ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  txss12 GIF version
Theorem txss12 13769
Description: Subset property of the topological product. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
txss12 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐢 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝐴 Γ—t 𝐢) βŠ† (𝐡 Γ—t 𝐷))
Proof of Theorem txss12
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . . 4 ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
21txbasex 13760 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ π‘Š) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∈ V)
3 resmpo 5973 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐢 βŠ† 𝐷) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐢)) = (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
4 resss 4932 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐢)) βŠ† (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
53, 4eqsstrrdi 3209 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐢 βŠ† 𝐷) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
65adantl 277 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐢 βŠ† 𝐷)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
7 rnss 4858 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
86, 7syl 14 . . 3 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐢 βŠ† 𝐷)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
9 tgss 13566 . . 3 ((ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∈ V ∧ ran (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))) βŠ† (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
102, 8, 9syl2an2r 595 . 2 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐢 βŠ† 𝐷)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))) βŠ† (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
11 ssexg 4143 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ V)
12 ssexg 4143 . . . . 5 ((𝐢 βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ π‘Š) β†’ 𝐢 ∈ V)
13 eqid 2177 . . . . . 6 ran (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = ran (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
1413txval 13758 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐢 ∈ V) β†’ (𝐴 Γ—t 𝐢) = (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
1511, 12, 14syl2an 289 . . . 4 (((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ π‘Š)) β†’ (𝐴 Γ—t 𝐢) = (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
1615an4s 588 . . 3 (((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐢 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ π‘Š)) β†’ (𝐴 Γ—t 𝐢) = (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
1716ancoms 268 . 2 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐢 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝐴 Γ—t 𝐢) = (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
181txval 13758 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ π‘Š) β†’ (𝐡 Γ—t 𝐷) = (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
1918adantr 276 . 2 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐢 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝐡 Γ—t 𝐷) = (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
2010, 17, 193sstr4d 3201 1 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐢 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝐴 Γ—t 𝐢) βŠ† (𝐡 Γ—t 𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2738   βŠ† wss 3130   Γ— cxp 4625  ran crn 4628   β†Ύ cres 4629  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875   ∈ cmpo 5877  topGenctg 12703   Γ—t ctx 13755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-topgen 12709  df-tx 13756
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator