ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cju GIF version

Theorem cju 8907
Description: The complex conjugate of a complex number is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cju (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cju
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 7944 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)))
2 recn 7935 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
3 ax-icn 7897 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
4 recn 7935 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
5 mulcl 7929 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
63, 4, 5sylancr 414 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
7 subcl 8146 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑧) ∈ ℂ) → (𝑦 − (i · 𝑧)) ∈ ℂ)
82, 6, 7syl2an 289 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 − (i · 𝑧)) ∈ ℂ)
92adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
106adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
119, 10, 9ppncand 8298 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) = (𝑦 + 𝑦))
12 readdcl 7928 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑦) ∈ ℝ)
1312anidms 397 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 𝑦) ∈ ℝ)
1413adantr 276 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑦) ∈ ℝ)
1511, 14eqeltrd 2254 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ)
169, 10, 10pnncand 8297 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧))) = ((i · 𝑧) + (i · 𝑧)))
173a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
184adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
1917, 18, 18adddid 7972 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · (𝑧 + 𝑧)) = ((i · 𝑧) + (i · 𝑧)))
2016, 19eqtr4d 2213 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧))) = (i · (𝑧 + 𝑧)))
2120oveq2d 5885 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) = (i · (i · (𝑧 + 𝑧))))
2218, 18addcld 7967 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 + 𝑧) ∈ ℂ)
23 mulass 7933 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (𝑧 + 𝑧) ∈ ℂ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) = (i · (i · (𝑧 + 𝑧))))
243, 3, 23mp3an12 1327 . . . . . . . . 9 ((𝑧 + 𝑧) ∈ ℂ → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) = (i · (i · (𝑧 + 𝑧))))
2522, 24syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) = (i · (i · (𝑧 + 𝑧))))
2621, 25eqtr4d 2213 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) = ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)))
27 ixi 8530 . . . . . . . . 9 (i · i) = -1
28 1re 7947 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
2928renegcli 8209 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℝ
3027, 29eqeltri 2250 . . . . . . . 8 (i · i) ∈ ℝ
31 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
3231, 31readdcld 7977 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 + 𝑧) ∈ ℝ)
33 remulcl 7930 . . . . . . . 8 (((i · i) ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 𝑧) ∈ ℝ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) ∈ ℝ)
3430, 32, 33sylancr 414 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) ∈ ℝ)
3526, 34eqeltrd 2254 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ)
36 oveq2 5877 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))))
3736eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ↔ ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ))
38 oveq2 5877 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧))))
3938oveq2d 5885 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) = (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))))
4039eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ))
4137, 40anbi12d 473 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ)))
4241rspcev 2841 . . . . . 6 (((𝑦 − (i · 𝑧)) ∈ ℂ ∧ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ))
438, 15, 35, 42syl12anc 1236 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ))
44 oveq1 5876 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (𝐴 + 𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥))
4544eleq1d 2246 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ ((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ))
46 oveq1 5876 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (𝐴𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥))
4746oveq2d 5885 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (i · (𝐴𝑥)) = (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)))
4847eleq1d 2246 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ((i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ))
4945, 48anbi12d 473 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ)))
5049rexbidv 2478 . . . . 5 (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ)))
5143, 50syl5ibrcom 157 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)))
5251rexlimivv 2600 . . 3 (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ))
531, 52syl 14 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ))
54 an4 586 . . . 4 ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑦)) ∈ ℝ)) ↔ (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑦)) ∈ ℝ)))
55 resubcl 8211 . . . . . . 7 (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) ∈ ℝ)
56 pnpcan 8186 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) = (𝑥𝑦))
57563expb 1204 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) = (𝑥𝑦))
5857eleq1d 2246 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) ∈ ℝ ↔ (𝑥𝑦) ∈ ℝ))
5955, 58imbitrid 154 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ))
60 resubcl 8211 . . . . . . . 8 (((i · (𝐴𝑦)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) → ((i · (𝐴𝑦)) − (i · (𝐴𝑥))) ∈ ℝ)
6160ancoms 268 . . . . . . 7 (((i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑦)) ∈ ℝ) → ((i · (𝐴𝑦)) − (i · (𝐴𝑥))) ∈ ℝ)
623a1i 9 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → i ∈ ℂ)
63 subcl 8146 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴𝑦) ∈ ℂ)
6463adantrl 478 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝐴𝑦) ∈ ℂ)
65 subcl 8146 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴𝑥) ∈ ℂ)
6665adantrr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝐴𝑥) ∈ ℂ)
6762, 64, 66subdid 8361 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (i · ((𝐴𝑦) − (𝐴𝑥))) = ((i · (𝐴𝑦)) − (i · (𝐴𝑥))))
68 nnncan1 8183 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑦) − (𝐴𝑥)) = (𝑥𝑦))
69683com23 1209 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑦) − (𝐴𝑥)) = (𝑥𝑦))
70693expb 1204 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝐴𝑦) − (𝐴𝑥)) = (𝑥𝑦))
7170oveq2d 5885 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (i · ((𝐴𝑦) − (𝐴𝑥))) = (i · (𝑥𝑦)))
7267, 71eqtr3d 2212 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((i · (𝐴𝑦)) − (i · (𝐴𝑥))) = (i · (𝑥𝑦)))
7372eleq1d 2246 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((i · (𝐴𝑦)) − (i · (𝐴𝑥))) ∈ ℝ ↔ (i · (𝑥𝑦)) ∈ ℝ))
7461, 73imbitrid 154 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑦)) ∈ ℝ) → (i · (𝑥𝑦)) ∈ ℝ))
7559, 74anim12d 335 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑦)) ∈ ℝ)) → ((𝑥𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑥𝑦)) ∈ ℝ)))
76 rimul 8532 . . . . . 6 (((𝑥𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑥𝑦)) ∈ ℝ) → (𝑥𝑦) = 0)
7776a1i 9 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((𝑥𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑥𝑦)) ∈ ℝ) → (𝑥𝑦) = 0))
78 subeq0 8173 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
7978biimpd 144 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑦) = 0 → 𝑥 = 𝑦))
8079adantl 277 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑥𝑦) = 0 → 𝑥 = 𝑦))
8175, 77, 803syld 57 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦))
8254, 81biimtrid 152 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦))
8382ralrimivva 2559 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦))
84 oveq2 5877 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + 𝑦))
8584eleq1d 2246 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ))
86 oveq2 5877 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
8786oveq2d 5885 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (i · (𝐴𝑥)) = (i · (𝐴𝑦)))
8887eleq1d 2246 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · (𝐴𝑦)) ∈ ℝ))
8985, 88anbi12d 473 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑦)) ∈ ℝ)))
9089reu4 2931 . 2 (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦)))
9153, 83, 90sylanbrc 417 1 (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  ∃!wreu 2457  (class class class)co 5869  cc 7800  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803  ici 7804   + caddc 7805   · cmul 7807  cmin 8118  -cneg 8119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-ltxr 7987  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522
This theorem is referenced by:  cjval  10838  cjth  10839  cjf  10840  remim  10853
  Copyright terms: Public domain W3C validator