Theorem qaddcl 9638

Description: Closure of addition of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)

Proof of Theorem qaddcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9625	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2		elq 9625	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
3		nnz 9275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℤ)
4		zmulcl 9309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ)
5	3, 4	sylan2 286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ)
6	5	ad2ant2rl 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ)
7		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℤ)
8		nnz 9275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
10		zmulcl 9309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝑦) ∈ ℤ)
11	7, 9, 10	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑧 · 𝑦) ∈ ℤ)
12	6, 11	zaddcld 9382	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) ∈ ℤ)
13	12	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → ((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) ∈ ℤ)
14		nnmulcl 8943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ)
15	14	ad2ant2l 508	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ)
16	15	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ)
17		oveq12 5887	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝐴 + 𝐵) = ((𝑥 / 𝑦) + (𝑧 / 𝑤)))
18		zcn 9261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
19		zcn 9261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
20	18, 19	anim12i 338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
21		nncn 8930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
22		nnap0 8951	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 # 0)
23	21, 22	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
24		nncn 8930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℂ)
25		nnap0 8951	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 # 0)
26	24, 25	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))
27	23, 26	anim12i 338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)))
28		divadddivap 8687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))) → ((𝑥 / 𝑦) + (𝑧 / 𝑤)) = (((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) / (𝑦 · 𝑤)))
29	20, 27, 28	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑦) + (𝑧 / 𝑤)) = (((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) / (𝑦 · 𝑤)))
30	29	an4s 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑦) + (𝑧 / 𝑤)) = (((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) / (𝑦 · 𝑤)))
31	17, 30	sylan9eqr 2232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝐴 + 𝐵) = (((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) / (𝑦 · 𝑤)))
32		rspceov 5920	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 𝐵) = (((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) / (𝑦 · 𝑤))) → ∃𝑣 ∈ ℤ ∃𝑢 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝑣 / 𝑢))
33		elq 9625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ ↔ ∃𝑣 ∈ ℤ ∃𝑢 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝑣 / 𝑢))
34	32, 33	sylibr 134	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 𝐵) = (((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) / (𝑦 · 𝑤))) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
35	13, 16, 31, 34	syl3anc 1238	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
36	35	an4s 588	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
37	36	exp43 372	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))))
38	37	rexlimivv 2600	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)))
39	38	rexlimdvv 2601	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
40	39	imp 124	. 2 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
41	1, 2, 40	syl2anb 291	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  ℂcc 7812  0cc0 7814   + caddc 7817   · cmul 7819   # cap 8541   / cdiv 8632  ℕcn 8922  ℤcz 9256  ℚcq 9622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-q 9623

This theorem is referenced by:  qsubcl  9641  qrevaddcl  9647  flqbi2  10294  flqaddz  10300  flqdiv  10324  modqcyc  10362  modqadd1  10364  modqltm1p1mod  10379  modaddmodlo  10391  modsumfzodifsn  10399  addmodlteq  10401  pcaddlem  12341  4sqlem5  12383  4sqlem6  12384  4sqlem10  12388  apdifflemf  14956  apdiff  14958