Theorem qaddcl 9634

Description: Closure of addition of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)

Proof of Theorem qaddcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9621	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2		elq 9621	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
3		nnz 9271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℤ)
4		zmulcl 9305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ)
5	3, 4	sylan2 286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ)
6	5	ad2ant2rl 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ)
7		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℤ)
8		nnz 9271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
10		zmulcl 9305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝑦) ∈ ℤ)
11	7, 9, 10	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑧 · 𝑦) ∈ ℤ)
12	6, 11	zaddcld 9378	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) ∈ ℤ)
13	12	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → ((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) ∈ ℤ)
14		nnmulcl 8939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ)
15	14	ad2ant2l 508	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ)
16	15	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ)
17		oveq12 5883	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝐴 + 𝐵) = ((𝑥 / 𝑦) + (𝑧 / 𝑤)))
18		zcn 9257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
19		zcn 9257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
20	18, 19	anim12i 338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
21		nncn 8926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
22		nnap0 8947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 # 0)
23	21, 22	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
24		nncn 8926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℂ)
25		nnap0 8947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 # 0)
26	24, 25	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))
27	23, 26	anim12i 338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)))
28		divadddivap 8683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))) → ((𝑥 / 𝑦) + (𝑧 / 𝑤)) = (((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) / (𝑦 · 𝑤)))
29	20, 27, 28	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑦) + (𝑧 / 𝑤)) = (((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) / (𝑦 · 𝑤)))
30	29	an4s 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑦) + (𝑧 / 𝑤)) = (((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) / (𝑦 · 𝑤)))
31	17, 30	sylan9eqr 2232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝐴 + 𝐵) = (((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) / (𝑦 · 𝑤)))
32		rspceov 5916	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 𝐵) = (((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) / (𝑦 · 𝑤))) → ∃𝑣 ∈ ℤ ∃𝑢 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝑣 / 𝑢))
33		elq 9621	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ ↔ ∃𝑣 ∈ ℤ ∃𝑢 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝑣 / 𝑢))
34	32, 33	sylibr 134	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 𝐵) = (((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) / (𝑦 · 𝑤))) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
35	13, 16, 31, 34	syl3anc 1238	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
36	35	an4s 588	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
37	36	exp43 372	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))))
38	37	rexlimivv 2600	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)))
39	38	rexlimdvv 2601	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
40	39	imp 124	. 2 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
41	1, 2, 40	syl2anb 291	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  ℂcc 7808  0cc0 7810   + caddc 7813   · cmul 7815   # cap 8537   / cdiv 8628  ℕcn 8918  ℤcz 9252  ℚcq 9618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-q 9619

This theorem is referenced by:  qsubcl  9637  qrevaddcl  9643  flqbi2  10290  flqaddz  10296  flqdiv  10320  modqcyc  10358  modqadd1  10360  modqltm1p1mod  10375  modaddmodlo  10387  modsumfzodifsn  10395  addmodlteq  10397  pcaddlem  12337  4sqlem5  12379  4sqlem6  12380  4sqlem10  12384  apdifflemf  14764  apdiff  14766