Theorem omeo 11857

Description: The difference of an odd and an even is odd. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
omeo	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ¬ 2 ∥ (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem omeo

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 11832	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴))
2		2z 9240	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		divides 11751	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵))
4	2, 3	mpan 422	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵))
5	1, 4	bi2anan9 601	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵)))
6		reeanv 2639	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵))
7		zsubcl 9253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 − 𝑏) ∈ ℤ)
8		zcn 9217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
9		zcn 9217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
10		2cn 8949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
11		subdi 8304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎 − 𝑏)) = ((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)))
12	10, 11	mp3an1 1319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎 − 𝑏)) = ((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)))
13	12	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑎 − 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)) + 1))
14		mulcl 7901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
15	10, 14	mpan 422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
16		mulcl 7901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
17	10, 16	mpan 422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
18		ax-1cn 7867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
19		addsub 8130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)) + 1))
20	18, 19	mp3an2 1320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)) + 1))
21	15, 17, 20	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)) + 1))
22		mulcom 7903	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · 𝑏) = (𝑏 · 2))
23	10, 22	mpan 422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (2 · 𝑏) = (𝑏 · 2))
24	23	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (((2 · 𝑎) + 1) − (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
25	24	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
26	13, 21, 25	3eqtr2d 2209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑎 − 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
27	8, 9, 26	syl2an 287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((2 · (𝑎 − 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
28		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = (𝑎 − 𝑏) → (2 · 𝑐) = (2 · (𝑎 − 𝑏)))
29	28	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = (𝑎 − 𝑏) → ((2 · 𝑐) + 1) = ((2 · (𝑎 − 𝑏)) + 1))
30	29	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = (𝑎 − 𝑏) → (((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)) ↔ ((2 · (𝑎 − 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2))))
31	30	rspcev 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((2 · (𝑎 − 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2))) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
32	7, 27, 31	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
33		oveq12 5862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)) = (𝐴 − 𝐵))
34	33	eqeq2d 2182	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → (((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)) ↔ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 − 𝐵)))
35	34	rexbidv 2471	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → (∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 − 𝐵)))
36	32, 35	syl5ibcom 154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 − 𝐵)))
37	36	rexlimivv 2593	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 − 𝐵))
38	6, 37	sylbir 134	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 − 𝐵))
39	5, 38	syl6bi 162	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 − 𝐵)))
40	39	imp 123	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 − 𝐵))
41	40	an4s 583	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 − 𝐵))
42		zsubcl 9253	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
43	42	ad2ant2r 506	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
44		odd2np1 11832	. . 3 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 − 𝐵)))
45	43, 44	syl 14	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → (¬ 2 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 − 𝐵)))
46	41, 45	mpbird 166	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ¬ 2 ∥ (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∃wrex 2449   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779   − cmin 8090  2c2 8929  ℤcz 9212   ∥ cdvds 11749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-xor 1371  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-dvds 11750

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