ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pcz GIF version

Theorem pcz 12296
Description: The prime count function can be used as an indicator that a given rational number is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcz (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem pcz
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcge0 12277 . . . 4 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
21ancoms 268 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
32ralrimiva 2548 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
4 elq 9593 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
5 nnz 9243 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
6 dvds0 11779 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∥ 0)
75, 6syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∥ 0)
87ad2antlr 489 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑦 ∥ 0)
9 simpr 110 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
108, 9breqtrrd 4026 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑦𝑥)
1110a1d 22 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 0) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦𝑥))
12 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
13 simplll 533 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑥 ∈ ℤ)
14 simplr 528 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑥 ≠ 0)
15 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑦 ∈ ℕ)
16 pcdiv 12267 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑝 pCnt 𝑥) − (𝑝 pCnt 𝑦)))
1712, 13, 14, 15, 16syl121anc 1243 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑝 pCnt 𝑥) − (𝑝 pCnt 𝑦)))
1817breq2d 4010 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ↔ 0 ≤ ((𝑝 pCnt 𝑥) − (𝑝 pCnt 𝑦))))
19 pczcl 12263 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℕ0)
2012, 13, 14, 19syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℕ0)
2120nn0red 9201 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℝ)
2212, 15pccld 12265 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑦) ∈ ℕ0)
2322nn0red 9201 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑦) ∈ ℝ)
2421, 23subge0d 8466 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 ≤ ((𝑝 pCnt 𝑥) − (𝑝 pCnt 𝑦)) ↔ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
2518, 24bitrd 188 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ↔ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
2625ralbidva 2471 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
27 id 19 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ)
28 pc2dvds 12294 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝑥 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
295, 27, 28syl2anr 290 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦𝑥 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
3029adantr 276 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑦𝑥 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
3126, 30bitr4d 191 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ↔ 𝑦𝑥))
3231biimpd 144 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦𝑥))
33 0zd 9236 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
34 zdceq 9299 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 = 0)
3533, 34syldan 282 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → DECID 𝑥 = 0)
36 dcne 2356 . . . . . . . 8 (DECID 𝑥 = 0 ↔ (𝑥 = 0 ∨ 𝑥 ≠ 0))
3735, 36sylib 122 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = 0 ∨ 𝑥 ≠ 0))
3811, 32, 37mpjaodan 798 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦𝑥))
39 nnne0 8918 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
40 simpl 109 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℤ)
41 dvdsval2 11763 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℤ))
425, 39, 40, 41syl2an23an 1299 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℤ))
4338, 42sylibd 149 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℤ))
44 oveq2 5873 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
4544breq2d 4010 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦))))
4645ralbidv 2475 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦))))
47 eleq1 2238 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℤ))
4846, 47imbi12d 234 . . . . 5 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℤ)))
4943, 48syl5ibrcom 157 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
5049rexlimivv 2598 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
514, 50sylbi 121 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
523, 51impbid2 143 1 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2146  wne 2345  wral 2453  wrex 2454   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865  0cc0 7786  cle 7967  cmin 8102   / cdiv 8601  cn 8890  0cn0 9147  cz 9224  cq 9590  cdvds 11760  cprime 12072   pCnt cpc 12249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-1o 6407  df-2o 6408  df-er 6525  df-en 6731  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-xnn0 9211  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-fl 10238  df-mod 10291  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974  df-dvds 11761  df-gcd 11909  df-prm 12073  df-pc 12250
This theorem is referenced by:  pcmptdvds  12308  qexpz  12315
  Copyright terms: Public domain W3C validator