Theorem cnplimclemle 15391

Description: Lemma for cnplimccntop 15393. Satisfying the epsilon condition for continuity. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 17-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnplimccntop.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
cnplimc.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)
cnplimclemr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
cnplimclemr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
cnplimclemr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
cnplimclemr.l	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
cnplimclemle.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
cnplimclemle.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
cnplimclemle.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
cnplimclemle.im	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑍 − 𝐵)) < 𝐷) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < (𝐸 / 2))
cnplimclemle.zd	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑍 − 𝐵)) < 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cnplimclemle	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸)

Proof of Theorem cnplimclemle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))))
2		cnplimclemr.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		cnplimclemle.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
4	2, 3	ffvelcdmd 5783	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑍) ∈ ℂ)
5		cnplimclemr.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
6	2, 5	ffvelcdmd 5783	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
7	4, 6	subcld 8489	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)) ∈ ℂ)
8	7	abscld 11741	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∈ ℝ)
9	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∈ ℝ)
10		cnplimclemle.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
11	10	rphalfcld 9943	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
12	11	rpred 9930	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
13	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
14	4	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (𝐹‘𝑍) ∈ ℂ)
15	1	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))))
16		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → 𝜑)
17	16, 8	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∈ ℝ)
18	16, 12	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
19		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → 𝑍 # 𝐵)
20		cnplimclemle.zd	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑍 − 𝐵)) < 𝐷)
21	16, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → (abs‘(𝑍 − 𝐵)) < 𝐷)
22		cnplimclemle.im	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑍 − 𝐵)) < 𝐷) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < (𝐸 / 2))
23	16, 19, 21, 22	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < (𝐸 / 2))
24	17, 18, 23	ltnsymd 8298	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → ¬ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))))
25	15, 24	pm2.65da 667	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → ¬ 𝑍 # 𝐵)
26		cnplimclemr.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
27	26, 3	sseldd 3228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℂ)
28	26, 5	sseldd 3228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
29	28	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℂ)
30		apti 8801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑍 = 𝐵 ↔ ¬ 𝑍 # 𝐵))
31	27, 29, 30	syl2an2r 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (𝑍 = 𝐵 ↔ ¬ 𝑍 # 𝐵))
32	25, 31	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → 𝑍 = 𝐵)
33	32	fveq2d 5643	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (𝐹‘𝑍) = (𝐹‘𝐵))
34	14, 33	subeq0bd 8557	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → ((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)) = 0)
35	34	abs00bd 11626	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) = 0)
36	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
37	36	rpgt0d 9933	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → 0 < (𝐸 / 2))
38	35, 37	eqbrtrd 4110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < (𝐸 / 2))
39	9, 13, 38	ltnsymd 8298	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → ¬ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))))
40	1, 39	pm2.21dd 625	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸)
41		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸)
42		rphalflt 9917	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝐸 / 2) < 𝐸)
43	10, 42	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) < 𝐸)
44	10	rpred 9930	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
45		axltwlin 8246	. . . 4 ⊢ (((𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∈ ℝ) → ((𝐸 / 2) < 𝐸 → ((𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∨ (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸)))
46	12, 44, 8, 45	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 2) < 𝐸 → ((𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∨ (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸)))
47	43, 46	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∨ (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸))
48	40, 41, 47	mpjaodan 805	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3200   class class class wbr 4088   ∘ ccom 4729  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  ℝcr 8030  0cc0 8031   < clt 8213   − cmin 8349   # cap 8760   / cdiv 8851  2c2 9193  ℝ⁺crp 9887  abscabs 11557   ↾_t crest 13321  MetOpencmopn 14554   lim_ℂ climc 15377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-rp 9888  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559

This theorem is referenced by:  cnplimclemr  15392