ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  txss12 GIF version
Theorem txss12 13736
Description: Subset property of the topological product. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
txss12 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐢 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝐴 Γ—t 𝐢) βŠ† (𝐡 Γ—t 𝐷))
Proof of Theorem txss12
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . . 4 ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
21txbasex 13727 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ π‘Š) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∈ V)
3 resmpo 5972 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐢 βŠ† 𝐷) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐢)) = (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
4 resss 4931 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐢)) βŠ† (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
53, 4eqsstrrdi 3208 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐢 βŠ† 𝐷) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
65adantl 277 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐢 βŠ† 𝐷)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
7 rnss 4857 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
86, 7syl 14 . . 3 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐢 βŠ† 𝐷)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
9 tgss 13533 . . 3 ((ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∈ V ∧ ran (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))) βŠ† (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
102, 8, 9syl2an2r 595 . 2 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐢 βŠ† 𝐷)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))) βŠ† (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
11 ssexg 4142 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ V)
12 ssexg 4142 . . . . 5 ((𝐢 βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ π‘Š) β†’ 𝐢 ∈ V)
13 eqid 2177 . . . . . 6 ran (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = ran (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
1413txval 13725 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐢 ∈ V) β†’ (𝐴 Γ—t 𝐢) = (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
1511, 12, 14syl2an 289 . . . 4 (((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 βŠ† 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ π‘Š)) β†’ (𝐴 Γ—t 𝐢) = (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
1615an4s 588 . . 3 (((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐢 βŠ† 𝐷) ∧ (𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ π‘Š)) β†’ (𝐴 Γ—t 𝐢) = (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
1716ancoms 268 . 2 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐢 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝐴 Γ—t 𝐢) = (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
181txval 13725 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ π‘Š) β†’ (𝐡 Γ—t 𝐷) = (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
1918adantr 276 . 2 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐢 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝐡 Γ—t 𝐷) = (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
2010, 17, 193sstr4d 3200 1 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐢 βŠ† 𝐷)) β†’ (𝐴 Γ—t 𝐢) βŠ† (𝐡 Γ—t 𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737   βŠ† wss 3129   Γ— cxp 4624  ran crn 4627   β†Ύ cres 4628  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874   ∈ cmpo 5876  topGenctg 12702   Γ—t ctx 13722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-topgen 12708  df-tx 13723
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator