ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lediv12ad GIF version

Theorem lediv12ad 9759
Description: Comparison of ratio of two nonnegative numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltmul1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltmul1d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltmul1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
lediv12ad.4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
lediv12ad.5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
lediv12ad.6 (𝜑𝐴𝐵)
lediv12ad.7 (𝜑𝐶𝐷)
Assertion
Ref Expression
lediv12ad (𝜑 → (𝐴 / 𝐷) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Proof of Theorem lediv12ad
StepHypRef Expression
1 ltmul1d.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltmul1d.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2jca 306 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
4 lediv12ad.5 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
5 lediv12ad.6 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
64, 5jca 306 . 2 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵))
7 ltmul1d.3 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
87rpred 9699 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
9 lediv12ad.4 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
108, 9jca 306 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ))
117rpgt0d 9702 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝐶)
12 lediv12ad.7 . . 3 (𝜑𝐶𝐷)
1311, 12jca 306 . 2 (𝜑 → (0 < 𝐶𝐶𝐷))
14 lediv12a 8854 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐶𝐶𝐷))) → (𝐴 / 𝐷) ≤ (𝐵 / 𝐶))
153, 6, 10, 13, 14syl22anc 1239 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐷) ≤ (𝐵 / 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  cr 7813  0cc0 7814   < clt 7995  cle 7996   / cdiv 8632  +crp 9656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-rp 9657
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator