Theorem cju 8743

Description: The complex conjugate of a complex number is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cju	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cju

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 7786	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)))
2		recn 7777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
3		ax-icn 7739	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
4		recn 7777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
5		mulcl 7771	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	sylancr 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
7		subcl 7985	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑧) ∈ ℂ) → (𝑦 − (i · 𝑧)) ∈ ℂ)
8	2, 6, 7	syl2an 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 − (i · 𝑧)) ∈ ℂ)
9	2	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
10	6	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
11	9, 10, 9	ppncand 8137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) = (𝑦 + 𝑦))
12		readdcl 7770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑦) ∈ ℝ)
13	12	anidms 395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 𝑦) ∈ ℝ)
14	13	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑦) ∈ ℝ)
15	11, 14	eqeltrd 2217	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ)
16	9, 10, 10	pnncand 8136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧))) = ((i · 𝑧) + (i · 𝑧)))
17	3	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
18	4	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
19	17, 18, 18	adddid 7814	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · (𝑧 + 𝑧)) = ((i · 𝑧) + (i · 𝑧)))
20	16, 19	eqtr4d 2176	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧))) = (i · (𝑧 + 𝑧)))
21	20	oveq2d 5798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) = (i · (i · (𝑧 + 𝑧))))
22	18, 18	addcld 7809	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 + 𝑧) ∈ ℂ)
23		mulass 7775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (𝑧 + 𝑧) ∈ ℂ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) = (i · (i · (𝑧 + 𝑧))))
24	3, 3, 23	mp3an12 1306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 + 𝑧) ∈ ℂ → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) = (i · (i · (𝑧 + 𝑧))))
25	22, 24	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) = (i · (i · (𝑧 + 𝑧))))
26	21, 25	eqtr4d 2176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) = ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)))
27		ixi 8369	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · i) = -1
28		1re 7789	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
29	28	renegcli 8048	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℝ
30	27, 29	eqeltri 2213	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) ∈ ℝ
31		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
32	31, 31	readdcld 7819	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 + 𝑧) ∈ ℝ)
33		remulcl 7772	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · i) ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 𝑧) ∈ ℝ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) ∈ ℝ)
34	30, 32, 33	sylancr 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) ∈ ℝ)
35	26, 34	eqeltrd 2217	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ)
36		oveq2 5790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))))
37	36	eleq1d 2209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ↔ ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ))
38		oveq2 5790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧))))
39	38	oveq2d 5798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) = (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))))
40	39	eleq1d 2209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ))
41	37, 40	anbi12d 465	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ)))
42	41	rspcev 2793	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 − (i · 𝑧)) ∈ ℂ ∧ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ))
43	8, 15, 35, 42	syl12anc 1215	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ))
44		oveq1 5789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (𝐴 + 𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥))
45	44	eleq1d 2209	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ ((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ))
46		oveq1 5789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (𝐴 − 𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥))
47	46	oveq2d 5798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (i · (𝐴 − 𝑥)) = (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)))
48	47	eleq1d 2209	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ))
49	45, 48	anbi12d 465	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ)))
50	49	rexbidv 2439	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ)))
51	43, 50	syl5ibrcom 156	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))
52	51	rexlimivv 2558	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
53	1, 52	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
54		an4 576	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) ↔ (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)))
55		resubcl 8050	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) ∈ ℝ)
56		pnpcan 8025	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) = (𝑥 − 𝑦))
57	56	3expb 1183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) = (𝑥 − 𝑦))
58	57	eleq1d 2209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) ∈ ℝ ↔ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ))
59	55, 58	syl5ib 153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ))
60		resubcl 8050	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) → ((i · (𝐴 − 𝑦)) − (i · (𝐴 − 𝑥))) ∈ ℝ)
61	60	ancoms 266	. . . . . . 7 ⊢ (((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ) → ((i · (𝐴 − 𝑦)) − (i · (𝐴 − 𝑥))) ∈ ℝ)
62	3	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → i ∈ ℂ)
63		subcl 7985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝑦) ∈ ℂ)
64	63	adantrl 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝐴 − 𝑦) ∈ ℂ)
65		subcl 7985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝑥) ∈ ℂ)
66	65	adantrr 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝐴 − 𝑥) ∈ ℂ)
67	62, 64, 66	subdid 8200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (i · ((𝐴 − 𝑦) − (𝐴 − 𝑥))) = ((i · (𝐴 − 𝑦)) − (i · (𝐴 − 𝑥))))
68		nnncan1 8022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝑦) − (𝐴 − 𝑥)) = (𝑥 − 𝑦))
69	68	3com23 1188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝑦) − (𝐴 − 𝑥)) = (𝑥 − 𝑦))
70	69	3expb 1183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 𝑦) − (𝐴 − 𝑥)) = (𝑥 − 𝑦))
71	70	oveq2d 5798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (i · ((𝐴 − 𝑦) − (𝐴 − 𝑥))) = (i · (𝑥 − 𝑦)))
72	67, 71	eqtr3d 2175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((i · (𝐴 − 𝑦)) − (i · (𝐴 − 𝑥))) = (i · (𝑥 − 𝑦)))
73	72	eleq1d 2209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((i · (𝐴 − 𝑦)) − (i · (𝐴 − 𝑥))) ∈ ℝ ↔ (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ))
74	61, 73	syl5ib 153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ) → (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ))
75	59, 74	anim12d 333	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ)))
76		rimul 8371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) = 0)
77	76	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) = 0))
78		subeq0 8012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
79	78	biimpd 143	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 → 𝑥 = 𝑦))
80	79	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 → 𝑥 = 𝑦))
81	75, 77, 80	3syld 57	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦))
82	54, 81	syl5bi 151	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦))
83	82	ralrimivva 2517	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦))
84		oveq2 5790	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + 𝑦))
85	84	eleq1d 2209	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ))
86		oveq2 5790	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 − 𝑥) = (𝐴 − 𝑦))
87	86	oveq2d 5798	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (i · (𝐴 − 𝑥)) = (i · (𝐴 − 𝑦)))
88	87	eleq1d 2209	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ))
89	85, 88	anbi12d 465	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)))
90	89	reu4 2882	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦)))
91	53, 83, 90	sylanbrc 414	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ∃wrex 2418  ∃!wreu 2419  (class class class)co 5782  ℂcc 7642  ℝcr 7643  0cc0 7644  1c1 7645  ici 7646   + caddc 7647   · cmul 7649   − cmin 7957  -cneg 7958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-ltxr 7829  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361

This theorem is referenced by:  cjval  10649  cjth  10650  cjf  10651  remim  10664