Theorem recexap 8571

Description: Existence of reciprocal of nonzero complex number. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
recexap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem recexap

Dummy variables 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 7916	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)))
2		recexaplem2 8570	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑎 + (i · 𝑏)) # 0) → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0)
3	2	3expia 1200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) # 0 → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0))
4		remulcl 7902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑎) ∈ ℝ)
5	4	anidms 395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 · 𝑎) ∈ ℝ)
6		remulcl 7902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑏 · 𝑏) ∈ ℝ)
7	6	anidms 395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 · 𝑏) ∈ ℝ)
8		readdcl 7900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 · 𝑎) ∈ ℝ ∧ (𝑏 · 𝑏) ∈ ℝ) → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ∈ ℝ)
9	5, 7, 8	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ∈ ℝ)
10		0re 7920	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		apreap 8506	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0 ↔ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) #ℝ 0))
12	9, 10, 11	sylancl 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0 ↔ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) #ℝ 0))
13		recexre 8497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ∈ ℝ ∧ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) #ℝ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1)
14	9, 13	sylan 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) #ℝ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1)
15		recn 7907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
16		recn 7907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
17		recn 7907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
18		ax-icn 7869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ i ∈ ℂ
19		mulcl 7901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
20	18, 19	mpan 422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
21		subcl 8118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑏) ∈ ℂ) → (𝑎 − (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
22	20, 21	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 − (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
23		mulcl 7901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 − (i · 𝑏)) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) ∈ ℂ)
24	22, 23	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) ∈ ℂ)
25	24	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1) → ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) ∈ ℂ)
26		addcl 7899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑏) ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
27	20, 26	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
28	27	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
29	22	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑎 − (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
30		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
31	28, 29, 30	mulassd 7943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) · 𝑦) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)))
32		recextlem1 8569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)))
33	32	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)))
34	33	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) · 𝑦) = (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦))
35	31, 34	eqtr3d 2205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)) = (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦))
36		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1)
37	35, 36	sylan9eq 2223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)) = 1)
38		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)))
39	38	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)) = 1))
40	39	rspcev 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1)
41	25, 37, 40	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1)
42	41	exp31 362	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ ℂ → ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1)))
43	17, 42	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ ℝ → ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1)))
44	43	rexlimdv 2586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (∃𝑦 ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
45	15, 16, 44	syl2an 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
46	45	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) #ℝ 0) → (∃𝑦 ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
47	14, 46	mpd 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) #ℝ 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1)
48	47	ex 114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) #ℝ 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
49	12, 48	sylbid 149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) # 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
50	3, 49	syld 45	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) # 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
51	50	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏))) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) # 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
52		breq1 3992	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝐴 # 0 ↔ (𝑎 + (i · 𝑏)) # 0))
53	52	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏))) → (𝐴 # 0 ↔ (𝑎 + (i · 𝑏)) # 0))
54		oveq1 5860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝐴 · 𝑥) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥))
55	54	eqeq1d 2179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
56	55	rexbidv 2471	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
57	56	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏))) → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
58	51, 53, 57	3imtr4d 202	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏))) → (𝐴 # 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1))
59	58	ex 114	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝐴 # 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1)))
60	59	rexlimivv 2593	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝐴 # 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1))
61	1, 60	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 # 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1))
62	61	imp 123	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∃wrex 2449   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774  1c1 7775  ici 7776   + caddc 7777   · cmul 7779   − cmin 8090   #_ℝ creap 8493   # cap 8500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501

This theorem is referenced by:  mulap0  8572  mulcanapd  8579  receuap  8587