ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  4sqlem2 GIF version

Theorem 4sqlem2 12352
Description: Lemma for 4sq (not yet proved here) . Change bound variables in 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
Assertion
Ref Expression
4sqlem2 (𝐴𝑆 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑛   𝑆,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 4sqlem2
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . 3 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
21eleq2i 2242 . 2 (𝐴𝑆𝐴 ∈ {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))})
3 zsqcl2 10565 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎↑2) ∈ ℕ0)
43ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝑎↑2) ∈ ℕ0)
5 zsqcl2 10565 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏↑2) ∈ ℕ0)
65ad2antlr 489 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝑏↑2) ∈ ℕ0)
74, 6nn0addcld 9204 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) ∈ ℕ0)
8 zsqcl2 10565 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ ℤ → (𝑐↑2) ∈ ℕ0)
98ad2antrl 490 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝑐↑2) ∈ ℕ0)
10 zsqcl2 10565 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ ℤ → (𝑑↑2) ∈ ℕ0)
1110ad2antll 491 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝑑↑2) ∈ ℕ0)
129, 11nn0addcld 9204 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) ∈ ℕ0)
137, 12nn0addcld 9204 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) ∈ ℕ0)
14 eleq1 2238 . . . . . . 7 (𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) ∈ ℕ0))
1513, 14syl5ibrcom 157 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → 𝐴 ∈ ℕ0))
16 elex 2746 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ V)
1715, 16syl6 33 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → 𝐴 ∈ V))
1817rexlimdvva 2600 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → 𝐴 ∈ V))
1918rexlimivv 2598 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → 𝐴 ∈ V)
20 oveq1 5872 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥↑2) = (𝑎↑2))
2120oveq1d 5880 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑦↑2)))
2221oveq1d 5880 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑎 → (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))) = (((𝑎↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))))
2322eqeq2d 2187 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑎 → (𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))) ↔ 𝑛 = (((𝑎↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))))
24232rexbidv 2500 . . . . 5 (𝑥 = 𝑎 → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑎↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))))
25 oveq1 5872 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑏 → (𝑦↑2) = (𝑏↑2))
2625oveq2d 5881 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑏 → ((𝑎↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
2726oveq1d 5880 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑏 → (((𝑎↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))))
2827eqeq2d 2187 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑏 → (𝑛 = (((𝑎↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))) ↔ 𝑛 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))))
29282rexbidv 2500 . . . . 5 (𝑦 = 𝑏 → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑎↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))))
3024, 29cbvrex2vw 2713 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))))
31 oveq1 5872 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑐 → (𝑧↑2) = (𝑐↑2))
3231oveq1d 5880 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑐 → ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)) = ((𝑐↑2) + (𝑤↑2)))
3332oveq2d 5881 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑐 → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑤↑2))))
3433eqeq2d 2187 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑐 → (𝑛 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))) ↔ 𝑛 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑤↑2)))))
35 oveq1 5872 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑑 → (𝑤↑2) = (𝑑↑2))
3635oveq2d 5881 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑑 → ((𝑐↑2) + (𝑤↑2)) = ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))
3736oveq2d 5881 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑑 → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑤↑2))) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
3837eqeq2d 2187 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑑 → (𝑛 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑤↑2))) ↔ 𝑛 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))))
3934, 38cbvrex2vw 2713 . . . . . 6 (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
40 eqeq1 2182 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝐴 → (𝑛 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) ↔ 𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))))
41402rexbidv 2500 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐴 → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))))
4239, 41bitrid 192 . . . . 5 (𝑛 = 𝐴 → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))))
43422rexbidv 2500 . . . 4 (𝑛 = 𝐴 → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))))
4430, 43bitrid 192 . . 3 (𝑛 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2))) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))))
4519, 44elab3 2887 . 2 (𝐴 ∈ {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))} ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
462, 45bitri 184 1 (𝐴𝑆 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2146  {cab 2161  wrex 2454  Vcvv 2735  (class class class)co 5865   + caddc 7789  2c2 8941  0cn0 9147  cz 9224  cexp 10487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-seqfrec 10414  df-exp 10488
This theorem is referenced by:  4sqlem3  12353  4sqlem4  12355
  Copyright terms: Public domain W3C validator