ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnplimclemle GIF version

Theorem cnplimclemle 14176
Description: Lemma for cnplimccntop 14178. Satisfying the epsilon condition for continuity. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 17-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cnplimccntop.k 𝐾 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
cnplimc.j 𝐽 = (𝐾 β†Ύt 𝐴)
cnplimclemr.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
cnplimclemr.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
cnplimclemr.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
cnplimclemr.l (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
cnplimclemle.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
cnplimclemle.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
cnplimclemle.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐴)
cnplimclemle.im ((πœ‘ ∧ 𝑍 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑍 βˆ’ 𝐡)) < 𝐷) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) < (𝐸 / 2))
cnplimclemle.zd (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑍 βˆ’ 𝐡)) < 𝐷)
Assertion
Ref Expression
cnplimclemle (πœ‘ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) < 𝐸)

Proof of Theorem cnplimclemle
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)))) β†’ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))))
2 cnplimclemr.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3 cnplimclemle.z . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐴)
42, 3ffvelcdmd 5654 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
5 cnplimclemr.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
62, 5ffvelcdmd 5654 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ β„‚)
74, 6subcld 8270 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
87abscld 11192 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) ∈ ℝ)
98adantr 276 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) ∈ ℝ)
10 cnplimclemle.e . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
1110rphalfcld 9711 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
1211rpred 9698 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
1312adantr 276 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)))) β†’ (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
144adantr 276 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)))) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
151adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)))) ∧ 𝑍 # 𝐡) β†’ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))))
16 simpll 527 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)))) ∧ 𝑍 # 𝐡) β†’ πœ‘)
1716, 8syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)))) ∧ 𝑍 # 𝐡) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) ∈ ℝ)
1816, 12syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)))) ∧ 𝑍 # 𝐡) β†’ (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
19 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)))) ∧ 𝑍 # 𝐡) β†’ 𝑍 # 𝐡)
20 cnplimclemle.zd . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑍 βˆ’ 𝐡)) < 𝐷)
2116, 20syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)))) ∧ 𝑍 # 𝐡) β†’ (absβ€˜(𝑍 βˆ’ 𝐡)) < 𝐷)
22 cnplimclemle.im . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑍 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑍 βˆ’ 𝐡)) < 𝐷) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) < (𝐸 / 2))
2316, 19, 21, 22syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)))) ∧ 𝑍 # 𝐡) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) < (𝐸 / 2))
2417, 18, 23ltnsymd 8079 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)))) ∧ 𝑍 # 𝐡) β†’ Β¬ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))))
2515, 24pm2.65da 661 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)))) β†’ Β¬ 𝑍 # 𝐡)
26 cnplimclemr.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
2726, 3sseldd 3158 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ β„‚)
2826, 5sseldd 3158 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2928adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)))) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
30 apti 8581 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝑍 = 𝐡 ↔ Β¬ 𝑍 # 𝐡))
3127, 29, 30syl2an2r 595 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)))) β†’ (𝑍 = 𝐡 ↔ Β¬ 𝑍 # 𝐡))
3225, 31mpbird 167 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)))) β†’ 𝑍 = 𝐡)
3332fveq2d 5521 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)))) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π΅))
3414, 33subeq0bd 8338 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)) = 0)
3534abs00bd 11077 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) = 0)
3611adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)))) β†’ (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
3736rpgt0d 9701 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)))) β†’ 0 < (𝐸 / 2))
3835, 37eqbrtrd 4027 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) < (𝐸 / 2))
399, 13, 38ltnsymd 8079 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)))) β†’ Β¬ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))))
401, 39pm2.21dd 620 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅)))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) < 𝐸)
41 simpr 110 . 2 ((πœ‘ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) < 𝐸) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) < 𝐸)
42 rphalflt 9685 . . . 4 (𝐸 ∈ ℝ+ β†’ (𝐸 / 2) < 𝐸)
4310, 42syl 14 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 2) < 𝐸)
4410rpred 9698 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
45 axltwlin 8027 . . . 4 (((𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) ∈ ℝ) β†’ ((𝐸 / 2) < 𝐸 β†’ ((𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) ∨ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) < 𝐸)))
4612, 44, 8, 45syl3anc 1238 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐸 / 2) < 𝐸 β†’ ((𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) ∨ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) < 𝐸)))
4743, 46mpd 13 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐸 / 2) < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) ∨ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) < 𝐸))
4840, 41, 47mpjaodan 798 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π΅))) < 𝐸)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   βŠ† wss 3131   class class class wbr 4005   ∘ ccom 4632  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  β„‚cc 7811  β„cr 7812  0cc0 7813   < clt 7994   βˆ’ cmin 8130   # cap 8540   / cdiv 8631  2c2 8972  β„+crp 9655  abscabs 11008   β†Ύt crest 12693  MetOpencmopn 13484   limβ„‚ climc 14162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010
This theorem is referenced by:  cnplimclemr  14177
  Copyright terms: Public domain W3C validator