Theorem cnplimclemle 15479

Description: Lemma for cnplimccntop 15481. Satisfying the epsilon condition for continuity. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 17-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnplimccntop.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
cnplimc.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)
cnplimclemr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
cnplimclemr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
cnplimclemr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
cnplimclemr.l	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
cnplimclemle.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
cnplimclemle.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
cnplimclemle.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
cnplimclemle.im	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑍 − 𝐵)) < 𝐷) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < (𝐸 / 2))
cnplimclemle.zd	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑍 − 𝐵)) < 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cnplimclemle	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸)

Proof of Theorem cnplimclemle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))))
2		cnplimclemr.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		cnplimclemle.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
4	2, 3	ffvelcdmd 5791	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑍) ∈ ℂ)
5		cnplimclemr.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
6	2, 5	ffvelcdmd 5791	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
7	4, 6	subcld 8549	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)) ∈ ℂ)
8	7	abscld 11821	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∈ ℝ)
9	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∈ ℝ)
10		cnplimclemle.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
11	10	rphalfcld 10005	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
12	11	rpred 9992	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
13	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
14	4	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (𝐹‘𝑍) ∈ ℂ)
15	1	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))))
16		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → 𝜑)
17	16, 8	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∈ ℝ)
18	16, 12	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
19		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → 𝑍 # 𝐵)
20		cnplimclemle.zd	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑍 − 𝐵)) < 𝐷)
21	16, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → (abs‘(𝑍 − 𝐵)) < 𝐷)
22		cnplimclemle.im	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑍 − 𝐵)) < 𝐷) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < (𝐸 / 2))
23	16, 19, 21, 22	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < (𝐸 / 2))
24	17, 18, 23	ltnsymd 8358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → ¬ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))))
25	15, 24	pm2.65da 667	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → ¬ 𝑍 # 𝐵)
26		cnplimclemr.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
27	26, 3	sseldd 3229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℂ)
28	26, 5	sseldd 3229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
29	28	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℂ)
30		apti 8861	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑍 = 𝐵 ↔ ¬ 𝑍 # 𝐵))
31	27, 29, 30	syl2an2r 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (𝑍 = 𝐵 ↔ ¬ 𝑍 # 𝐵))
32	25, 31	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → 𝑍 = 𝐵)
33	32	fveq2d 5652	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (𝐹‘𝑍) = (𝐹‘𝐵))
34	14, 33	subeq0bd 8617	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → ((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)) = 0)
35	34	abs00bd 11706	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) = 0)
36	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
37	36	rpgt0d 9995	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → 0 < (𝐸 / 2))
38	35, 37	eqbrtrd 4115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < (𝐸 / 2))
39	9, 13, 38	ltnsymd 8358	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → ¬ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))))
40	1, 39	pm2.21dd 625	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸)
41		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸)
42		rphalflt 9979	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝐸 / 2) < 𝐸)
43	10, 42	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) < 𝐸)
44	10	rpred 9992	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
45		axltwlin 8306	. . . 4 ⊢ (((𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∈ ℝ) → ((𝐸 / 2) < 𝐸 → ((𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∨ (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸)))
46	12, 44, 8, 45	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 2) < 𝐸 → ((𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∨ (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸)))
47	43, 46	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∨ (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸))
48	40, 41, 47	mpjaodan 806	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3201   class class class wbr 4093   ∘ ccom 4735  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℂcc 8090  ℝcr 8091  0cc0 8092   < clt 8273   − cmin 8409   # cap 8820   / cdiv 8911  2c2 9253  ℝ⁺crp 9949  abscabs 11637   ↾_t crest 13402  MetOpencmopn 14637   lim_ℂ climc 15465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-rp 9950  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639

This theorem is referenced by:  cnplimclemr  15480