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Theorem recexap 8426
Description: Existence of reciprocal of nonzero complex number. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
recexap ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem recexap
Dummy variables 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 7774 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)))
2 recexaplem2 8425 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑎 + (i · 𝑏)) # 0) → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0)
323expia 1183 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) # 0 → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0))
4 remulcl 7760 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑎) ∈ ℝ)
54anidms 394 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 · 𝑎) ∈ ℝ)
6 remulcl 7760 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑏 · 𝑏) ∈ ℝ)
76anidms 394 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 · 𝑏) ∈ ℝ)
8 readdcl 7758 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 · 𝑎) ∈ ℝ ∧ (𝑏 · 𝑏) ∈ ℝ) → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ∈ ℝ)
95, 7, 8syl2an 287 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ∈ ℝ)
10 0re 7778 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
11 apreap 8361 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0 ↔ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0))
129, 10, 11sylancl 409 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0 ↔ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0))
13 recexre 8352 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ∈ ℝ ∧ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1)
149, 13sylan 281 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1)
15 recn 7765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
16 recn 7765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
17 recn 7765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
18 ax-icn 7727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 i ∈ ℂ
19 mulcl 7759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
2018, 19mpan 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 ∈ ℂ → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
21 subcl 7973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑏) ∈ ℂ) → (𝑎 − (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
2220, 21sylan2 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 − (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
23 mulcl 7759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑎 − (i · 𝑏)) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) ∈ ℂ)
2422, 23sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) ∈ ℂ)
2524adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1) → ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) ∈ ℂ)
26 addcl 7757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑏) ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
2720, 26sylan2 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
2827adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
2922adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑎 − (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
30 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
3128, 29, 30mulassd 7801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) · 𝑦) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)))
32 recextlem1 8424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)))
3332adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)))
3433oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) · 𝑦) = (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦))
3531, 34eqtr3d 2174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)) = (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦))
36 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1)
3735, 36sylan9eq 2192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)) = 1)
38 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)))
3938eqeq1d 2148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)) = 1))
4039rspcev 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1)
4125, 37, 40syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1)
4241exp31 361 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ ℂ → ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1)))
4317, 42syl5 32 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ ℝ → ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1)))
4443rexlimdv 2548 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (∃𝑦 ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
4515, 16, 44syl2an 287 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
4645adantr 274 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0) → (∃𝑦 ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
4714, 46mpd 13 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1)
4847ex 114 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
4912, 48sylbid 149 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
503, 49syld 45 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) # 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
5150adantr 274 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏))) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) # 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
52 breq1 3932 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝐴 # 0 ↔ (𝑎 + (i · 𝑏)) # 0))
5352adantl 275 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏))) → (𝐴 # 0 ↔ (𝑎 + (i · 𝑏)) # 0))
54 oveq1 5781 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝐴 · 𝑥) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥))
5554eqeq1d 2148 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
5655rexbidv 2438 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
5756adantl 275 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏))) → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
5851, 53, 573imtr4d 202 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏))) → (𝐴 # 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1))
5958ex 114 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝐴 # 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1)))
6059rexlimivv 2555 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝐴 # 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1))
611, 60syl 14 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 # 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1))
6261imp 123 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  wrex 2417   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  cc 7630  cr 7631  0cc0 7632  1c1 7633  ici 7634   + caddc 7635   · cmul 7637  cmin 7945   # creap 8348   # cap 8355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356
This theorem is referenced by:  mulap0  8427  mulcanapd  8434  receuap  8442
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