Theorem replim 11607

Description: Reconstruct a complex number from its real and imaginary parts. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
replim	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))

Proof of Theorem replim

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 8316	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2		crre 11605	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) = 𝑥)
3		crim 11606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) = 𝑦)
4	3	oveq2d 6095	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))) = (i · 𝑦))
5	2, 4	oveq12d 6097	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) + (i · (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦))))) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
6	5	eqcomd 2244	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) = ((ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) + (i · (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦))))))
7		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
8		fveq2 5693	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦))))
9		fveq2 5693	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦))))
10	9	oveq2d 6095	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (i · (ℑ‘𝐴)) = (i · (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))))
11	8, 10	oveq12d 6097	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) + (i · (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦))))))
12	7, 11	eqeq12d 2253	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) = ((ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) + (i · (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))))))
13	6, 12	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
14	13	rexlimivv 2674	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
15	1, 14	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  ℝcr 8172  ici 8175   + caddc 8176   · cmul 8178  ℜcre 11588  ℑcim 11589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-2 9346  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592

This theorem is referenced by:  remim  11608  reim0b  11610  rereb  11611  mulreap  11612  cjreb  11614  reneg  11616  readd  11617  remullem  11619  imneg  11624  imadd  11625  cjcj  11631  imval2  11642  sq01  11643  cnrecnv  11659  replimi  11663  replimd  11690  cnreim  11727  abs00ap  11811  recan  11858  efeul  12484  absef  12520  absefib  12521  efieq1re  12522