Theorem cnplimclemle 12997

Description: Lemma for cnplimccntop 12999. Satisfying the epsilon condition for continuity. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 17-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnplimccntop.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
cnplimc.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)
cnplimclemr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
cnplimclemr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
cnplimclemr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
cnplimclemr.l	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
cnplimclemle.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
cnplimclemle.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
cnplimclemle.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
cnplimclemle.im	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑍 − 𝐵)) < 𝐷) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < (𝐸 / 2))
cnplimclemle.zd	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑍 − 𝐵)) < 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cnplimclemle	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸)

Proof of Theorem cnplimclemle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))))
2		cnplimclemr.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		cnplimclemle.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
4	2, 3	ffvelrnd 5600	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑍) ∈ ℂ)
5		cnplimclemr.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
6	2, 5	ffvelrnd 5600	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
7	4, 6	subcld 8169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)) ∈ ℂ)
8	7	abscld 11063	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∈ ℝ)
9	8	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∈ ℝ)
10		cnplimclemle.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
11	10	rphalfcld 9598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
12	11	rpred 9585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
13	12	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
14	4	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (𝐹‘𝑍) ∈ ℂ)
15	1	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))))
16		simpll 519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → 𝜑)
17	16, 8	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∈ ℝ)
18	16, 12	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
19		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → 𝑍 # 𝐵)
20		cnplimclemle.zd	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑍 − 𝐵)) < 𝐷)
21	16, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → (abs‘(𝑍 − 𝐵)) < 𝐷)
22		cnplimclemle.im	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑍 − 𝐵)) < 𝐷) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < (𝐸 / 2))
23	16, 19, 21, 22	syl3anc 1220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < (𝐸 / 2))
24	17, 18, 23	ltnsymd 7978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → ¬ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))))
25	15, 24	pm2.65da 651	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → ¬ 𝑍 # 𝐵)
26		cnplimclemr.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
27	26, 3	sseldd 3129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℂ)
28	26, 5	sseldd 3129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
29	28	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℂ)
30		apti 8480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑍 = 𝐵 ↔ ¬ 𝑍 # 𝐵))
31	27, 29, 30	syl2an2r 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (𝑍 = 𝐵 ↔ ¬ 𝑍 # 𝐵))
32	25, 31	mpbird 166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → 𝑍 = 𝐵)
33	32	fveq2d 5469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (𝐹‘𝑍) = (𝐹‘𝐵))
34	14, 33	subeq0bd 8237	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → ((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)) = 0)
35	34	abs00bd 10948	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) = 0)
36	11	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
37	36	rpgt0d 9588	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → 0 < (𝐸 / 2))
38	35, 37	eqbrtrd 3986	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < (𝐸 / 2))
39	9, 13, 38	ltnsymd 7978	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → ¬ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))))
40	1, 39	pm2.21dd 610	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸)
41		simpr 109	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸)
42		rphalflt 9572	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝐸 / 2) < 𝐸)
43	10, 42	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) < 𝐸)
44	10	rpred 9585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
45		axltwlin 7928	. . . 4 ⊢ (((𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∈ ℝ) → ((𝐸 / 2) < 𝐸 → ((𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∨ (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸)))
46	12, 44, 8, 45	syl3anc 1220	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 2) < 𝐸 → ((𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∨ (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸)))
47	43, 46	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∨ (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸))
48	40, 41, 47	mpjaodan 788	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∧ w3a 963   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   ⊆ wss 3102   class class class wbr 3965   ∘ ccom 4587  ⟶wf 5163  ‘cfv 5167  (class class class)co 5818  ℂcc 7713  ℝcr 7714  0cc0 7715   < clt 7895   − cmin 8029   # cap 8439   / cdiv 8528  2c2 8867  ℝ⁺crp 9542  abscabs 10879   ↾_t crest 12311  MetOpencmopn 12345   lim_ℂ climc 12983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-rp 9543  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881

This theorem is referenced by:  cnplimclemr  12998