Theorem rneqd 4986

Description: Equality deduction for range. (Contributed by NM, 4-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
rneqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rneqd	⊢ (𝜑 → ran 𝐴 = ran 𝐵)

Proof of Theorem rneqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rneqd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		rneq 4984	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ran 𝐴 = ran 𝐵)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 = ran 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398  ran crn 4750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-cnv 4757  df-dm 4759  df-rn 4760

This theorem is referenced by:  resima2  5072  imaeq1  5096  imaeq2  5097  mptimass  5114  resiima  5120  elxp4  5250  elxp5  5251  funimacnv  5432  funimaexg  5440  fnima  5477  fnrnfv  5723  2ndvalg  6337  fo2nd  6352  f2ndres  6354  en1  7039  xpassen  7081  xpdom2  7082  sbthlemi4  7230  djudom  7384  exmidfodomrlemim  7504  seqeq1  10812  seqeq2  10813  seqeq3  10814  seq3val  10822  seqvalcd  10823  s1rn  11306  ennnfonelemex  13165  ennnfonelemf1  13169  restval  13458  restid2  13461  prdsex  13482  prdsval  13486  imasival  13519  conjsubg  13994  rnrhmsubrg  14397  tgrest  15034  txvalex  15119  txval  15120  mopnval  15307  edgvalg  16054  edgopval  16057  edgstruct  16059  uhgr2edg  16201  usgr1e  16236  1loopgredg  16299