ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  creui GIF version

Theorem creui 8917
Description: The imaginary part of a complex number is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
creui (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด

Proof of Theorem creui
Dummy variables ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 7953 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)))
2 simpr 110 . . . . 5 ((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„)
3 eqcom 2179 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)))
4 cru 8559 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†” (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค)))
54ancoms 268 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†” (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค)))
63, 5bitrid 192 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค)))
76anass1rs 571 . . . . . . . 8 ((((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค)))
87rexbidva 2474 . . . . . . 7 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค)))
9 biidd 172 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฆ = ๐‘ค โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ค))
109ceqsrexv 2868 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ค))
1110ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ค))
128, 11bitrd 188 . . . . . 6 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ค))
1312ralrimiva 2550 . . . . 5 ((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ค))
14 reu6i 2929 . . . . 5 ((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ค)) โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
152, 13, 14syl2anc 411 . . . 4 ((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
16 eqeq1 2184 . . . . . 6 (๐ด = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
1716rexbidv 2478 . . . . 5 (๐ด = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
1817reubidv 2661 . . . 4 (๐ด = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†’ (โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
1915, 18syl5ibrcom 157 . . 3 ((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
2019rexlimivv 2600 . 2 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
211, 20syl 14 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆ€wral 2455  โˆƒwrex 2456  โˆƒ!wreu 2457  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  โ„cr 7810  ici 7813   + caddc 7814   ยท cmul 7816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator