Theorem rneqd 5013

Description: Equality deduction for range. (Contributed by NM, 4-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
rneqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rneqd	⊢ (𝜑 → ran 𝐴 = ran 𝐵)

Proof of Theorem rneqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rneqd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		rneq 5011	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ran 𝐴 = ran 𝐵)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 = ran 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  ran crn 4777

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-opab 4194  df-cnv 4784  df-dm 4786  df-rn 4787

This theorem is used by:  resima2  5099  imaeq1  5124  imaeq2  5125  mptimass  5142  resiima  5148  elxp4  5278  elxp5  5279  funimacnv  5460  funimaexg  5468  fnima  5505  fnrnfv  5752  2ndvalg  6381  fo2nd  6396  f2ndres  6398  en1  7092  xpassen  7134  xpdom2  7135  sbthlemi4  7284  djudom  7439  exmidfodomrlemim  7559  seqeq1  10907  seqeq2  10908  seqeq3  10909  seq3val  10917  seqvalcd  10918  hashf1lem1  11306  s1rn  11407  ennnfonelemex  13362  ennnfonelemf1  13366  restval  13657  restid2  13660  imasival  13685  conjsubg  14138  prdsex  14278  prdsval  14279  rnrhmsubrg  14668  tgrest  15412  txvalex  15497  txval  15498  mopnval  15685  edgvalg  16522  edgopval  16525  edgstruct  16527  uhgr2edg  16669  usgr1e  16704  1loopgredg  16767