Theorem mulcncflem 15334

Description: Lemma for mulcncf 15335. (Contributed by Jim Kingdon, 29-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulcncflem.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
mulcncflem.b	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
mulcncflem.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑋)
mulcncflem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
mulcncflem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ+)
mulcncflem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ+)
mulcncflem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ+)
mulcncflem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
mulcncflem.acn	⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) < 𝐹))
mulcncflem.bcn	⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) < 𝐺))
mulcncflem.cn	⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑋 (((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸))

Assertion

Ref	Expression
mulcncflem	⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑢   𝐵,𝑑,𝑢   𝑢,𝑉   𝐸,𝑑,𝑢   𝑢,𝐹   𝑢,𝐺   𝑆,𝑑,𝑢   𝑇,𝑑,𝑢   𝑉,𝑑,𝑥,𝑢   𝑋,𝑑,𝑢,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑢,𝑑)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑑)   𝐺(𝑥,𝑑)

Proof of Theorem mulcncflem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcncflem.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 9931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
3		mulcncflem.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
4	3	rpred 9931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
5		mincl 11793	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7	1	rpgt0d 9934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑆)
8	3	rpgt0d 9934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
9		0red 8180	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10		ltmininf 11797	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (0 < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ (0 < 𝑆 ∧ 0 < 𝑇)))
11	9, 2, 4, 10	syl3anc 1273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ (0 < 𝑆 ∧ 0 < 𝑇)))
12	7, 8, 11	mpbir2and 952	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ))
13	6, 12	elrpd 9928	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
14		simplr 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑧 ∈ 𝑋)
15		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑋)
16		mulcncflem.a	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
17		cncff 15304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
19		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
20	19	fmpt 5797	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
21	18, 20	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ)
22		mulcncflem.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
23		cncff 15304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
25		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
26	25	fmpt 5797	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
27	24, 26	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
28		r19.26 2659	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ))
29	21, 27, 28	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
30		mulcl 8159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
31	30	ralimi 2595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
32	29, 31	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
34		rspcsbela 3187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
35	15, 33, 34	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
37		eqid 2231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))
38	37	fvmpts 5724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵))
39	14, 36, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵))
40		csbov12g 6058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
41	14, 40	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
42	39, 41	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
43		mulcncflem.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑋)
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑉 ∈ 𝑋)
45		rspcsbela 3187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → ⦋𝑉 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
46	43, 32, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑉 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
47	46	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ⦋𝑉 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
48	37	fvmpts 5724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑉 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉) = ⦋𝑉 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵))
49	44, 47, 48	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉) = ⦋𝑉 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵))
50		csbov12g 6058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑋 → ⦋𝑉 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) = (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))
51	44, 50	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ⦋𝑉 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) = (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))
52	49, 51	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉) = (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))
53	42, 52	oveq12d 6036	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉)) = ((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)))
54	53	fveq2d 5643	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) = (abs‘((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))))
55		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ))
56		cncfrss 15302	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
57	16, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
58	57	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑋 ⊆ ℂ)
59	58, 14	sseldd 3228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑧 ∈ ℂ)
60	57, 43	sseldd 3228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
61	60	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑉 ∈ ℂ)
62	59, 61	subcld 8490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (𝑧 − 𝑉) ∈ ℂ)
63	62	abscld 11743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (abs‘(𝑧 − 𝑉)) ∈ ℝ)
64	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑆 ∈ ℝ)
65	4	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑇 ∈ ℝ)
66		ltmininf 11797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘(𝑧 − 𝑉)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇)))
67	63, 64, 65, 66	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇)))
68	55, 67	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇))
69		mulcncflem.acn	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) < 𝐹))
70		fvoveq1 6041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (abs‘(𝑢 − 𝑉)) = (abs‘(𝑧 − 𝑉)))
71	70	breq1d 4098	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑆 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆))
72	71	imbrov2fvoveq 6043	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) < 𝐹) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) < 𝐹)))
73	72	cbvralv 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) < 𝐹) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) < 𝐹))
74	69, 73	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) < 𝐹))
75	74	r19.21bi 2620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) < 𝐹))
76	21	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ)
77		rspcsbela 3187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
78	15, 76, 77	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
79	19	fvmpts 5724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴)
80	15, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴)
81	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑉 ∈ 𝑋)
82		rspcsbela 3187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ) → ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
83	81, 76, 82	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
84	19	fvmpts 5724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉) = ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)
85	81, 83, 84	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉) = ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)
86	80, 85	oveq12d 6036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉)) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴))
87	86	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) = (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)))
88	87	breq1d 4098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) < 𝐹 ↔ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹))
89	75, 88	sylibd 149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹))
90		mulcncflem.bcn	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) < 𝐺))
91	70	breq1d 4098	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑇 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇))
92	91	imbrov2fvoveq 6043	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) < 𝐺) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) < 𝐺)))
93	92	cbvralv 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) < 𝐺) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) < 𝐺))
94	90, 93	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) < 𝐺))
95	94	r19.21bi 2620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) < 𝐺))
96	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
97		rspcsbela 3187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
98	15, 96, 97	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
99	25	fvmpts 5724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
100	15, 98, 99	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
101		rspcsbela 3187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ) → ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
102	81, 96, 101	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
103	25	fvmpts 5724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉) = ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)
104	81, 102, 103	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉) = ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)
105	100, 104	oveq12d 6036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉)) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))
106	105	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) = (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)))
107	106	breq1d 4098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) < 𝐺 ↔ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺))
108	95, 107	sylibd 149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺))
109	89, 108	anim12d 335	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇) → ((abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺)))
110	109	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇) → ((abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺)))
111	68, 110	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺))
112		mulcncflem.cn	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑋 (((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸))
113		csbeq1 3130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴)
114	113	fvoveq1d 6040	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) = (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)))
115	114	breq1d 4098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ↔ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹))
116		csbeq1 3130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
117	116	fvoveq1d 6040	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) = (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)))
118	117	breq1d 4098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺 ↔ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺))
119	115, 118	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) ↔ ((abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺)))
120	113, 116	oveq12d 6036	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
121	120	fvoveq1d 6040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) = (abs‘((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))))
122	121	breq1d 4098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸 ↔ (abs‘((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸))
123	119, 122	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸) ↔ (((abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸)))
124	123	cbvralv 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑋 (((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (((abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸))
125	112, 124	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 (((abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸))
126	125	r19.21bi 2620	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (((abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸))
127	126	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (((abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸))
128	111, 127	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (abs‘((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸)
129	54, 128	eqbrtrd 4110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸)
130	129	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
131	130	ralrimiva 2605	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
132		fvoveq1 6041	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑢 → (abs‘(𝑧 − 𝑉)) = (abs‘(𝑢 − 𝑉)))
133	132	breq1d 4098	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑢 → ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ (abs‘(𝑢 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )))
134	133	imbrov2fvoveq 6043	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑢 → (((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸)))
135	134	cbvralv 2767	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
136	131, 135	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
137		breq2 4092	. . 3 ⊢ (𝑑 = inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑢 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )))
138	137	rspceaimv 2918	. 2 ⊢ ((inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
139	13, 136, 138	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511  ⦋csb 3127   ⊆ wss 3200  {cpr 3670   class class class wbr 4088   ↦ cmpt 4150  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  infcinf 7182  ℂcc 8030  ℝcr 8031  0cc0 8032   · cmul 8037   < clt 8214   − cmin 8350  ℝ⁺crp 9888  abscabs 11559  –cn→ccncf 15297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-map 6819  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-rp 9889  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-cncf 15298

This theorem is referenced by:  mulcncf  15335