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Theorem mulcncflem 13983
Description: Lemma for mulcncf 13984. (Contributed by Jim Kingdon, 29-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
mulcncflem.a (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ))
mulcncflem.b (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn→ℂ))
mulcncflem.v (𝜑𝑉𝑋)
mulcncflem.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
mulcncflem.f (𝜑𝐹 ∈ ℝ+)
mulcncflem.g (𝜑𝐺 ∈ ℝ+)
mulcncflem.s (𝜑𝑆 ∈ ℝ+)
mulcncflem.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
mulcncflem.acn (𝜑 → ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑉))) < 𝐹))
mulcncflem.bcn (𝜑 → ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑉))) < 𝐺))
mulcncflem.cn (𝜑 → ∀𝑢𝑋 (((abs‘(𝑢 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑢 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑢 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))) < 𝐸))
Assertion
Ref Expression
mulcncflem (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑢   𝐵,𝑑,𝑢   𝑢,𝑉   𝐸,𝑑,𝑢   𝑢,𝐹   𝑢,𝐺   𝑆,𝑑,𝑢   𝑇,𝑑,𝑢   𝑉,𝑑,𝑥,𝑢   𝑋,𝑑,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑢,𝑑)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑑)   𝐺(𝑥,𝑑)

Proof of Theorem mulcncflem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcncflem.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ ℝ+)
21rpred 9694 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
3 mulcncflem.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
43rpred 9694 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
5 mincl 11234 . . . 4 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
62, 4, 5syl2anc 411 . . 3 (𝜑 → inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
71rpgt0d 9697 . . . 4 (𝜑 → 0 < 𝑆)
83rpgt0d 9697 . . . 4 (𝜑 → 0 < 𝑇)
9 0red 7957 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10 ltmininf 11238 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (0 < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ (0 < 𝑆 ∧ 0 < 𝑇)))
119, 2, 4, 10syl3anc 1238 . . . 4 (𝜑 → (0 < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ (0 < 𝑆 ∧ 0 < 𝑇)))
127, 8, 11mpbir2and 944 . . 3 (𝜑 → 0 < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ))
136, 12elrpd 9691 . 2 (𝜑 → inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
14 simplr 528 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑧𝑋)
15 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧𝑋)
16 mulcncflem.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ))
17 cncff 13957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ) → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
19 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑋𝐴) = (𝑥𝑋𝐴)
2019fmpt 5666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥𝑋 𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
2118, 20sylibr 134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐴 ∈ ℂ)
22 mulcncflem.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn→ℂ))
23 cncff 13957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn→ℂ) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
25 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝐵)
2625fmpt 5666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
2724, 26sylibr 134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
28 r19.26 2603 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥𝑋 (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ↔ (∀𝑥𝑋 𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ))
2921, 27, 28sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
30 mulcl 7937 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
3130ralimi 2540 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝑋 (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑥𝑋 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
3229, 31syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
3332adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝑋) → ∀𝑥𝑋 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
34 rspcsbela 3116 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → 𝑧 / 𝑥(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
3515, 33, 34syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧 / 𝑥(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
3635adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑧 / 𝑥(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
37 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))
3837fvmpts 5594 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑋𝑧 / 𝑥(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) = 𝑧 / 𝑥(𝐴 · 𝐵))
3914, 36, 38syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) = 𝑧 / 𝑥(𝐴 · 𝐵))
40 csbov12g 5913 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑋𝑧 / 𝑥(𝐴 · 𝐵) = (𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵))
4114, 40syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑧 / 𝑥(𝐴 · 𝐵) = (𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵))
4239, 41eqtrd 2210 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) = (𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵))
43 mulcncflem.v . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑉𝑋)
4443ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑉𝑋)
45 rspcsbela 3116 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → 𝑉 / 𝑥(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
4643, 32, 45syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑉 / 𝑥(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
4746ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑉 / 𝑥(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
4837fvmpts 5594 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑋𝑉 / 𝑥(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉) = 𝑉 / 𝑥(𝐴 · 𝐵))
4944, 47, 48syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉) = 𝑉 / 𝑥(𝐴 · 𝐵))
50 csbov12g 5913 . . . . . . . . . 10 (𝑉𝑋𝑉 / 𝑥(𝐴 · 𝐵) = (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))
5144, 50syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑉 / 𝑥(𝐴 · 𝐵) = (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))
5249, 51eqtrd 2210 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉) = (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))
5342, 52oveq12d 5892 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉)) = ((𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵)))
5453fveq2d 5519 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) = (abs‘((𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))))
55 simpr 110 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ))
56 cncfrss 13955 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
5716, 56syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
5857ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑋 ⊆ ℂ)
5958, 14sseldd 3156 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑧 ∈ ℂ)
6057, 43sseldd 3156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
6160ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑉 ∈ ℂ)
6259, 61subcld 8266 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (𝑧𝑉) ∈ ℂ)
6362abscld 11185 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (abs‘(𝑧𝑉)) ∈ ℝ)
642ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑆 ∈ ℝ)
654ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑇 ∈ ℝ)
66 ltmininf 11238 . . . . . . . . . 10 (((abs‘(𝑧𝑉)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑇)))
6763, 64, 65, 66syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑇)))
6855, 67mpbid 147 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑇))
69 mulcncflem.acn . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑉))) < 𝐹))
70 fvoveq1 5897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = 𝑧 → (abs‘(𝑢𝑉)) = (abs‘(𝑧𝑉)))
7170breq1d 4013 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑧 → ((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑆 ↔ (abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑆))
7271imbrov2fvoveq 5899 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑧 → (((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑉))) < 𝐹) ↔ ((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑉))) < 𝐹)))
7372cbvralv 2703 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑉))) < 𝐹) ↔ ∀𝑧𝑋 ((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑉))) < 𝐹))
7469, 73sylib 122 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑧𝑋 ((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑉))) < 𝐹))
7574r19.21bi 2565 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝑋) → ((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑉))) < 𝐹))
7621adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝑋) → ∀𝑥𝑋 𝐴 ∈ ℂ)
77 rspcsbela 3116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑧 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
7815, 76, 77syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
7919fvmpts 5594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧𝑋𝑧 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑧) = 𝑧 / 𝑥𝐴)
8015, 78, 79syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝑋) → ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑧) = 𝑧 / 𝑥𝐴)
8143adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑉𝑋)
82 rspcsbela 3116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑉𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑉 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
8381, 76, 82syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑉 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
8419fvmpts 5594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑉𝑋𝑉 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑉) = 𝑉 / 𝑥𝐴)
8581, 83, 84syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝑋) → ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑉) = 𝑉 / 𝑥𝐴)
8680, 85oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝑋) → (((𝑥𝑋𝐴)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑉)) = (𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴))
8786fveq2d 5519 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝑋) → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑉))) = (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)))
8887breq1d 4013 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝑋) → ((abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑉))) < 𝐹 ↔ (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹))
8975, 88sylibd 149 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝑋) → ((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹))
90 mulcncflem.bcn . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑉))) < 𝐺))
9170breq1d 4013 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑧 → ((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑇 ↔ (abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑇))
9291imbrov2fvoveq 5899 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑧 → (((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑉))) < 𝐺) ↔ ((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑉))) < 𝐺)))
9392cbvralv 2703 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑉))) < 𝐺) ↔ ∀𝑧𝑋 ((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑉))) < 𝐺))
9490, 93sylib 122 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑧𝑋 ((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑉))) < 𝐺))
9594r19.21bi 2565 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝑋) → ((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑉))) < 𝐺))
9627adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝑋) → ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
97 rspcsbela 3116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
9815, 96, 97syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
9925fvmpts 5594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧𝑋𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑧) = 𝑧 / 𝑥𝐵)
10015, 98, 99syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝑋) → ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑧) = 𝑧 / 𝑥𝐵)
101 rspcsbela 3116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑉𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑉 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
10281, 96, 101syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑉 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
10325fvmpts 5594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑉𝑋𝑉 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑉) = 𝑉 / 𝑥𝐵)
10481, 102, 103syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝑋) → ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑉) = 𝑉 / 𝑥𝐵)
105100, 104oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝑋) → (((𝑥𝑋𝐵)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑉)) = (𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵))
