Theorem qreccl 9919

Description: Closure of reciprocal of rationals. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qreccl	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℚ)

Proof of Theorem qreccl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8168	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		1ap0 8813	. . . . . 6 ⊢ 1 # 0
3	1, 2	div0api 8969	. . . . 5 ⊢ (0 / 1) = 0
4		0z 9533	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn 9197	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		znq 9901	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (0 / 1) ∈ ℚ)
7	4, 5, 6	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (0 / 1) ∈ ℚ
8	3, 7	eqeltrri 2305	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℚ
9		qapne 9916	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝐴 # 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
10	8, 9	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 # 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
11	10	biimpar 297	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 # 0)
12		elq 9899	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13		nnne0 9214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
14	13	ancli 323	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≠ 0))
15		nnz 9541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
16		zapne 9597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑦 # 0 ↔ 𝑦 ≠ 0))
17	15, 4, 16	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 # 0 ↔ 𝑦 ≠ 0))
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 # 0 ↔ 𝑦 ≠ 0))
19	18	pm5.32i 454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0))
20	19	anbi1i 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ↔ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
21		breq1 4096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) # 0))
22		zcn 9527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
23		nncn 9194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
24	22, 23	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
25		divap0b 8906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0) → (𝑥 # 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) # 0))
26	25	3expa 1230	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 # 0) → (𝑥 # 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) # 0))
27	24, 26	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) → (𝑥 # 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) # 0))
28	27	bicomd 141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) → ((𝑥 / 𝑦) # 0 ↔ 𝑥 # 0))
29	21, 28	sylan9bbr 463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
30	20, 29	sylbir 135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
31		simplll 535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℤ)
32		zapne 9597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑥 # 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
33	31, 4, 32	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 # 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
34	30, 33	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 # 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
35		zmulcl 9576	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
36	15, 35	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
38		msqznn 9623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ)
39	38	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ)
40	37, 39	jca 306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ))
41	40	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ))
42	41	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ))
43	20	anbi1i 458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 # 0) ↔ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 # 0))
44	33	pm5.32i 454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 # 0) ↔ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 0))
45	43, 44	bitri 184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 # 0) ↔ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 0))
46		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (1 / 𝐴) = (1 / (𝑥 / 𝑦)))
47		dividap 8924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) → (𝑥 / 𝑥) = 1)
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 / 𝑥) = 1)
49	48	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → ((𝑥 / 𝑥) / (𝑥 / 𝑦)) = (1 / (𝑥 / 𝑦)))
50		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
51		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
52		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
53		divdivdivap 8936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0)) ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))) → ((𝑥 / 𝑥) / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
54	50, 51, 51, 52, 53	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → ((𝑥 / 𝑥) / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
55	49, 54	eqtr3d 2266	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (1 / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
56	55	an4s 592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 # 0 ∧ 𝑦 # 0)) → (1 / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
57	24, 56	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 # 0 ∧ 𝑦 # 0)) → (1 / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
58	57	anass1rs 573	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) ∧ 𝑥 # 0) → (1 / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
59	46, 58	sylan9eqr 2286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) ∧ 𝑥 # 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
60	59	an32s 570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
61	45, 60	sylbir 135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
62	42, 61	jca 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))))
63	62	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 ≠ 0 → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))))
64	34, 63	sylbid 150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 # 0 → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))))
65	64	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 0 → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))))))
66	65	anasss 399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 0 → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))))))
67	14, 66	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 0 → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))))))
68		rspceov 6071	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))) → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ (1 / 𝐴) = (𝑧 / 𝑤))
69	68	3expa 1230	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))) → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ (1 / 𝐴) = (𝑧 / 𝑤))
70		elq 9899	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ (1 / 𝐴) = (𝑧 / 𝑤))
71	69, 70	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))) → (1 / 𝐴) ∈ ℚ)
72	67, 71	syl8 71	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 0 → (1 / 𝐴) ∈ ℚ)))
73	72	rexlimivv 2657	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 0 → (1 / 𝐴) ∈ ℚ))
74	12, 73	sylbi 121	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 # 0 → (1 / 𝐴) ∈ ℚ))
75	74	imp 124	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℚ)
76	11, 75	syldan 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  ∃wrex 2512   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  0cc0 8075  1c1 8076   · cmul 8080   # cap 8804   / cdiv 8895  ℕcn 9186  ℤcz 9522  ℚcq 9896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-n0 9446  df-z 9523  df-q 9897

This theorem is referenced by:  qdivcl  9920  qexpclz  10866