 𝑤 ∧ 𝑥 = 𝑧)))
7	6	anassrs 400	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑦 = 𝑤 ∧ 𝑥 = 𝑧)))
8	7	rexbidva 2504	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑦 = 𝑤 ∧ 𝑥 = 𝑧)))
9		biidd 172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑥 = 𝑧 ↔ 𝑥 = 𝑧))
10	9	ceqsrexv 2907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℝ (𝑦 = 𝑤 ∧ 𝑥 = 𝑧) ↔ 𝑥 = 𝑧))
11	10	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ (𝑦 = 𝑤 ∧ 𝑥 = 𝑧) ↔ 𝑥 = 𝑧))
12	8, 11	bitrd 188	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝑥 = 𝑧))
13	12	ralrimiva 2580	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝑥 = 𝑧))
14		reu6i 2968	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝑥 = 𝑧)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
15	13, 14	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
16		eqeq1 2213	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
17	16	rexbidv 2508	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
18	17	reubidv 2691	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
19	15, 18	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))))
20	19	rexlimivv 2630	. 2 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
21	1, 20	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  ∃wrex 2486  ∃!wreu 2487  (class class class)co 5956  ℂcc 7938  ℝcr 7939  ici 7942   + caddc 7943   · cmul 7945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-br 4051  df-opab 4113  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-ltxr 8127  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663

This theorem is referenced by: (None)