Theorem elpqb 9608

Description: A class is a positive rational iff it is the quotient of two positive integers. (Contributed by AV, 30-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elpqb	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem elpqb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpq 9607	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2		nnz 9231	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
3		znq 9583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ)
4	2, 3	sylan 281	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ)
5		nnre 8885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
6		nngt0 8903	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 0 < 𝑥)
7	5, 6	jca 304	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
8		nnre 8885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
9		nngt0 8903	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 0 < 𝑦)
10	8, 9	jca 304	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦))
11		divgt0 8788	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦)) → 0 < (𝑥 / 𝑦))
12	7, 10, 11	syl2an 287	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 0 < (𝑥 / 𝑦))
13	4, 12	jca 304	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝑥 / 𝑦)))
14		eleq1 2233	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ∈ ℚ ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ))
15		breq2 3993	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝑥 / 𝑦)))
16	14, 15	anbi12d 470	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ↔ ((𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝑥 / 𝑦))))
17	13, 16	syl5ibrcom 156	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴)))
18	17	rexlimivv 2593	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴))
19	1, 18	impbii 125	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∃wrex 2449   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℝcr 7773  0cc0 7774   < clt 7954   / cdiv 8589  ℕcn 8878  ℤcz 9212  ℚcq 9578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-z 9213  df-q 9579

This theorem is referenced by: (None)