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Theorem odd2np1 11758
Description: An integer is odd iff it is one plus twice another integer. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
odd2np1 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem odd2np1
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 9190 . . . 4 2 ∈ ℤ
2 divides 11680 . . . 4 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
31, 2mpan 421 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
43notbid 657 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
5 elznn0 9177 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
6 odd2np1lem 11757 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
76adantl 275 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
8 odd2np1lem 11757 . . . . . . 7 (-𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = -𝑁))
9 peano2z 9198 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
10 znegcl 9193 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 + 1) ∈ ℤ → -(𝑥 + 1) ∈ ℤ)
119, 10syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℤ → -(𝑥 + 1) ∈ ℤ)
1211ad2antlr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁) → -(𝑥 + 1) ∈ ℤ)
13 zcn 9167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
14 2cn 8899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℂ
15 mulcl 7854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
1614, 15mpan 421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
17 peano2cn 8005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
1913, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
2019adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
21 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
2221recnd 7901 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
23 negcon2 8123 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1)))
2420, 22, 23syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1)))
25 eqcom 2159 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1) ↔ -((2 · 𝑥) + 1) = 𝑁)
2614, 13, 15sylancr 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
27 ax-1cn 7820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℂ
2814, 27mulcli 7878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 · 1) ∈ ℂ
29 addsubass 8080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ (2 · 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)))
3028, 27, 29mp3an23 1311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)))
3126, 30syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)))
32 2t1e2 8981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 · 1) = 2
3332oveq1i 5831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 · 1) − 1) = (2 − 1)
34 2m1e1 8946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 − 1) = 1
3533, 34eqtri 2178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 · 1) − 1) = 1
3635oveq2i 5832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)) = ((2 · 𝑥) + 1)
3731, 36eqtr2di 2207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) + 1) = (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1))
38 adddi 7859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑥 + 1)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 1)))
3914, 27, 38mp3an13 1310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℂ → (2 · (𝑥 + 1)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 1)))
4013, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · (𝑥 + 1)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 1)))
4140oveq1d 5836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · (𝑥 + 1)) − 1) = (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1))
4237, 41eqtr4d 2193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · (𝑥 + 1)) − 1))
4342negeqd 8065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → -((2 · 𝑥) + 1) = -((2 · (𝑥 + 1)) − 1))
449zcnd 9282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
45 mulneg2 8266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℂ) → (2 · -(𝑥 + 1)) = -(2 · (𝑥 + 1)))
4614, 44, 45sylancr 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · -(𝑥 + 1)) = -(2 · (𝑥 + 1)))
4746oveq1d 5836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = (-(2 · (𝑥 + 1)) + 1))
48 mulcl 7854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℂ) → (2 · (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
4914, 44, 48sylancr 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
50 negsubdi 8126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((2 · (𝑥 + 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2 · (𝑥 + 1)) − 1) = (-(2 · (𝑥 + 1)) + 1))
5149, 27, 50sylancl 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → -((2 · (𝑥 + 1)) − 1) = (-(2 · (𝑥 + 1)) + 1))
5247, 51eqtr4d 2193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = -((2 · (𝑥 + 1)) − 1))
5343, 52eqtr4d 2193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → -((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1))
5453adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → -((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1))
5554eqeq1d 2166 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-((2 · 𝑥) + 1) = 𝑁 ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
5625, 55syl5bb 191 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
5724, 56bitrd 187 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
5857biimpa 294 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁) → ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁)
59 oveq2 5829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = -(𝑥 + 1) → (2 · 𝑛) = (2 · -(𝑥 + 1)))
6059oveq1d 5836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = -(𝑥 + 1) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1))
6160eqeq1d 2166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = -(𝑥 + 1) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
6261rspcev 2816 . . . . . . . . . . 11 ((-(𝑥 + 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
6312, 58, 62syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
6463ex 114 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
6564rexlimdva 2574 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
66 znegcl 9193 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
6766ad2antlr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 2) = -𝑁) → -𝑦 ∈ ℤ)
68 zcn 9167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
69 mulcl 7854 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑦 · 2) ∈ ℂ)
7068, 14, 69sylancl 410 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 2) ∈ ℂ)
71 recn 7860 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
72 negcon2 8123 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 · 2) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁𝑁 = -(𝑦 · 2)))
7370, 71, 72syl2anr 288 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁𝑁 = -(𝑦 · 2)))
74 eqcom 2159 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = -(𝑦 · 2) ↔ -(𝑦 · 2) = 𝑁)
75 mulneg1 8265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (-𝑦 · 2) = -(𝑦 · 2))
7668, 14, 75sylancl 410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 · 2) = -(𝑦 · 2))
7776adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (-𝑦 · 2) = -(𝑦 · 2))
7877eqeq1d 2166 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((-𝑦 · 2) = 𝑁 ↔ -(𝑦 · 2) = 𝑁))
