Theorem cju 8988

Description: The complex conjugate of a complex number is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cju	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cju

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 8022	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)))
2		recn 8012	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
3		ax-icn 7974	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
4		recn 8012	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
5		mulcl 8006	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
7		subcl 8225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑧) ∈ ℂ) → (𝑦 − (i · 𝑧)) ∈ ℂ)
8	2, 6, 7	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 − (i · 𝑧)) ∈ ℂ)
9	2	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
10	6	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
11	9, 10, 9	ppncand 8377	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) = (𝑦 + 𝑦))
12		readdcl 8005	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑦) ∈ ℝ)
13	12	anidms 397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 𝑦) ∈ ℝ)
14	13	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑦) ∈ ℝ)
15	11, 14	eqeltrd 2273	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ)
16	9, 10, 10	pnncand 8376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧))) = ((i · 𝑧) + (i · 𝑧)))
17	3	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
18	4	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
19	17, 18, 18	adddid 8051	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · (𝑧 + 𝑧)) = ((i · 𝑧) + (i · 𝑧)))
20	16, 19	eqtr4d 2232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧))) = (i · (𝑧 + 𝑧)))
21	20	oveq2d 5938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) = (i · (i · (𝑧 + 𝑧))))
22	18, 18	addcld 8046	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 + 𝑧) ∈ ℂ)
23		mulass 8010	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (𝑧 + 𝑧) ∈ ℂ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) = (i · (i · (𝑧 + 𝑧))))
24	3, 3, 23	mp3an12 1338	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 + 𝑧) ∈ ℂ → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) = (i · (i · (𝑧 + 𝑧))))
25	22, 24	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) = (i · (i · (𝑧 + 𝑧))))
26	21, 25	eqtr4d 2232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) = ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)))
27		ixi 8610	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · i) = -1
28		1re 8025	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
29	28	renegcli 8288	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℝ
30	27, 29	eqeltri 2269	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) ∈ ℝ
31		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
32	31, 31	readdcld 8056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 + 𝑧) ∈ ℝ)
33		remulcl 8007	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · i) ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 𝑧) ∈ ℝ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) ∈ ℝ)
34	30, 32, 33	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) ∈ ℝ)
35	26, 34	eqeltrd 2273	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ)
36		oveq2 5930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))))
37	36	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ↔ ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ))
38		oveq2 5930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧))))
39	38	oveq2d 5938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) = (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))))
40	39	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ))
41	37, 40	anbi12d 473	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ)))
42	41	rspcev 2868	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 − (i · 𝑧)) ∈ ℂ ∧ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ))
43	8, 15, 35, 42	syl12anc 1247	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ))
44		oveq1 5929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (𝐴 + 𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥))
45	44	eleq1d 2265	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ ((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ))
46		oveq1 5929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (𝐴 − 𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥))
47	46	oveq2d 5938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (i · (𝐴 − 𝑥)) = (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)))
48	47	eleq1d 2265	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ))
49	45, 48	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ)))
50	49	rexbidv 2498	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ)))
51	43, 50	syl5ibrcom 157	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))
52	51	rexlimivv 2620	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
53	1, 52	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
54		an4 586	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) ↔ (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)))
55		resubcl 8290	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) ∈ ℝ)
56		pnpcan 8265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) = (𝑥 − 𝑦))
57	56	3expb 1206	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) = (𝑥 − 𝑦))
58	57	eleq1d 2265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) ∈ ℝ ↔ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ))
59	55, 58	imbitrid 154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ))
60		resubcl 8290	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) → ((i · (𝐴 − 𝑦)) − (i · (𝐴 − 𝑥))) ∈ ℝ)
61	60	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ (((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ) → ((i · (𝐴 − 𝑦)) − (i · (𝐴 − 𝑥))) ∈ ℝ)
62	3	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → i ∈ ℂ)
63		subcl 8225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝑦) ∈ ℂ)
64	63	adantrl 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝐴 − 𝑦) ∈ ℂ)
65		subcl 8225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝑥) ∈ ℂ)
66	65	adantrr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝐴 − 𝑥) ∈ ℂ)
67	62, 64, 66	subdid 8440	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (i · ((𝐴 − 𝑦) − (𝐴 − 𝑥))) = ((i · (𝐴 − 𝑦)) − (i · (𝐴 − 𝑥))))
68		nnncan1 8262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝑦) − (𝐴 − 𝑥)) = (𝑥 − 𝑦))
69	68	3com23 1211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝑦) − (𝐴 − 𝑥)) = (𝑥 − 𝑦))
70	69	3expb 1206	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 𝑦) − (𝐴 − 𝑥)) = (𝑥 − 𝑦))
71	70	oveq2d 5938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (i · ((𝐴 − 𝑦) − (𝐴 − 𝑥))) = (i · (𝑥 − 𝑦)))
72	67, 71	eqtr3d 2231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((i · (𝐴 − 𝑦)) − (i · (𝐴 − 𝑥))) = (i · (𝑥 − 𝑦)))
73	72	eleq1d 2265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((i · (𝐴 − 𝑦)) − (i · (𝐴 − 𝑥))) ∈ ℝ ↔ (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ))
74	61, 73	imbitrid 154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ) → (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ))
75	59, 74	anim12d 335	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ)))
76		rimul 8612	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) = 0)
77	76	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) = 0))
78		subeq0 8252	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
79	78	biimpd 144	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 → 𝑥 = 𝑦))
80	79	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 → 𝑥 = 𝑦))
81	75, 77, 80	3syld 57	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦))
82	54, 81	biimtrid 152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦))
83	82	ralrimivva 2579	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦))
84		oveq2 5930	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + 𝑦))
85	84	eleq1d 2265	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ))
86		oveq2 5930	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 − 𝑥) = (𝐴 − 𝑦))
87	86	oveq2d 5938	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (i · (𝐴 − 𝑥)) = (i · (𝐴 − 𝑦)))
88	87	eleq1d 2265	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ))
89	85, 88	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)))
90	89	reu4 2958	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦)))
91	53, 83, 90	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  ∃!wreu 2477  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  ℝcr 7878  0cc0 7879  1c1 7880  ici 7881   + caddc 7882   · cmul 7884   − cmin 8197  -cneg 8198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602

This theorem is referenced by:  cjval  11010  cjth  11011  cjf  11012  remim  11025