Theorem qaddcl 9454

Description: Closure of addition of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)

Proof of Theorem qaddcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9441	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2		elq 9441	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
3		nnz 9097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℤ)
4		zmulcl 9131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ)
5	3, 4	sylan2 284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ)
6	5	ad2ant2rl 503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ)
7		simpl 108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℤ)
8		nnz 9097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
9	8	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
10		zmulcl 9131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝑦) ∈ ℤ)
11	7, 9, 10	syl2anr 288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑧 · 𝑦) ∈ ℤ)
12	6, 11	zaddcld 9201	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) ∈ ℤ)
13	12	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → ((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) ∈ ℤ)
14		nnmulcl 8765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ)
15	14	ad2ant2l 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ)
16	15	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ)
17		oveq12 5791	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝐴 + 𝐵) = ((𝑥 / 𝑦) + (𝑧 / 𝑤)))
18		zcn 9083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
19		zcn 9083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
20	18, 19	anim12i 336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
21		nncn 8752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
22		nnap0 8773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 # 0)
23	21, 22	jca 304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
24		nncn 8752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℂ)
25		nnap0 8773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 # 0)
26	24, 25	jca 304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))
27	23, 26	anim12i 336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)))
28		divadddivap 8511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))) → ((𝑥 / 𝑦) + (𝑧 / 𝑤)) = (((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) / (𝑦 · 𝑤)))
29	20, 27, 28	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑦) + (𝑧 / 𝑤)) = (((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) / (𝑦 · 𝑤)))
30	29	an4s 578	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑦) + (𝑧 / 𝑤)) = (((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) / (𝑦 · 𝑤)))
31	17, 30	sylan9eqr 2195	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝐴 + 𝐵) = (((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) / (𝑦 · 𝑤)))
32		rspceov 5821	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 𝐵) = (((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) / (𝑦 · 𝑤))) → ∃𝑣 ∈ ℤ ∃𝑢 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝑣 / 𝑢))
33		elq 9441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ ↔ ∃𝑣 ∈ ℤ ∃𝑢 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝑣 / 𝑢))
34	32, 33	sylibr 133	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 𝐵) = (((𝑥 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑦)) / (𝑦 · 𝑤))) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
35	13, 16, 31, 34	syl3anc 1217	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
36	35	an4s 578	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
37	36	exp43 370	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))))
38	37	rexlimivv 2558	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)))
39	38	rexlimdvv 2559	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
40	39	imp 123	. 2 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
41	1, 2, 40	syl2anb 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∃wrex 2418   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782  ℂcc 7642  0cc0 7644   + caddc 7647   · cmul 7649   # cap 8367   / cdiv 8456  ℕcn 8744  ℤcz 9078  ℚcq 9438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-q 9439

This theorem is referenced by:  qsubcl  9457  qrevaddcl  9463  flqbi2  10095  flqaddz  10101  flqdiv  10125  modqcyc  10163  modqadd1  10165  modqltm1p1mod  10180  modaddmodlo  10192  modsumfzodifsn  10200  addmodlteq  10202  apdifflemf  13414  apdiff  13416