7974, 78bitr4id 198 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑁 = -(𝑦 · 2) ↔ (-𝑦 · 2) = 𝑁))
8073, 79bitrd 187 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁 ↔ (-𝑦 · 2) = 𝑁))
8180biimpa 294 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 2) = -𝑁) → (-𝑦 · 2) = 𝑁)
82 oveq1 5828 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = -𝑦 → (𝑘 · 2) = (-𝑦 · 2))
8382eqeq1d 2166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = -𝑦 → ((𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ (-𝑦 · 2) = 𝑁))
8483rspcev 2816 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑦 ∈ ℤ ∧ (-𝑦 · 2) = 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)
8567, 81, 84syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 2) = -𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)
8685ex 114 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
8786rexlimdva 2574 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = -𝑁 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
8865, 87orim12d 776 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → ((∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = -𝑁) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)))
898, 88syl5 32 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)))
9089imp 123 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
917, 90jaodan 787 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
925, 91sylbi 120 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
93 halfnz 9255 . . . 4 ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
94 reeanv 2626 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
95 eqtr3 2177 . . . . . . 7 ((((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) → ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2))
96 zcn 9167 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
97 mulcom 7856 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑘 · 2) = (2 · 𝑘))
9896, 14, 97sylancl 410 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 2) = (2 · 𝑘))
9998eqeq2d 2169 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
10099adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
101 mulcl 7854 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
10214, 96, 101sylancr 411 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
103 zcn 9167 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
104 mulcl 7854 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
10514, 103, 104sylancr 411 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
106 subadd 8073 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
10727, 106mp3an3 1308 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
108102, 105, 107syl2anr 288 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
109 subcl 8069 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑘𝑛) ∈ ℂ)
110 2ap0 8921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 # 0
11114, 110pm3.2i 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
112 eqcom 2159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ (1 / 2) = (𝑘𝑛))
113 divmulap 8543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑘𝑛) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → ((1 / 2) = (𝑘𝑛) ↔ (2 · (𝑘𝑛)) = 1))
114112, 113syl5bb 191 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑘𝑛) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘𝑛)) = 1))
11527, 111, 114mp3an13 1310 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑛) ∈ ℂ → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘𝑛)) = 1))
116109, 115syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘𝑛)) = 1))
117116ancoms 266 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘𝑛)) = 1))
118 subdi 8255 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
11914, 118mp3an1 1306 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
120119ancoms 266 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
121120eqeq1d 2166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑘𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1))
122117, 121bitrd 187 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1))
123103, 96, 122syl2an 287 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1))
124 zsubcl 9203 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑘𝑛) ∈ ℤ)
125 eleq1 2220 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑛) = (1 / 2) → ((𝑘𝑛) ∈ ℤ ↔ (1 / 2) ∈ ℤ))
126124, 125syl5ibcom 154 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) → (1 / 2) ∈ ℤ))
127126ancoms 266 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) → (1 / 2) ∈ ℤ))
128123, 127sylbird 169 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 → (1 / 2) ∈ ℤ))
129108, 128sylbird 169 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘) → (1 / 2) ∈ ℤ))
130100, 129sylbid 149 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2) → (1 / 2) ∈ ℤ))
13195, 130syl5 32 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℤ))
132131rexlimivv 2580 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℤ)
13394, 132sylbir 134 . . . 4 ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℤ)
13493, 133mto 652 . . 3 ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)
135 df-xor 1358 . . . . 5 ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ⊻ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ↔ ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ∧ ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)))
136 xorbin 1366 . . . . 5 ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ⊻ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
137135, 136sylbir 134 . . . 4 (((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ∧ ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
138137bicomd 140 . . 3 (((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ∧ ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)) → (¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
13992, 134, 138sylancl 410 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
1404, 139bitrd 187 1 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698  w3a 963   = wceq 1335  wxo 1357  wcel 2128  wrex 2436   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821  cc 7725  cr 7726  0cc0 7727  1c1 7728   + caddc 7730   · cmul 7732  cmin 8041  -cneg 8042   # cap 8451   / cdiv 8540  2c2 8879  0cn0 9085  cz 9162  cdvds 11678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1cn 7820  ax-1re 7821  ax-icn 7822  ax-addcl 7823  ax-addrcl 7824  ax-mulcl 7825  ax-mulrcl 7826  ax-addcom 7827  ax-mulcom 7828  ax-addass 7829  ax-mulass 7830  ax-distr 7831  ax-i2m1 7832  ax-0lt1 7833  ax-1rid 7834  ax-0id 7835  ax-rnegex 7836  ax-precex 7837  ax-cnre 7838  ax-pre-ltirr 7839  ax-pre-ltwlin 7840  ax-pre-lttrn 7841  ax-pre-apti 7842  ax-pre-ltadd 7843  ax-pre-mulgt0 7844  ax-pre-mulext 7845
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-xor 1358  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-xr 7911  df-ltxr 7912  df-le 7913  df-sub 8043  df-neg 8044  df-reap 8445  df-ap 8452  df-div 8541  df-inn 8829  df-2 8887  df-n0 9086  df-z 9163  df-dvds 11679
This theorem is referenced by:  oddm1even  11760  oexpneg  11762  oddnn02np1  11765  2tp1odd  11769  sqoddm1div8z  11771  ltoddhalfle  11778  halfleoddlt  11779  opoe  11780  omoe  11781  opeo  11782  omeo  11783  m1expo  11785  m1exp1  11786  flodddiv4  11819
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