Theorem replim 11413

Description: Reconstruct a complex number from its real and imaginary parts. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
replim	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))

Proof of Theorem replim

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 8168	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2		crre 11411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) = 𝑥)
3		crim 11412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) = 𝑦)
4	3	oveq2d 6029	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))) = (i · 𝑦))
5	2, 4	oveq12d 6031	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) + (i · (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦))))) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
6	5	eqcomd 2235	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) = ((ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) + (i · (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦))))))
7		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
8		fveq2 5635	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦))))
9		fveq2 5635	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦))))
10	9	oveq2d 6029	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (i · (ℑ‘𝐴)) = (i · (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))))
11	8, 10	oveq12d 6031	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) + (i · (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦))))))
12	7, 11	eqeq12d 2244	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) = ((ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) + (i · (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))))))
13	6, 12	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
14	13	rexlimivv 2654	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
15	1, 14	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℂcc 8023  ℝcr 8024  ici 8027   + caddc 8028   · cmul 8030  ℜcre 11394  ℑcim 11395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-2 9195  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398

This theorem is referenced by:  remim  11414  reim0b  11416  rereb  11417  mulreap  11418  cjreb  11420  reneg  11422  readd  11423  remullem  11425  imneg  11430  imadd  11431  cjcj  11437  imval2  11448  cnrecnv  11464  replimi  11468  replimd  11495  cnreim  11532  abs00ap  11616  recan  11663  efeul  12288  absef  12324  absefib  12325  efieq1re  12326