ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qmulcl GIF version

Theorem qmulcl 9017
Description: Closure of multiplication of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qmulcl ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)

Proof of Theorem qmulcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 9002 . 2 (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2 elq 9002 . 2 (𝐵 ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
3 zmulcl 8699 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ)
4 nnmulcl 8337 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ)
53, 4anim12i 331 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ))
65an4s 553 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ))
76adantr 270 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → ((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ))
8 oveq12 5600 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝐴 · 𝐵) = ((𝑥 / 𝑦) · (𝑧 / 𝑤)))
9 zcn 8651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
10 zcn 8651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
119, 10anim12i 331 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
1211ad2ant2r 493 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
13 nncn 8324 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
14 nnap0 8345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 # 0)
1513, 14jca 300 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
16 nncn 8324 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℂ)
17 nnap0 8345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 # 0)
1816, 17jca 300 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))
1915, 18anim12i 331 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)))
2019ad2ant2l 492 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)))
21 divmuldivap 8077 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))) → ((𝑥 / 𝑦) · (𝑧 / 𝑤)) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤)))
2212, 20, 21syl2anc 403 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑦) · (𝑧 / 𝑤)) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤)))
238, 22sylan9eqr 2137 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝐴 · 𝐵) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤)))
24 rspceov 5626 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤))) → ∃𝑣 ∈ ℤ ∃𝑢 ∈ ℕ (𝐴 · 𝐵) = (𝑣 / 𝑢))
25243expa 1139 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤))) → ∃𝑣 ∈ ℤ ∃𝑢 ∈ ℕ (𝐴 · 𝐵) = (𝑣 / 𝑢))
26 elq 9002 . . . . . . . . 9 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ ↔ ∃𝑣 ∈ ℤ ∃𝑢 ∈ ℕ (𝐴 · 𝐵) = (𝑣 / 𝑢))
2725, 26sylibr 132 . . . . . . . 8 ((((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
287, 23, 27syl2anc 403 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
2928an4s 553 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
3029exp43 364 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))))
3130rexlimivv 2488 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)))
3231rexlimdvv 2489 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
3332imp 122 . 2 ((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
341, 2, 33syl2anb 285 1 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  wrex 2354   class class class wbr 3811  (class class class)co 5591  cc 7251  0cc0 7253   · cmul 7258   # cap 7958   / cdiv 8037  cn 8316  cz 8646  cq 8999
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365  ax-pre-mulext 7366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959  df-div 8038  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647  df-q 9000
This theorem is referenced by:  qdivcl  9023  flqmulnn0  9595  modqcl  9622  mulqmod0  9626  modqmulnn  9638  modqcyc  9655  mulp1mod1  9661  modqmul1  9673  q2txmodxeq0  9680  modqaddmulmod  9687  modqdi  9688  modqsubdir  9689  qexpcl  9808  qexpclz  9813  qsqcl  9863  dvdslelemd  10624  crth  10980
  Copyright terms: Public domain W3C validator