Theorem rnss 5010

Description: Subset theorem for range. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
rnss	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)

Proof of Theorem rnss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvss 4951	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ◡𝐴 ⊆ ◡𝐵)
2		dmss 4978	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ⊆ ◡𝐵 → dom ◡𝐴 ⊆ dom ◡𝐵)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → dom ◡𝐴 ⊆ dom ◡𝐵)
4		df-rn 4783	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
5		df-rn 4783	. 2 ⊢ ran 𝐵 = dom ◡𝐵
6	3, 4, 5	3sstr4g 3291	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3220  ^◡ccnv 4771  dom cdm 4772  ran crn 4773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-br 4129  df-opab 4191  df-cnv 4780  df-dm 4782  df-rn 4783

This theorem is referenced by:  imass1  5160  imass2  5161  rnxpss2  5219  ssxpbm  5221  ssxp2  5223  ssrnres  5228  funssxp  5555  fssres  5563  dff2  5846  fliftf  5999  1stcof  6391  2ndcof  6392  smores  6557  tfrcllembfn  6622  caserel  7421  frecuzrdgtcl  10832  prdsvallem  13604  prdsval  14156  lmss  15330  txss12  15350  txbasval  15351  subgrprop3  16486