Theorem recexap 8550

Description: Existence of reciprocal of nonzero complex number. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
recexap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem recexap

Dummy variables 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 7895	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)))
2		recexaplem2 8549	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑎 + (i · 𝑏)) # 0) → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0)
3	2	3expia 1195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) # 0 → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0))
4		remulcl 7881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑎) ∈ ℝ)
5	4	anidms 395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 · 𝑎) ∈ ℝ)
6		remulcl 7881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑏 · 𝑏) ∈ ℝ)
7	6	anidms 395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 · 𝑏) ∈ ℝ)
8		readdcl 7879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 · 𝑎) ∈ ℝ ∧ (𝑏 · 𝑏) ∈ ℝ) → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ∈ ℝ)
9	5, 7, 8	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ∈ ℝ)
10		0re 7899	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		apreap 8485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0 ↔ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) #ℝ 0))
12	9, 10, 11	sylancl 410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0 ↔ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) #ℝ 0))
13		recexre 8476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ∈ ℝ ∧ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) #ℝ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1)
14	9, 13	sylan 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) #ℝ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1)
15		recn 7886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
16		recn 7886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
17		recn 7886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
18		ax-icn 7848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ i ∈ ℂ
19		mulcl 7880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
20	18, 19	mpan 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
21		subcl 8097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑏) ∈ ℂ) → (𝑎 − (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
22	20, 21	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 − (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
23		mulcl 7880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 − (i · 𝑏)) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) ∈ ℂ)
24	22, 23	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) ∈ ℂ)
25	24	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1) → ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) ∈ ℂ)
26		addcl 7878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑏) ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
27	20, 26	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
28	27	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
29	22	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑎 − (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
30		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
31	28, 29, 30	mulassd 7922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) · 𝑦) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)))
32		recextlem1 8548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)))
33	32	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)))
34	33	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) · 𝑦) = (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦))
35	31, 34	eqtr3d 2200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)) = (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦))
36		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1)
37	35, 36	sylan9eq 2219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)) = 1)
38		oveq2 5850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)))
39	38	eqeq1d 2174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)) = 1))
40	39	rspcev 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1)
41	25, 37, 40	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1)
42	41	exp31 362	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ ℂ → ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1)))
43	17, 42	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ ℝ → ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1)))
44	43	rexlimdv 2582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (∃𝑦 ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
45	15, 16, 44	syl2an 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
46	45	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) #ℝ 0) → (∃𝑦 ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
47	14, 46	mpd 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) #ℝ 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1)
48	47	ex 114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) #ℝ 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
49	12, 48	sylbid 149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
50	3, 49	syld 45	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) # 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
51	50	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏))) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) # 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
52		breq1 3985	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝐴 # 0 ↔ (𝑎 + (i · 𝑏)) # 0))
53	52	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏))) → (𝐴 # 0 ↔ (𝑎 + (i · 𝑏)) # 0))
54		oveq1 5849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝐴 · 𝑥) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥))
55	54	eqeq1d 2174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
56	55	rexbidv 2467	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
57	56	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏))) → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
58	51, 53, 57	3imtr4d 202	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏))) → (𝐴 # 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1))
59	58	ex 114	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝐴 # 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1)))
60	59	rexlimivv 2589	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝐴 # 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1))
61	1, 60	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 # 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1))
62	61	imp 123	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∃wrex 2445   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  ℝcr 7752  0cc0 7753  1c1 7754  ici 7755   + caddc 7756   · cmul 7758   − cmin 8069   #_ℝ creap 8472   # cap 8479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480

This theorem is referenced by:  mulap0  8551  mulcanapd  8558  receuap  8566