ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qaddcl GIF version

Theorem qaddcl 9649
Description: Closure of addition of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qaddcl ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„š)

Proof of Theorem qaddcl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 9636 . 2 (๐ด โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
2 elq 9636 . 2 (๐ต โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))
3 nnz 9286 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ค โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„ค)
4 zmulcl 9320 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„ค)
53, 4sylan2 286 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„ค)
65ad2ant2rl 511 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„ค)
7 simpl 109 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
8 nnz 9286 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
98adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
10 zmulcl 9320 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
117, 9, 10syl2anr 290 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
126, 11zaddcld 9393 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ค) + (๐‘ง ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค)
1312adantr 276 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ค) + (๐‘ง ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค)
14 nnmulcl 8954 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„•)
1514ad2ant2l 508 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„•)
1615adantr 276 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„•)
17 oveq12 5897 . . . . . . . . 9 ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐ด + ๐ต) = ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) + (๐‘ง / ๐‘ค)))
18 zcn 9272 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
19 zcn 9272 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
2018, 19anim12i 338 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚))
21 nncn 8941 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
22 nnap0 8962 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ # 0)
2321, 22jca 306 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ # 0))
24 nncn 8941 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ค โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‚)
25 nnap0 8962 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ค โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ค # 0)
2624, 25jca 306 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ค โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ค # 0))
2723, 26anim12i 338 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ # 0) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ค # 0)))
28 divadddivap 8698 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ # 0) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ค # 0))) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) + (๐‘ง / ๐‘ค)) = (((๐‘ฅ ยท ๐‘ค) + (๐‘ง ยท ๐‘ฆ)) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค)))
2920, 27, 28syl2an 289 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) + (๐‘ง / ๐‘ค)) = (((๐‘ฅ ยท ๐‘ค) + (๐‘ง ยท ๐‘ฆ)) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค)))
3029an4s 588 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) + (๐‘ง / ๐‘ค)) = (((๐‘ฅ ยท ๐‘ค) + (๐‘ง ยท ๐‘ฆ)) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค)))
3117, 30sylan9eqr 2242 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (((๐‘ฅ ยท ๐‘ค) + (๐‘ง ยท ๐‘ฆ)) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค)))
32 rspceov 5930 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ ยท ๐‘ค) + (๐‘ง ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„• โˆง (๐ด + ๐ต) = (((๐‘ฅ ยท ๐‘ค) + (๐‘ง ยท ๐‘ฆ)) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„• (๐ด + ๐ต) = (๐‘ฃ / ๐‘ข))
33 elq 9636 . . . . . . . . 9 ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„• (๐ด + ๐ต) = (๐‘ฃ / ๐‘ข))
3432, 33sylibr 134 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ ยท ๐‘ค) + (๐‘ง ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„• โˆง (๐ด + ๐ต) = (((๐‘ฅ ยท ๐‘ค) + (๐‘ง ยท ๐‘ฆ)) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„š)
3513, 16, 31, 34syl3anc 1248 . . . . . . 7 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„š)
3635an4s 588 . . . . . 6 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„š)
3736exp43 372 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„š))))
3837rexlimivv 2610 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„š)))
3938rexlimdvv 2611 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„š))
4039imp 124 . 2 ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„š)
411, 2, 40syl2anb 291 1 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„š)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  โˆƒwrex 2466   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7823  0cc0 7825   + caddc 7828   ยท cmul 7830   # cap 8552   / cdiv 8643  โ„•cn 8933  โ„คcz 9267  โ„šcq 9633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268  df-q 9634
This theorem is referenced by:  qsubcl  9652  qrevaddcl  9658  flqbi2  10305  flqaddz  10311  flqdiv  10335  modqcyc  10373  modqadd1  10375  modqltm1p1mod  10390  modaddmodlo  10402  modsumfzodifsn  10410  addmodlteq  10412  pcaddlem  12352  4sqlem5  12394  4sqlem6  12395  4sqlem10  12399  apdifflemf  15091  apdiff  15093
  Copyright terms: Public domain W3C validator