Theorem cnplimclemle 14904

Description: Lemma for cnplimccntop 14906. Satisfying the epsilon condition for continuity. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 17-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnplimccntop.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
cnplimc.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)
cnplimclemr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
cnplimclemr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
cnplimclemr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
cnplimclemr.l	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
cnplimclemle.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
cnplimclemle.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
cnplimclemle.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
cnplimclemle.im	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑍 − 𝐵)) < 𝐷) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < (𝐸 / 2))
cnplimclemle.zd	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑍 − 𝐵)) < 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cnplimclemle	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸)

Proof of Theorem cnplimclemle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))))
2		cnplimclemr.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		cnplimclemle.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
4	2, 3	ffvelcdmd 5698	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑍) ∈ ℂ)
5		cnplimclemr.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
6	2, 5	ffvelcdmd 5698	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
7	4, 6	subcld 8337	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)) ∈ ℂ)
8	7	abscld 11346	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∈ ℝ)
9	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∈ ℝ)
10		cnplimclemle.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
11	10	rphalfcld 9784	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
12	11	rpred 9771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
13	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
14	4	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (𝐹‘𝑍) ∈ ℂ)
15	1	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))))
16		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → 𝜑)
17	16, 8	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∈ ℝ)
18	16, 12	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
19		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → 𝑍 # 𝐵)
20		cnplimclemle.zd	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑍 − 𝐵)) < 𝐷)
21	16, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → (abs‘(𝑍 − 𝐵)) < 𝐷)
22		cnplimclemle.im	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑍 − 𝐵)) < 𝐷) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < (𝐸 / 2))
23	16, 19, 21, 22	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < (𝐸 / 2))
24	17, 18, 23	ltnsymd 8146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) ∧ 𝑍 # 𝐵) → ¬ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))))
25	15, 24	pm2.65da 662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → ¬ 𝑍 # 𝐵)
26		cnplimclemr.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
27	26, 3	sseldd 3184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℂ)
28	26, 5	sseldd 3184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
29	28	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℂ)
30		apti 8649	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑍 = 𝐵 ↔ ¬ 𝑍 # 𝐵))
31	27, 29, 30	syl2an2r 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (𝑍 = 𝐵 ↔ ¬ 𝑍 # 𝐵))
32	25, 31	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → 𝑍 = 𝐵)
33	32	fveq2d 5562	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (𝐹‘𝑍) = (𝐹‘𝐵))
34	14, 33	subeq0bd 8405	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → ((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)) = 0)
35	34	abs00bd 11231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) = 0)
36	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
37	36	rpgt0d 9774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → 0 < (𝐸 / 2))
38	35, 37	eqbrtrd 4055	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < (𝐸 / 2))
39	9, 13, 38	ltnsymd 8146	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → ¬ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))))
40	1, 39	pm2.21dd 621	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵)))) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸)
41		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸) → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸)
42		rphalflt 9758	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝐸 / 2) < 𝐸)
43	10, 42	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) < 𝐸)
44	10	rpred 9771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
45		axltwlin 8094	. . . 4 ⊢ (((𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∈ ℝ) → ((𝐸 / 2) < 𝐸 → ((𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∨ (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸)))
46	12, 44, 8, 45	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 2) < 𝐸 → ((𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∨ (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸)))
47	43, 46	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 2) < (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) ∨ (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸))
48	40, 41, 47	mpjaodan 799	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝑍) − (𝐹‘𝐵))) < 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4033   ∘ ccom 4667  ⟶wf 5254  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  ℝcr 7878  0cc0 7879   < clt 8061   − cmin 8197   # cap 8608   / cdiv 8699  2c2 9041  ℝ⁺crp 9728  abscabs 11162   ↾_t crest 12910  MetOpencmopn 14097   lim_ℂ climc 14890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-rp 9729  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164

This theorem is referenced by:  cnplimclemr  14905