![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > replim | GIF version |
Description: Reconstruct a complex number from its real and imaginary parts. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
replim | โข (๐ด โ โ โ ๐ด = ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | cnre 7953 | . 2 โข (๐ด โ โ โ โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) | |
2 | crre 10866 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) = ๐ฅ) | |
3 | crim 10867 | . . . . . . 7 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) = ๐ฆ) | |
4 | 3 | oveq2d 5891 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (i ยท (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))) = (i ยท ๐ฆ)) |
5 | 2, 4 | oveq12d 5893 | . . . . 5 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ ((โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) + (i ยท (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))))) = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) |
6 | 5 | eqcomd 2183 | . . . 4 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) = ((โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) + (i ยท (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))))) |
7 | id 19 | . . . . 5 โข (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) | |
8 | fveq2 5516 | . . . . . 6 โข (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ (โโ๐ด) = (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))) | |
9 | fveq2 5516 | . . . . . . 7 โข (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ (โโ๐ด) = (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))) | |
10 | 9 | oveq2d 5891 | . . . . . 6 โข (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ (i ยท (โโ๐ด)) = (i ยท (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))))) |
11 | 8, 10 | oveq12d 5893 | . . . . 5 โข (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด))) = ((โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) + (i ยท (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))))) |
12 | 7, 11 | eqeq12d 2192 | . . . 4 โข (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ (๐ด = ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด))) โ (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) = ((โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) + (i ยท (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))))))) |
13 | 6, 12 | syl5ibrcom 157 | . . 3 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ ๐ด = ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด))))) |
14 | 13 | rexlimivv 2600 | . 2 โข (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ ๐ด = ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด)))) |
15 | 1, 14 | syl 14 | 1 โข (๐ด โ โ โ ๐ด = ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด)))) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 = wceq 1353 โ wcel 2148 โwrex 2456 โcfv 5217 (class class class)co 5875 โcc 7809 โcr 7810 ici 7813 + caddc 7814 ยท cmul 7816 โcre 10849 โcim 10850 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4122 ax-pow 4175 ax-pr 4210 ax-un 4434 ax-setind 4537 ax-cnex 7902 ax-resscn 7903 ax-1cn 7904 ax-1re 7905 ax-icn 7906 ax-addcl 7907 ax-addrcl 7908 ax-mulcl 7909 ax-mulrcl 7910 ax-addcom 7911 ax-mulcom 7912 ax-addass 7913 ax-mulass 7914 ax-distr 7915 ax-i2m1 7916 ax-0lt1 7917 ax-1rid 7918 ax-0id 7919 ax-rnegex 7920 ax-precex 7921 ax-cnre 7922 ax-pre-ltirr 7923 ax-pre-ltwlin 7924 ax-pre-lttrn 7925 ax-pre-apti 7926 ax-pre-ltadd 7927 ax-pre-mulgt0 7928 ax-pre-mulext 7929 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2740 df-sbc 2964 df-dif 3132 df-un 3134 df-in 3136 df-ss 3143 df-pw 3578 df-sn 3599 df-pr 3600 df-op 3602 df-uni 3811 df-br 4005 df-opab 4066 df-mpt 4067 df-id 4294 df-po 4297 df-iso 4298 df-xp 4633 df-rel 4634 df-cnv 4635 df-co 4636 df-dm 4637 df-rn 4638 df-res 4639 df-ima 4640 df-iota 5179 df-fun 5219 df-fn 5220 df-f 5221 df-fv 5225 df-riota 5831 df-ov 5878 df-oprab 5879 df-mpo 5880 df-pnf 7994 df-mnf 7995 df-xr 7996 df-ltxr 7997 df-le 7998 df-sub 8130 df-neg 8131 df-reap 8532 df-ap 8539 df-div 8630 df-2 8978 df-cj 10851 df-re 10852 df-im 10853 |
This theorem is referenced by: remim 10869 reim0b 10871 rereb 10872 mulreap 10873 cjreb 10875 reneg 10877 readd 10878 remullem 10880 imneg 10885 imadd 10886 cjcj 10892 imval2 10903 cnrecnv 10919 replimi 10923 replimd 10950 cnreim 10987 abs00ap 11071 recan 11118 efeul 11742 absef 11777 absefib 11778 efieq1re 11779 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |