Theorem mulcncflem 14761

Description: Lemma for mulcncf 14762. (Contributed by Jim Kingdon, 29-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulcncflem.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
mulcncflem.b	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
mulcncflem.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑋)
mulcncflem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
mulcncflem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ+)
mulcncflem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ+)
mulcncflem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ+)
mulcncflem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
mulcncflem.acn	⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) < 𝐹))
mulcncflem.bcn	⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) < 𝐺))
mulcncflem.cn	⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑋 (((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸))

Assertion

Ref	Expression
mulcncflem	⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑢   𝐵,𝑑,𝑢   𝑢,𝑉   𝐸,𝑑,𝑢   𝑢,𝐹   𝑢,𝐺   𝑆,𝑑,𝑢   𝑇,𝑑,𝑢   𝑉,𝑑,𝑥,𝑢   𝑋,𝑑,𝑢,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑢,𝑑)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑑)   𝐺(𝑥,𝑑)

Proof of Theorem mulcncflem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcncflem.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 9762	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
3		mulcncflem.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
4	3	rpred 9762	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
5		mincl 11374	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7	1	rpgt0d 9765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑆)
8	3	rpgt0d 9765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
9		0red 8020	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10		ltmininf 11378	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (0 < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ (0 < 𝑆 ∧ 0 < 𝑇)))
11	9, 2, 4, 10	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ (0 < 𝑆 ∧ 0 < 𝑇)))
12	7, 8, 11	mpbir2and 946	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ))
13	6, 12	elrpd 9759	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
14		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑧 ∈ 𝑋)
15		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑋)
16		mulcncflem.a	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
17		cncff 14732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
19		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
20	19	fmpt 5708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
21	18, 20	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ)
22		mulcncflem.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
23		cncff 14732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
25		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
26	25	fmpt 5708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
27	24, 26	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
28		r19.26 2620	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ))
29	21, 27, 28	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
30		mulcl 7999	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
31	30	ralimi 2557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
32	29, 31	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
34		rspcsbela 3140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
35	15, 33, 34	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
37		eqid 2193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))
38	37	fvmpts 5635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵))
39	14, 36, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵))
40		csbov12g 5957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
41	14, 40	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
42	39, 41	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
43		mulcncflem.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑋)
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑉 ∈ 𝑋)
45		rspcsbela 3140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → ⦋𝑉 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
46	43, 32, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑉 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
47	46	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ⦋𝑉 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
48	37	fvmpts 5635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑉 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉) = ⦋𝑉 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵))
49	44, 47, 48	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉) = ⦋𝑉 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵))
50		csbov12g 5957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑋 → ⦋𝑉 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) = (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))
51	44, 50	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ⦋𝑉 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) = (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))
52	49, 51	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉) = (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))
53	42, 52	oveq12d 5936	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉)) = ((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)))
54	53	fveq2d 5558	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) = (abs‘((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))))
55		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ))
56		cncfrss 14730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
57	16, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
58	57	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑋 ⊆ ℂ)
59	58, 14	sseldd 3180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑧 ∈ ℂ)
60	57, 43	sseldd 3180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
61	60	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑉 ∈ ℂ)
62	59, 61	subcld 8330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (𝑧 − 𝑉) ∈ ℂ)
63	62	abscld 11325	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (abs‘(𝑧 − 𝑉)) ∈ ℝ)
64	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑆 ∈ ℝ)
65	4	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑇 ∈ ℝ)
66		ltmininf 11378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘(𝑧 − 𝑉)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇)))
67	63, 64, 65, 66	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇)))
68	55, 67	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇))
69		mulcncflem.acn	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) < 𝐹))
70		fvoveq1 5941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (abs‘(𝑢 − 𝑉)) = (abs‘(𝑧 − 𝑉)))
71	70	breq1d 4039	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑆 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆))
72	71	imbrov2fvoveq 5943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) < 𝐹) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) < 𝐹)))
73	72	cbvralv 2726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) < 𝐹) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) < 𝐹))
74	69, 73	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) < 𝐹))
75	74	r19.21bi 2582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) < 𝐹))
76	21	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ)
77		rspcsbela 3140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
78	15, 76, 77	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
79	19	fvmpts 5635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴)
80	15, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴)
81	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑉 ∈ 𝑋)
82		rspcsbela 3140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ) → ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
83	81, 76, 82	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
84	19	fvmpts 5635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉) = ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)
85	81, 83, 84	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉) = ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)
86	80, 85	oveq12d 5936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉)) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴))
87	86	fveq2d 5558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) = (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)))
88	87	breq1d 4039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) < 𝐹 ↔ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹))
89	75, 88	sylibd 149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹))
90		mulcncflem.bcn	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) < 𝐺))
91	70	breq1d 4039	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑇 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇))
92	91	imbrov2fvoveq 5943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) < 𝐺) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) < 𝐺)))
93	92	cbvralv 2726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) < 𝐺) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) < 𝐺))
94	90, 93	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) < 𝐺))
95	94	r19.21bi 2582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) < 𝐺))
96	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
97		rspcsbela 3140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
98	15, 96, 97	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
99	25	fvmpts 5635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
100	15, 98, 99	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
101		rspcsbela 3140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ) → ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
102	81, 96, 101	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
103	25	fvmpts 5635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉) = ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)
104	81, 102, 103	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉) = ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)
105	100, 104	oveq12d 5936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉)) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))
106	105	fveq2d 5558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) = (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)))
107	106	breq1d 4039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) < 𝐺 ↔ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺))
108	95, 107	sylibd 149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺))
109	89, 108	anim12d 335	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇) → ((abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺)))
110	109	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇) → ((abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺)))
111	68, 110	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺))
112		mulcncflem.cn	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑋 (((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸))
113		csbeq1 3083	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴)
114	113	fvoveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) = (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)))
115	114	breq1d 4039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ↔ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹))
116		csbeq1 3083	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
117	116	fvoveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) = (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)))
118	117	breq1d 4039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺 ↔ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺))
119	115, 118	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) ↔ ((abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺)))
120	113, 116	oveq12d 5936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
121	120	fvoveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) = (abs‘((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))))
122	121	breq1d 4039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸 ↔ (abs‘((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸))
123	119, 122	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸) ↔ (((abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸)))
124	123	cbvralv 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑋 (((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (((abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸))
125	112, 124	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 (((abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸))
126	125	r19.21bi 2582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (((abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸))
127	126	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (((abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸))
128	111, 127	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (abs‘((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸)
129	54, 128	eqbrtrd 4051	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸)
130	129	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
131	130	ralrimiva 2567	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
132		fvoveq1 5941	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑢 → (abs‘(𝑧 − 𝑉)) = (abs‘(𝑢 − 𝑉)))
133	132	breq1d 4039	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑢 → ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ (abs‘(𝑢 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )))
134	133	imbrov2fvoveq 5943	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑢 → (((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸)))
135	134	cbvralv 2726	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
136	131, 135	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
137		breq2 4033	. . 3 ⊢ (𝑑 = inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑢 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )))
138	137	rspceaimv 2872	. 2 ⊢ ((inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
139	13, 136, 138	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473  ⦋csb 3080   ⊆ wss 3153  {cpr 3619   class class class wbr 4029   ↦ cmpt 4090  ⟶wf 5250  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  infcinf 7042  ℂcc 7870  ℝcr 7871  0cc0 7872   · cmul 7877   < clt 8054   − cmin 8190  ℝ⁺crp 9719  abscabs 11141  –cn→ccncf 14725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-map 6704  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-rp 9720  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-cncf 14726

This theorem is referenced by:  mulcncf  14762