ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  creui GIF version

Theorem creui 8678
Description: The imaginary part of a complex number is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
creui (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem creui
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 7726 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
2 simpr 109 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
3 eqcom 2117 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)))
4 cru 8327 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 = 𝑧𝑦 = 𝑤)))
54ancoms 266 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 = 𝑧𝑦 = 𝑤)))
63, 5syl5bb 191 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑥 = 𝑧𝑦 = 𝑤)))
76anass1rs 543 . . . . . . . 8 ((((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑥 = 𝑧𝑦 = 𝑤)))
87rexbidva 2409 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥 = 𝑧𝑦 = 𝑤)))
9 biidd 171 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 = 𝑤𝑦 = 𝑤))
109ceqsrexv 2787 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥 = 𝑧𝑦 = 𝑤) ↔ 𝑦 = 𝑤))
1110ad2antrr 477 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥 = 𝑧𝑦 = 𝑤) ↔ 𝑦 = 𝑤))
128, 11bitrd 187 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝑦 = 𝑤))
1312ralrimiva 2480 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℝ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝑦 = 𝑤))
14 reu6i 2846 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝑦 = 𝑤)) → ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
152, 13, 14syl2anc 406 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
16 eqeq1 2122 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
1716rexbidv 2413 . . . . 5 (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (∃𝑥 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
1817reubidv 2589 . . . 4 (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
1915, 18syl5ibrcom 156 . . 3 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))))
2019rexlimivv 2530 . 2 (∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
211, 20syl 14 1 (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1314  wcel 1463  wral 2391  wrex 2392  ∃!wreu 2393  (class class class)co 5740  cc 7582  cr 7583  ici 7586   + caddc 7587   · cmul 7589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-ltxr 7769  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator