Theorem dvdsmodexp 11684

Description: If a positive integer divides another integer, this other integer is equal to its positive powers modulo the positive integer. (Formerly part of the proof for fermltl 12097). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by AV, 19-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmodexp	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁))

Proof of Theorem dvdsmodexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdszrcl 11681	. . 3 ⊢ (𝑁 ∥ 𝐴 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
2		dvdsmod0 11682	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 𝑁) = 0)
3	2	3ad2antl2 1145	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 𝑁) = 0)
4	3	ex 114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝐴 → (𝐴 mod 𝑁) = 0))
5		simpl3 987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → 𝐵 ∈ ℕ)
6	5	0expd 10560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → (0↑𝐵) = 0)
7	6	oveq1d 5836	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → ((0↑𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
8		simpl1 985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
9		0zd 9173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → 0 ∈ ℤ)
10		nnnn0 9091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
11	10	3ad2ant3 1005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ0)
12	11	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
13		simpl2 986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
14		nnq 9535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → 𝑁 ∈ ℚ)
16		nnrp 9563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
17	16	3ad2ant2 1004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
18	17	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
19	18	rpgt0d 9599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → 0 < 𝑁)
20		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → (𝐴 mod 𝑁) = 0)
21		q0mod 10247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (0 mod 𝑁) = 0)
22	15, 19, 21	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → (0 mod 𝑁) = 0)
23	20, 22	eqtr4d 2193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → (𝐴 mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
24	8, 9, 12, 15, 19, 23	modqexp 10537	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = ((0↑𝐵) mod 𝑁))
25	7, 24, 23	3eqtr4d 2200	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁))
26	25	ex 114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) = 0 → ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁)))
27	4, 26	syld 45	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝐴 → ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁)))
28	27	3exp 1184	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → (𝑁 ∥ 𝐴 → ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁)))))
29	28	com24 87	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 ∥ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁)))))
30	29	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁)))))
31	1, 30	mpcom 36	. 2 ⊢ (𝑁 ∥ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁))))
32	31	3imp31 1178	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821  0cc0 7726   < clt 7906  ℕcn 8827  ℕ₀cn0 9084  ℤcz 9161  ℚcq 9521  ℝ⁺crp 9553   mod cmo 10214  ↑cexp 10411   ∥ cdvds 11676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844  ax-arch 7845

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-frec 6335  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-q 9522  df-rp 9554  df-fl 10162  df-mod 10215  df-seqfrec 10338  df-exp 10412  df-dvds 11677

This theorem is referenced by:  fermltl  12097