Theorem rneqd 4959

Description: Equality deduction for range. (Contributed by NM, 4-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
rneqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rneqd	⊢ (𝜑 → ran 𝐴 = ran 𝐵)

Proof of Theorem rneqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rneqd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		rneq 4957	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ran 𝐴 = ran 𝐵)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 = ran 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395  ran crn 4724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-br 4087  df-opab 4149  df-cnv 4731  df-dm 4733  df-rn 4734

This theorem is referenced by:  resima2  5045  imaeq1  5069  imaeq2  5070  mptimass  5087  resiima  5092  elxp4  5222  elxp5  5223  funimacnv  5403  funimaexg  5411  fnima  5448  fnrnfv  5688  2ndvalg  6301  fo2nd  6316  f2ndres  6318  en1  6968  xpassen  7009  xpdom2  7010  sbthlemi4  7150  djudom  7283  exmidfodomrlemim  7402  seqeq1  10702  seqeq2  10703  seqeq3  10704  seq3val  10712  seqvalcd  10713  s1rn  11185  ennnfonelemex  13025  ennnfonelemf1  13029  restval  13318  restid2  13321  prdsex  13342  prdsval  13346  imasival  13379  conjsubg  13854  rnrhmsubrg  14256  tgrest  14883  txvalex  14968  txval  14969  mopnval  15156  edgvalg  15900  edgopval  15903  edgstruct  15905  uhgr2edg  16045  usgr1e  16080  1loopgredg  16110