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Theorem omeo 11608
Description: The difference of an odd and an even is odd. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
omeo (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ¬ 2 ∥ (𝐴𝐵))

Proof of Theorem omeo
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odd2np1 11583 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴))
2 2z 9096 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
3 divides 11508 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵))
42, 3mpan 420 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵))
51, 4bi2anan9 595 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵)))
6 reeanv 2600 . . . . . 6 (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵))
7 zsubcl 9109 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎𝑏) ∈ ℤ)
8 zcn 9073 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
9 zcn 9073 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
10 2cn 8805 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
11 subdi 8161 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎𝑏)) = ((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)))
1210, 11mp3an1 1302 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎𝑏)) = ((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)))
1312oveq1d 5789 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑎𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)) + 1))
14 mulcl 7761 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
1510, 14mpan 420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ℂ → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
16 mulcl 7761 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
1710, 16mpan 420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℂ → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
18 ax-1cn 7727 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
19 addsub 7987 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)) + 1))
2018, 19mp3an2 1303 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)) + 1))
2115, 17, 20syl2an 287 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)) + 1))
22 mulcom 7763 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · 𝑏) = (𝑏 · 2))
2310, 22mpan 420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℂ → (2 · 𝑏) = (𝑏 · 2))
2423oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℂ → (((2 · 𝑎) + 1) − (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
2524adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
2613, 21, 253eqtr2d 2178 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑎𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
278, 9, 26syl2an 287 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((2 · (𝑎𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
28 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (2 · 𝑐) = (2 · (𝑎𝑏)))
2928oveq1d 5789 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = (𝑎𝑏) → ((2 · 𝑐) + 1) = ((2 · (𝑎𝑏)) + 1))
3029eqeq1d 2148 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)) ↔ ((2 · (𝑎𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2))))
3130rspcev 2789 . . . . . . . . 9 (((𝑎𝑏) ∈ ℤ ∧ ((2 · (𝑎𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2))) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
327, 27, 31syl2anc 408 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
33 oveq12 5783 . . . . . . . . . 10 ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)) = (𝐴𝐵))
3433eqeq2d 2151 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → (((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)) ↔ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵)))
3534rexbidv 2438 . . . . . . . 8 ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → (∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵)))
3632, 35syl5ibcom 154 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵)))
3736rexlimivv 2555 . . . . . 6 (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵))
386, 37sylbir 134 . . . . 5 ((∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵))
395, 38syl6bi 162 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵)))
4039imp 123 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵))
4140an4s 577 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵))
42 zsubcl 9109 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
4342ad2ant2r 500 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
44 odd2np1 11583 . . 3 ((𝐴𝐵) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝐴𝐵) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵)))
4543, 44syl 14 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → (¬ 2 ∥ (𝐴𝐵) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵)))
4641, 45mpbird 166 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ¬ 2 ∥ (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  wrex 2417   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  cc 7632  1c1 7635   + caddc 7637   · cmul 7639  cmin 7947  2c2 8785  cz 9068  cdvds 11506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-mulrcl 7733  ax-addcom 7734  ax-mulcom 7735  ax-addass 7736  ax-mulass 7737  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-1rid 7741  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-precex 7744  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-apti 7749  ax-pre-ltadd 7750  ax-pre-mulgt0 7751  ax-pre-mulext 7752
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-xor 1354  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-reap 8351  df-ap 8358  df-div 8447  df-inn 8735  df-2 8793  df-n0 8992  df-z 9069  df-dvds 11507
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