ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qmulcl GIF version

Theorem qmulcl 9583
Description: Closure of multiplication of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qmulcl ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)

Proof of Theorem qmulcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 9568 . 2 (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2 elq 9568 . 2 (𝐵 ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
3 zmulcl 9252 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ)
4 nnmulcl 8886 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ)
53, 4anim12i 336 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ))
65an4s 583 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ))
76adantr 274 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → ((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ))
8 oveq12 5859 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝐴 · 𝐵) = ((𝑥 / 𝑦) · (𝑧 / 𝑤)))
9 zcn 9204 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
10 zcn 9204 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
119, 10anim12i 336 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
1211ad2ant2r 506 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
13 nncn 8873 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
14 nnap0 8894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 # 0)
1513, 14jca 304 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
16 nncn 8873 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℂ)
17 nnap0 8894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 # 0)
1816, 17jca 304 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))
1915, 18anim12i 336 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)))
2019ad2ant2l 505 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)))
21 divmuldivap 8616 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))) → ((𝑥 / 𝑦) · (𝑧 / 𝑤)) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤)))
2212, 20, 21syl2anc 409 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑦) · (𝑧 / 𝑤)) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤)))
238, 22sylan9eqr 2225 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝐴 · 𝐵) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤)))
24 rspceov 5892 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤))) → ∃𝑣 ∈ ℤ ∃𝑢 ∈ ℕ (𝐴 · 𝐵) = (𝑣 / 𝑢))
25243expa 1198 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤))) → ∃𝑣 ∈ ℤ ∃𝑢 ∈ ℕ (𝐴 · 𝐵) = (𝑣 / 𝑢))
26 elq 9568 . . . . . . . . 9 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ ↔ ∃𝑣 ∈ ℤ ∃𝑢 ∈ ℕ (𝐴 · 𝐵) = (𝑣 / 𝑢))
2725, 26sylibr 133 . . . . . . . 8 ((((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ) ∧ (𝐴 · 𝐵) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
287, 23, 27syl2anc 409 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
2928an4s 583 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
3029exp43 370 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))))
3130rexlimivv 2593 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)))
3231rexlimdvv 2594 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
3332imp 123 . 2 ((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
341, 2, 33syl2anb 289 1 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1348  wcel 2141  wrex 2449   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850  cc 7759  0cc0 7761   · cmul 7766   # cap 8487   / cdiv 8576  cn 8865  cz 9199  cq 9565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-q 9566
This theorem is referenced by:  qdivcl  9589  flqmulnn0  10242  modqcl  10269  mulqmod0  10273  modqmulnn  10285  modqcyc  10302  mulp1mod1  10308  modqmul1  10320  q2txmodxeq0  10327  modqaddmulmod  10334  modqdi  10335  modqsubdir  10336  qexpcl  10479  qexpclz  10484  qsqcl  10534  dvdslelemd  11790  crth  12165  pcaddlem  12279  apdifflemr  14001  apdiff  14002
  Copyright terms: Public domain W3C validator