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Theorem omeo 11920
Description: The difference of an odd and an even is odd. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
omeo (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ¬ 2 ∥ (𝐴𝐵))

Proof of Theorem omeo
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odd2np1 11895 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴))
2 2z 9298 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
3 divides 11813 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵))
42, 3mpan 424 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵))
51, 4bi2anan9 606 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵)))
6 reeanv 2659 . . . . . 6 (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵))
7 zsubcl 9311 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎𝑏) ∈ ℤ)
8 zcn 9275 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
9 zcn 9275 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
10 2cn 9007 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
11 subdi 8359 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎𝑏)) = ((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)))
1210, 11mp3an1 1334 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎𝑏)) = ((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)))
1312oveq1d 5905 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑎𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)) + 1))
14 mulcl 7955 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
1510, 14mpan 424 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ℂ → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
16 mulcl 7955 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
1710, 16mpan 424 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℂ → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
18 ax-1cn 7921 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
19 addsub 8185 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)) + 1))
2018, 19mp3an2 1335 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)) + 1))
2115, 17, 20syl2an 289 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)) + 1))
22 mulcom 7957 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · 𝑏) = (𝑏 · 2))
2310, 22mpan 424 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℂ → (2 · 𝑏) = (𝑏 · 2))
2423oveq2d 5906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℂ → (((2 · 𝑎) + 1) − (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
2524adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
2613, 21, 253eqtr2d 2227 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑎𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
278, 9, 26syl2an 289 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((2 · (𝑎𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
28 oveq2 5898 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (2 · 𝑐) = (2 · (𝑎𝑏)))
2928oveq1d 5905 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = (𝑎𝑏) → ((2 · 𝑐) + 1) = ((2 · (𝑎𝑏)) + 1))
3029eqeq1d 2197 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)) ↔ ((2 · (𝑎𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2))))
3130rspcev 2855 . . . . . . . . 9 (((𝑎𝑏) ∈ ℤ ∧ ((2 · (𝑎𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2))) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
327, 27, 31syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
33 oveq12 5899 . . . . . . . . . 10 ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)) = (𝐴𝐵))
3433eqeq2d 2200 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → (((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)) ↔ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵)))
3534rexbidv 2490 . . . . . . . 8 ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → (∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵)))
3632, 35syl5ibcom 155 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵)))
3736rexlimivv 2612 . . . . . 6 (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵))
386, 37sylbir 135 . . . . 5 ((∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵))
395, 38biimtrdi 163 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵)))
4039imp 124 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵))
4140an4s 588 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵))
42 zsubcl 9311 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
4342ad2ant2r 509 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
44 odd2np1 11895 . . 3 ((𝐴𝐵) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝐴𝐵) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵)))
4543, 44syl 14 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → (¬ 2 ∥ (𝐴𝐵) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵)))
4641, 45mpbird 167 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ¬ 2 ∥ (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1363  wcel 2159  wrex 2468   class class class wbr 4017  (class class class)co 5890  cc 7826  1c1 7829   + caddc 7831   · cmul 7833  cmin 8145  2c2 8987  cz 9270  cdvds 11811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-mulrcl 7927  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-precex 7938  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944  ax-pre-mulgt0 7945  ax-pre-mulext 7946
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-xor 1386  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-br 4018  df-opab 4079  df-id 4307  df-po 4310  df-iso 4311  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-reap 8549  df-ap 8556  df-div 8647  df-inn 8937  df-2 8995  df-n0 9194  df-z 9271  df-dvds 11812
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