Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  creur GIF version

Theorem creur 8761
 Description: The real part of a complex number is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
creur (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem creur
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 7806 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
2 cru 8408 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 = 𝑧𝑦 = 𝑤)))
32ancoms 266 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 = 𝑧𝑦 = 𝑤)))
4 eqcom 2142 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)))
5 ancom 264 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 = 𝑤𝑥 = 𝑧) ↔ (𝑥 = 𝑧𝑦 = 𝑤))
63, 4, 53bitr4g 222 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑦 = 𝑤𝑥 = 𝑧)))
76anassrs 398 . . . . . . . 8 ((((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑦 = 𝑤𝑥 = 𝑧)))
87rexbidva 2436 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑦 = 𝑤𝑥 = 𝑧)))
9 biidd 171 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑤 → (𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧))
109ceqsrexv 2820 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℝ (𝑦 = 𝑤𝑥 = 𝑧) ↔ 𝑥 = 𝑧))
1110ad2antlr 481 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ (𝑦 = 𝑤𝑥 = 𝑧) ↔ 𝑥 = 𝑧))
128, 11bitrd 187 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝑥 = 𝑧))
1312ralrimiva 2509 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝑥 = 𝑧))
14 reu6i 2880 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝑥 = 𝑧)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
1513, 14syldan 280 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
16 eqeq1 2147 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
1716rexbidv 2440 . . . . 5 (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
1817reubidv 2618 . . . 4 (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
1915, 18syl5ibrcom 156 . . 3 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))))
2019rexlimivv 2559 . 2 (∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
211, 20syl 14 1 (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ∃wrex 2418  ∃!wreu 2419  (class class class)co 5783  ℂcc 7662  ℝcr 7663  ici 7666   + caddc 7667   · cmul 7669 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-br 3939  df-opab 3999  df-id 4224  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-ltxr 7849  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator