![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > replim | GIF version |
Description: Reconstruct a complex number from its real and imaginary parts. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
replim | โข (๐ด โ โ โ ๐ด = ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | cnre 7952 | . 2 โข (๐ด โ โ โ โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) | |
2 | crre 10865 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) = ๐ฅ) | |
3 | crim 10866 | . . . . . . 7 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) = ๐ฆ) | |
4 | 3 | oveq2d 5890 | . . . . . 6 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (i ยท (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))) = (i ยท ๐ฆ)) |
5 | 2, 4 | oveq12d 5892 | . . . . 5 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ ((โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) + (i ยท (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))))) = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) |
6 | 5 | eqcomd 2183 | . . . 4 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) = ((โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) + (i ยท (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))))) |
7 | id 19 | . . . . 5 โข (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) | |
8 | fveq2 5515 | . . . . . 6 โข (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ (โโ๐ด) = (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))) | |
9 | fveq2 5515 | . . . . . . 7 โข (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ (โโ๐ด) = (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))) | |
10 | 9 | oveq2d 5890 | . . . . . 6 โข (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ (i ยท (โโ๐ด)) = (i ยท (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))))) |
11 | 8, 10 | oveq12d 5892 | . . . . 5 โข (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด))) = ((โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) + (i ยท (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))))) |
12 | 7, 11 | eqeq12d 2192 | . . . 4 โข (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ (๐ด = ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด))) โ (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) = ((โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) + (i ยท (โโ(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))))))) |
13 | 6, 12 | syl5ibrcom 157 | . . 3 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ ๐ด = ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด))))) |
14 | 13 | rexlimivv 2600 | . 2 โข (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ ๐ด = ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด)))) |
15 | 1, 14 | syl 14 | 1 โข (๐ด โ โ โ ๐ด = ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด)))) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 = wceq 1353 โ wcel 2148 โwrex 2456 โcfv 5216 (class class class)co 5874 โcc 7808 โcr 7809 ici 7812 + caddc 7813 ยท cmul 7815 โcre 10848 โcim 10849 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4121 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-un 4433 ax-setind 4536 ax-cnex 7901 ax-resscn 7902 ax-1cn 7903 ax-1re 7904 ax-icn 7905 ax-addcl 7906 ax-addrcl 7907 ax-mulcl 7908 ax-mulrcl 7909 ax-addcom 7910 ax-mulcom 7911 ax-addass 7912 ax-mulass 7913 ax-distr 7914 ax-i2m1 7915 ax-0lt1 7916 ax-1rid 7917 ax-0id 7918 ax-rnegex 7919 ax-precex 7920 ax-cnre 7921 ax-pre-ltirr 7922 ax-pre-ltwlin 7923 ax-pre-lttrn 7924 ax-pre-apti 7925 ax-pre-ltadd 7926 ax-pre-mulgt0 7927 ax-pre-mulext 7928 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-br 4004 df-opab 4065 df-mpt 4066 df-id 4293 df-po 4296 df-iso 4297 df-xp 4632 df-rel 4633 df-cnv 4634 df-co 4635 df-dm 4636 df-rn 4637 df-res 4638 df-ima 4639 df-iota 5178 df-fun 5218 df-fn 5219 df-f 5220 df-fv 5224 df-riota 5830 df-ov 5877 df-oprab 5878 df-mpo 5879 df-pnf 7993 df-mnf 7994 df-xr 7995 df-ltxr 7996 df-le 7997 df-sub 8129 df-neg 8130 df-reap 8531 df-ap 8538 df-div 8629 df-2 8977 df-cj 10850 df-re 10851 df-im 10852 |
This theorem is referenced by: remim 10868 reim0b 10870 rereb 10871 mulreap 10872 cjreb 10874 reneg 10876 readd 10877 remullem 10879 imneg 10884 imadd 10885 cjcj 10891 imval2 10902 cnrecnv 10918 replimi 10922 replimd 10949 cnreim 10986 abs00ap 11070 recan 11117 efeul 11741 absef 11776 absefib 11777 efieq1re 11778 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |