ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcncflem GIF version

Theorem mulcncflem 14175
Description: Lemma for mulcncf 14176. (Contributed by Jim Kingdon, 29-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
mulcncflem.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
mulcncflem.b (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
mulcncflem.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝑋)
mulcncflem.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
mulcncflem.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ℝ+)
mulcncflem.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ℝ+)
mulcncflem.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ+)
mulcncflem.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
mulcncflem.acn (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑉)) < 𝑆 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘‰))) < 𝐹))
mulcncflem.bcn (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑉)) < 𝑇 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘‰))) < 𝐺))
mulcncflem.cn (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 (((absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝐺) β†’ (absβ€˜((⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝐸))
Assertion
Ref Expression
mulcncflem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑉)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘‰))) < 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑒   𝐡,𝑑,𝑒   𝑒,𝑉   𝐸,𝑑,𝑒   𝑒,𝐹   𝑒,𝐺   𝑆,𝑑,𝑒   𝑇,𝑑,𝑒   𝑉,𝑑,π‘₯,𝑒   𝑋,𝑑,𝑒,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑒,𝑑)   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝑇(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝐹(π‘₯,𝑑)   𝐺(π‘₯,𝑑)

Proof of Theorem mulcncflem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcncflem.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ+)
21rpred 9698 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
3 mulcncflem.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
43rpred 9698 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
5 mincl 11241 . . . 4 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) β†’ inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
62, 4, 5syl2anc 411 . . 3 (πœ‘ β†’ inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
71rpgt0d 9701 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑆)
83rpgt0d 9701 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑇)
9 0red 7960 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
10 ltmininf 11245 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) β†’ (0 < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ (0 < 𝑆 ∧ 0 < 𝑇)))
119, 2, 4, 10syl3anc 1238 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0 < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ (0 < 𝑆 ∧ 0 < 𝑇)))
127, 8, 11mpbir2and 944 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ))
136, 12elrpd 9695 . 2 (πœ‘ β†’ inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
14 simplr 528 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
15 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
16 mulcncflem.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
17 cncff 14149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„‚)
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„‚)
19 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
2019fmpt 5668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐴 ∈ β„‚ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„‚)
2118, 20sylibr 134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐴 ∈ β„‚)
22 mulcncflem.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
23 cncff 14149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚)
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚)
25 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)
2625fmpt 5668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚)
2724, 26sylibr 134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚)
28 r19.26 2603 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚))
2921, 27, 28sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
30 mulcl 7940 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
3130ralimi 2540 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝐴 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
3229, 31syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝐴 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
3332adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝐴 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
34 rspcsbela 3118 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝐴 Β· 𝐡) ∈ β„‚) β†’ ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
3515, 33, 34syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
3635adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) β†’ ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
37 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))
3837fvmpts 5596 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐡) ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘§) = ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐡))
3914, 36, 38syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘§) = ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐡))
40 csbov12g 5916 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝑋 β†’ ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐡) = (⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡))
4114, 40syl 14 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) β†’ ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐡) = (⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡))
4239, 41eqtrd 2210 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘§) = (⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡))
43 mulcncflem.v . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝑋)
4443ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) β†’ 𝑉 ∈ 𝑋)
45 rspcsbela 3118 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝐴 Β· 𝐡) ∈ β„‚) β†’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
4643, 32, 45syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
4746ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) β†’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
4837fvmpts 5596 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑉 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐡) ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘‰) = ⦋𝑉 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐡))
4944, 47, 48syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘‰) = ⦋𝑉 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐡))
50 csbov12g 5916 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ 𝑋 β†’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐡) = (⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡))
5144, 50syl 14 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) β†’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌(𝐴 Β· 𝐡) = (⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡))
5249, 51eqtrd 2210 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘‰) = (⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡))
5342, 52oveq12d 5895 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘‰)) = ((⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡)))
5453fveq2d 5521 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘‰))) = (absβ€˜((⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡))))
55 simpr 110 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ))
56 cncfrss 14147 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
5716, 56syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
5857ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
5958, 14sseldd 3158 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
6057, 43sseldd 3158 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ β„‚)
6160ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) β†’ 𝑉 ∈ β„‚)
6259, 61subcld 8270 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝑉) ∈ β„‚)
6362abscld 11192 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) ∈ ℝ)
642ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
654ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
66 ltmininf 11245 . . . . . . . . . 10 (((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < 𝑆 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < 𝑇)))
6763, 64, 65, 66syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) β†’ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < 𝑆 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < 𝑇)))
6855, 67mpbid 147 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) β†’ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < 𝑆 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < 𝑇))
69 mulcncflem.acn . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑉)) < 𝑆 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘‰))) < 𝐹))
70 fvoveq1 5900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = 𝑧 β†’ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑉)) = (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)))
7170breq1d 4015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = 𝑧 β†’ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑉)) < 𝑆 ↔ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < 𝑆))
7271imbrov2fvoveq 5902 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = 𝑧 β†’ (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑉)) < 𝑆 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘‰))) < 𝐹) ↔ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < 𝑆 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘§) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘‰))) < 𝐹)))
7372cbvralv 2705 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑉)) < 𝑆 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘‰))) < 𝐹) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < 𝑆 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘§) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘‰))) < 𝐹))
7469, 73sylib 122 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < 𝑆 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘§) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘‰))) < 𝐹))
7574r19.21bi 2565 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < 𝑆 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘§) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘‰))) < 𝐹))
7621adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐴 ∈ β„‚)
77 rspcsbela 3118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚)
7815, 76, 77syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚)
7919fvmpts 5596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘§) = ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴)
8015, 78, 79syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘§) = ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴)
8143adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑉 ∈ 𝑋)
82 rspcsbela 3118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚)
8381, 76, 82syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚)
8419fvmpts 5596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘‰) = ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴)
8581, 83, 84syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘‰) = ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴)
8680, 85oveq12d 5895 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘§) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘‰)) = (⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴))
8786fveq2d 5521 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘§) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘‰))) = (absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴)))
8887breq1d 4015 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘§) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘‰))) < 𝐹 ↔ (absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝐹))
8975, 88sylibd 149 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < 𝑆 β†’ (absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝐹))
90 mulcncflem.bcn . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑉)) < 𝑇 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘‰))) < 𝐺))
9170breq1d 4015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = 𝑧 β†’ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑉)) < 𝑇 ↔ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < 𝑇))
9291imbrov2fvoveq 5902 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = 𝑧 β†’ (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑉)) < 𝑇 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘‰))) < 𝐺) ↔ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < 𝑇 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘‰))) < 𝐺)))
9392cbvralv 2705 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑉)) < 𝑇 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘‰))) < 𝐺) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < 𝑇 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘‰))) < 𝐺))
9490, 93sylib 122 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < 𝑇 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘‰))) < 𝐺))
9594r19.21bi 2565 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < 𝑇 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘‰))) < 𝐺))
9627adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚)
97 rspcsbela 3118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
9815, 96, 97syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
9925fvmpts 5596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) = ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡)
10015, 98, 99syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) = ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡)
101 rspcsbela 3118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
10281, 96, 101syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
10325fvmpts 5596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘‰) = ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡)
10481, 102, 103syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘‰) = ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡)
105100, 104oveq12d 5895 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘‰)) = (⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡))
106105fveq2d 5521 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘‰))) = (absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡)))
107106breq1d 4015 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘‰))) < 𝐺 ↔ (absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝐺))
10895, 107sylibd 149 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < 𝑇 β†’ (absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝐺))
10989, 108anim12d 335 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < 𝑆 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < 𝑇) β†’ ((absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝐺)))
110109adantr 276 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) β†’ (((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < 𝑆 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < 𝑇) β†’ ((absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝐺)))
11168, 110mpd 13 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) β†’ ((absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝐺))
112 mulcncflem.cn . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 (((absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝐺) β†’ (absβ€˜((⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝐸))
113 csbeq1 3062 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = 𝑧 β†’ ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 = ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴)
114113fvoveq1d 5899 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = 𝑧 β†’ (absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴)) = (absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴)))
115114breq1d 4015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = 𝑧 β†’ ((absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝐹 ↔ (absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝐹))
116 csbeq1 3062 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = 𝑧 β†’ ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 = ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡)
117116fvoveq1d 5899 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = 𝑧 β†’ (absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡)) = (absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡)))
118117breq1d 4015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = 𝑧 β†’ ((absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝐺 ↔ (absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝐺))
119115, 118anbi12d 473 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 𝑧 β†’ (((absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝐺) ↔ ((absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝐺)))
120113, 116oveq12d 5895 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = 𝑧 β†’ (⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡) = (⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡))
121120fvoveq1d 5899 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = 𝑧 β†’ (absβ€˜((⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡))) = (absβ€˜((⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡))))
122121breq1d 4015 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 𝑧 β†’ ((absβ€˜((⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝐸 ↔ (absβ€˜((⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝐸))
123119, 122imbi12d 234 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑧 β†’ ((((absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝐺) β†’ (absβ€˜((⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝐸) ↔ (((absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝐺) β†’ (absβ€˜((⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝐸)))
124123cbvralv 2705 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 (((absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝐺) β†’ (absβ€˜((⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝐸) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (((absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝐺) β†’ (absβ€˜((⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝐸))
125112, 124sylib 122 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (((absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝐺) β†’ (absβ€˜((⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝐸))
126125r19.21bi 2565 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (((absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝐺) β†’ (absβ€˜((⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝐸))
127126adantr 276 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) β†’ (((absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (absβ€˜(⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝐺) β†’ (absβ€˜((⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝐸))
128111, 127mpd 13 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) β†’ (absβ€˜((⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑉 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝐸)
12954, 128eqbrtrd 4027 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘‰))) < 𝐸)
130129ex 115 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘‰))) < 𝐸))
131130ralrimiva 2550 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘‰))) < 𝐸))
132 fvoveq1 5900 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑒 β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) = (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑉)))
133132breq1d 4015 . . . . 5 (𝑧 = 𝑒 β†’ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )))
134133imbrov2fvoveq 5902 . . . 4 (𝑧 = 𝑒 β†’ (((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘‰))) < 𝐸) ↔ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘‰))) < 𝐸)))
135134cbvralv 2705 . . 3 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘§) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘‰))) < 𝐸) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘‰))) < 𝐸))
136131, 135sylib 122 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘‰))) < 𝐸))
137 breq2 4009 . . 3 (𝑑 = inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) β†’ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑉)) < 𝑑 ↔ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )))
138137rspceaimv 2851 . 2 ((inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘‰))) < 𝐸)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑉)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘‰))) < 𝐸))
13913, 136, 138syl2anc 411 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑉)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘‰))) < 𝐸))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456  β¦‹csb 3059   βŠ† wss 3131  {cpr 3595   class class class wbr 4005   ↦ cmpt 4066  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  infcinf 6984  β„‚cc 7811  β„cr 7812  0cc0 7813   Β· cmul 7818   < clt 7994   βˆ’ cmin 8130  β„+crp 9655  abscabs 11008  β€“cnβ†’ccncf 14142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-map 6652  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-cncf 14143
This theorem is referenced by:  mulcncf  14176
  Copyright terms: Public domain W3C validator