Theorem rneqd 5011

Description: Equality deduction for range. (Contributed by NM, 4-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
rneqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rneqd	⊢ (𝜑 → ran 𝐴 = ran 𝐵)

Proof of Theorem rneqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rneqd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		rneq 5009	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ran 𝐴 = ran 𝐵)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 = ran 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  ran crn 4775

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-cnv 4782  df-dm 4784  df-rn 4785

This theorem is used by:  resima2  5097  imaeq1  5121  imaeq2  5122  mptimass  5139  resiima  5145  elxp4  5275  elxp5  5276  funimacnv  5457  funimaexg  5465  fnima  5502  fnrnfv  5749  2ndvalg  6377  fo2nd  6392  f2ndres  6394  en1  7086  xpassen  7128  xpdom2  7129  sbthlemi4  7277  djudom  7433  exmidfodomrlemim  7553  seqeq1  10887  seqeq2  10888  seqeq3  10889  seq3val  10897  seqvalcd  10898  hashf1lem1  11285  s1rn  11386  ennnfonelemex  13305  ennnfonelemf1  13309  restval  13599  restid2  13602  imasival  13627  conjsubg  14080  prdsex  14172  prdsval  14173  rnrhmsubrg  14560  tgrest  15270  txvalex  15355  txval  15356  mopnval  15543  edgvalg  16300  edgopval  16303  edgstruct  16305  uhgr2edg  16447  usgr1e  16482  1loopgredg  16545