106105fveq2d 5519 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝑋) → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑉))) = (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)))
107106breq1d 4013 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝑋) → ((abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑉))) < 𝐺 ↔ (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺))
10895, 107sylibd 149 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝑋) → ((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺))
10989, 108anim12d 335 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝑋) → (((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑇) → ((abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺)))
110109adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑇) → ((abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺)))
11168, 110mpd 13 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺))
112 mulcncflem.cn . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑢𝑋 (((abs‘(𝑢 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑢 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑢 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))) < 𝐸))
113 csbeq1 3060 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑧𝑢 / 𝑥𝐴 = 𝑧 / 𝑥𝐴)
114113fvoveq1d 5896 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑧 → (abs‘(𝑢 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) = (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)))
115114breq1d 4013 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑧 → ((abs‘(𝑢 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ↔ (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹))
116 csbeq1 3060 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑧𝑢 / 𝑥𝐵 = 𝑧 / 𝑥𝐵)
117116fvoveq1d 5896 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑧 → (abs‘(𝑢 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) = (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)))
118117breq1d 4013 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑧 → ((abs‘(𝑢 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺 ↔ (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺))
119115, 118anbi12d 473 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑧 → (((abs‘(𝑢 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑢 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺) ↔ ((abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺)))
120113, 116oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑢 / 𝑥𝐵) = (𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵))
121120fvoveq1d 5896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑧 → (abs‘((𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑢 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))) = (abs‘((𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))))
122121breq1d 4013 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑧 → ((abs‘((𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑢 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))) < 𝐸 ↔ (abs‘((𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))) < 𝐸))
123119, 122imbi12d 234 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑧 → ((((abs‘(𝑢 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑢 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑢 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))) < 𝐸) ↔ (((abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))) < 𝐸)))
124123cbvralv 2703 . . . . . . . . . 10 (∀𝑢𝑋 (((abs‘(𝑢 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑢 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑢 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))) < 𝐸) ↔ ∀𝑧𝑋 (((abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))) < 𝐸))
125112, 124sylib 122 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑧𝑋 (((abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))) < 𝐸))
126125r19.21bi 2565 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑋) → (((abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))) < 𝐸))
127126adantr 276 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (((abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))) < 𝐸))
128111, 127mpd 13 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (abs‘((𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))) < 𝐸)
12954, 128eqbrtrd 4025 . . . . 5 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸)
130129ex 115 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑋) → ((abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
131130ralrimiva 2550 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧𝑋 ((abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
132 fvoveq1 5897 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑢 → (abs‘(𝑧𝑉)) = (abs‘(𝑢𝑉)))
133132breq1d 4013 . . . . 5 (𝑧 = 𝑢 → ((abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ (abs‘(𝑢𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )))
134133imbrov2fvoveq 5899 . . . 4 (𝑧 = 𝑢 → (((abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸) ↔ ((abs‘(𝑢𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸)))
135134cbvralv 2703 . . 3 (∀𝑧𝑋 ((abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸) ↔ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
136131, 135sylib 122 . 2 (𝜑 → ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
137 breq2 4007 . . 3 (𝑑 = inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → ((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑢𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )))
138137rspceaimv 2849 . 2 ((inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
13913, 136, 138syl2anc 411 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  csb 3057  wss 3129  {cpr 3593   class class class wbr 4003  cmpt 4064  wf 5212  cfv 5216  (class class class)co 5874  infcinf 6981  cc 7808  cr 7809  0cc0 7810   · cmul 7815   < clt 7990  cmin 8126  +crp 9651  abscabs 11001  cnccncf 13950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-map 6649  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-rp 9652  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-cncf 13951
This theorem is referenced by:  mulcncf  13984
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