Theorem rnss 4957

Description: Subset theorem for range. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
rnss	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)

Proof of Theorem rnss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvss 4898	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ◡𝐴 ⊆ ◡𝐵)
2		dmss 4925	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ⊆ ◡𝐵 → dom ◡𝐴 ⊆ dom ◡𝐵)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → dom ◡𝐴 ⊆ dom ◡𝐵)
4		df-rn 4731	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
5		df-rn 4731	. 2 ⊢ ran 𝐵 = dom ◡𝐵
6	3, 4, 5	3sstr4g 3267	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3197  ^◡ccnv 4719  dom cdm 4720  ran crn 4721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-cnv 4728  df-dm 4730  df-rn 4731

This theorem is referenced by:  imass1  5106  imass2  5107  rnxpss2  5165  ssxpbm  5167  ssxp2  5169  ssrnres  5174  funssxp  5498  fssres  5506  dff2  5784  fliftf  5932  1stcof  6318  2ndcof  6319  smores  6449  tfrcllembfn  6514  caserel  7270  frecuzrdgtcl  10651  prdsvallem  13326  prdsval  13327  lmss  14941  txss12  14961  txbasval  14962