ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qmulcl GIF version

Theorem qmulcl 9640
Description: Closure of multiplication of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qmulcl ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„š)

Proof of Theorem qmulcl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 9625 . 2 (๐ด โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
2 elq 9625 . 2 (๐ต โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))
3 zmulcl 9309 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
4 nnmulcl 8943 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„•)
53, 4anim12i 338 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„•))
65an4s 588 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„•))
76adantr 276 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„•))
8 oveq12 5887 . . . . . . . . 9 ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค)))
9 zcn 9261 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
10 zcn 9261 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
119, 10anim12i 338 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚))
1211ad2ant2r 509 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚))
13 nncn 8930 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
14 nnap0 8951 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ # 0)
1513, 14jca 306 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ # 0))
16 nncn 8930 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ค โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‚)
17 nnap0 8951 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ค โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ค # 0)
1816, 17jca 306 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ค โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ค # 0))
1915, 18anim12i 338 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ # 0) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ค # 0)))
2019ad2ant2l 508 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ # 0) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ค # 0)))
21 divmuldivap 8672 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ # 0) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ค # 0))) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค)))
2212, 20, 21syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค)))
238, 22sylan9eqr 2232 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค)))
24 rspceov 5920 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„• โˆง (๐ด ยท ๐ต) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„• (๐ด ยท ๐ต) = (๐‘ฃ / ๐‘ข))
25243expa 1203 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด ยท ๐ต) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„• (๐ด ยท ๐ต) = (๐‘ฃ / ๐‘ข))
26 elq 9625 . . . . . . . . 9 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„• (๐ด ยท ๐ต) = (๐‘ฃ / ๐‘ข))
2725, 26sylibr 134 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด ยท ๐ต) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„š)
287, 23, 27syl2anc 411 . . . . . . 7 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„š)
2928an4s 588 . . . . . 6 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„š)
3029exp43 372 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„š))))
3130rexlimivv 2600 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„š)))
3231rexlimdvv 2601 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„š))
3332imp 124 . 2 ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„š)
341, 2, 33syl2anb 291 1 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„š)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  โ„‚cc 7812  0cc0 7814   ยท cmul 7819   # cap 8541   / cdiv 8632  โ„•cn 8922  โ„คcz 9256  โ„šcq 9622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-q 9623
This theorem is referenced by:  qdivcl  9646  flqmulnn0  10302  modqcl  10329  mulqmod0  10333  modqmulnn  10345  modqcyc  10362  mulp1mod1  10368  modqmul1  10380  q2txmodxeq0  10387  modqaddmulmod  10394  modqdi  10395  modqsubdir  10396  qexpcl  10539  qexpclz  10544  qsqcl  10595  dvdslelemd  11852  crth  12227  pcaddlem  12341  apdifflemr  14957  apdiff  14958
  Copyright terms: Public domain W3C validator