ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distrlem5pru GIF version

Theorem distrlem5pru 7599
Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
distrlem5pru ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (2nd โ€˜((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ))) โІ (2nd โ€˜(๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))

Proof of Theorem distrlem5pru
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘“ ๐‘” โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulclpr 7584 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) โˆˆ P)
213adant3 1018 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) โˆˆ P)
3 mulclpr 7584 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ถ) โˆˆ P)
433adant2 1017 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ถ) โˆˆ P)
5 df-iplp 7480 . . . . 5 +P = (๐‘ฅ โˆˆ P, ๐‘ฆ โˆˆ P โ†ฆ โŸจ{๐‘“ โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘” โˆˆ Q โˆƒโ„Ž โˆˆ Q (๐‘” โˆˆ (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆง โ„Ž โˆˆ (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘“ = (๐‘” +Q โ„Ž))}, {๐‘“ โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘” โˆˆ Q โˆƒโ„Ž โˆˆ Q (๐‘” โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆง โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘“ = (๐‘” +Q โ„Ž))}โŸฉ)
6 addclnq 7387 . . . . 5 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (๐‘” +Q โ„Ž) โˆˆ Q)
75, 6genpelvu 7525 . . . 4 (((๐ด ยทP ๐ต) โˆˆ P โˆง (๐ด ยทP ๐ถ) โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต))โˆƒ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ถ))๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข)))
82, 4, 7syl2anc 411 . . 3 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต))โˆƒ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ถ))๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข)))
9 df-imp 7481 . . . . . . . 8 ยทP = (๐‘ค โˆˆ P, ๐‘ฃ โˆˆ P โ†ฆ โŸจ{๐‘ฅ โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘” โˆˆ Q โˆƒโ„Ž โˆˆ Q (๐‘” โˆˆ (1st โ€˜๐‘ค) โˆง โ„Ž โˆˆ (1st โ€˜๐‘ฃ) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘” ยทQ โ„Ž))}, {๐‘ฅ โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘” โˆˆ Q โˆƒโ„Ž โˆˆ Q (๐‘” โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ค) โˆง โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ฃ) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘” ยทQ โ„Ž))}โŸฉ)
10 mulclnq 7388 . . . . . . . 8 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (๐‘” ยทQ โ„Ž) โˆˆ Q)
119, 10genpelvu 7525 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ถ)) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ถ)๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)))
12113adant2 1017 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ถ)) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ถ)๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)))
1312anbi2d 464 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฃ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ถ))) โ†” (๐‘ฃ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ถ)๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง))))
14 df-imp 7481 . . . . . . . . 9 ยทP = (๐‘ค โˆˆ P, ๐‘ฃ โˆˆ P โ†ฆ โŸจ{๐‘“ โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘” โˆˆ Q โˆƒโ„Ž โˆˆ Q (๐‘” โˆˆ (1st โ€˜๐‘ค) โˆง โ„Ž โˆˆ (1st โ€˜๐‘ฃ) โˆง ๐‘“ = (๐‘” ยทQ โ„Ž))}, {๐‘“ โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘” โˆˆ Q โˆƒโ„Ž โˆˆ Q (๐‘” โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ค) โˆง โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ฃ) โˆง ๐‘“ = (๐‘” ยทQ โ„Ž))}โŸฉ)
1514, 10genpelvu 7525 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ)))
16153adant3 1018 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ)))
17 distrlem4pru 7597 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ถ)))) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
18 oveq12 5897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) = ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)))
1918eqeq2d 2199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†” ๐‘ค = ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง))))
20 eleq1 2250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ค = ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))))
2119, 20biimtrdi 163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))))
2221imp 124 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆง ๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข)) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) +Q (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))))
2317, 22syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ถ)))) โ†’ (((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โˆง ๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))))
2423exp4b 367 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ถ))) โ†’ ((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))))))
2524com3l 81 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ถ))) โ†’ ((๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))))))
2625exp4b 367 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)) โ†’ ((๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ถ)) โ†’ (๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โ†’ ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))))))))
2726com23 78 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)) โ†’ (๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ถ)) โ†’ (๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โ†’ ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))))))))
2827rexlimivv 2610 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ถ)) โ†’ (๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โ†’ ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))))))
2928rexlimdvv 2611 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ถ)๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โ†’ ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))))))
3029com3r 79 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐ต)๐‘ฃ = (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ถ)๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))))))
3116, 30sylbid 150 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ถ)๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))))))
3231impd 254 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฃ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐ถ)๐‘ข = (๐‘“ ยทQ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))))
3313, 32sylbid 150 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฃ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ถ))) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))))
3433rexlimdvv 2611 . . 3 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต))โˆƒ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ถ))๐‘ค = (๐‘ฃ +Q ๐‘ข) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))))
358, 34sylbid 150 . 2 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ)))))
3635ssrdv 3173 1 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ P) โ†’ (2nd โ€˜((๐ด ยทP ๐ต) +P (๐ด ยทP ๐ถ))) โІ (2nd โ€˜(๐ด ยทP (๐ต +P ๐ถ))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  โˆƒwrex 2466   โІ wss 3141  โ€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  2nd c2nd 6153   +Q cplq 7294   ยทQ cmq 7295  Pcnp 7303   +P cpp 7305   ยทP cmp 7306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-1o 6430  df-2o 6431  df-oadd 6434  df-omul 6435  df-er 6548  df-ec 6550  df-qs 6554  df-ni 7316  df-pli 7317  df-mi 7318  df-lti 7319  df-plpq 7356  df-mpq 7357  df-enq 7359  df-nqqs 7360  df-plqqs 7361  df-mqqs 7362  df-1nqqs 7363  df-rq 7364  df-ltnqqs 7365  df-enq0 7436  df-nq0 7437  df-0nq0 7438  df-plq0 7439  df-mq0 7440  df-inp 7478  df-iplp 7480  df-imp 7481
This theorem is referenced by:  distrprg  7600
  Copyright terms: Public domain W3C validator