Theorem rneqd 4991

Description: Equality deduction for range. (Contributed by NM, 4-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
rneqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rneqd	⊢ (𝜑 → ran 𝐴 = ran 𝐵)

Proof of Theorem rneqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rneqd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		rneq 4989	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ran 𝐴 = ran 𝐵)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 = ran 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398  ran crn 4755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-opab 4177  df-cnv 4762  df-dm 4764  df-rn 4765

This theorem is referenced by:  resima2  5077  imaeq1  5101  imaeq2  5102  mptimass  5119  resiima  5125  elxp4  5255  elxp5  5256  funimacnv  5437  funimaexg  5445  fnima  5482  fnrnfv  5728  2ndvalg  6350  fo2nd  6365  f2ndres  6367  en1  7052  xpassen  7094  xpdom2  7095  sbthlemi4  7243  djudom  7397  exmidfodomrlemim  7517  seqeq1  10836  seqeq2  10837  seqeq3  10838  seq3val  10846  seqvalcd  10847  s1rn  11331  ennnfonelemex  13249  ennnfonelemf1  13253  restval  13542  restid2  13545  imasival  13570  conjsubg  14030  prdsex  14114  prdsval  14115  rnrhmsubrg  14498  tgrest  15160  txvalex  15245  txval  15246  mopnval  15433  edgvalg  16180  edgopval  16183  edgstruct  16185  uhgr2edg  16327  usgr1e  16362  1loopgredg  16425