Theorem rneqd 5006

Description: Equality deduction for range. (Contributed by NM, 4-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
rneqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rneqd	⊢ (𝜑 → ran 𝐴 = ran 𝐵)

Proof of Theorem rneqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rneqd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		rneq 5004	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ran 𝐴 = ran 𝐵)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 = ran 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402  ran crn 4770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-opab 4188  df-cnv 4777  df-dm 4779  df-rn 4780

This theorem is referenced by:  resima2  5092  imaeq1  5116  imaeq2  5117  mptimass  5134  resiima  5140  elxp4  5270  elxp5  5271  funimacnv  5452  funimaexg  5460  fnima  5497  fnrnfv  5743  2ndvalg  6367  fo2nd  6382  f2ndres  6384  en1  7076  xpassen  7118  xpdom2  7119  sbthlemi4  7267  djudom  7423  exmidfodomrlemim  7543  seqeq1  10865  seqeq2  10866  seqeq3  10867  seq3val  10875  seqvalcd  10876  hashf1lem1  11263  s1rn  11364  ennnfonelemex  13283  ennnfonelemf1  13287  restval  13576  restid2  13579  imasival  13604  conjsubg  14057  prdsex  14149  prdsval  14150  rnrhmsubrg  14533  tgrest  15193  txvalex  15278  txval  15279  mopnval  15466  edgvalg  16214  edgopval  16217  edgstruct  16219  uhgr2edg  16361  usgr1e  16396  1loopgredg  16459