Theorem mulcncflem 14843

Description: Lemma for mulcncf 14844. (Contributed by Jim Kingdon, 29-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulcncflem.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
mulcncflem.b	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
mulcncflem.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑋)
mulcncflem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
mulcncflem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ+)
mulcncflem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ+)
mulcncflem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ+)
mulcncflem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
mulcncflem.acn	⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) < 𝐹))
mulcncflem.bcn	⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) < 𝐺))
mulcncflem.cn	⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑋 (((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸))

Assertion

Ref	Expression
mulcncflem	⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑢   𝐵,𝑑,𝑢   𝑢,𝑉   𝐸,𝑑,𝑢   𝑢,𝐹   𝑢,𝐺   𝑆,𝑑,𝑢   𝑇,𝑑,𝑢   𝑉,𝑑,𝑥,𝑢   𝑋,𝑑,𝑢,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑢,𝑑)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑑)   𝐺(𝑥,𝑑)

Proof of Theorem mulcncflem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcncflem.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 9771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
3		mulcncflem.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
4	3	rpred 9771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
5		mincl 11396	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7	1	rpgt0d 9774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑆)
8	3	rpgt0d 9774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
9		0red 8027	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10		ltmininf 11400	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (0 < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ (0 < 𝑆 ∧ 0 < 𝑇)))
11	9, 2, 4, 10	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ (0 < 𝑆 ∧ 0 < 𝑇)))
12	7, 8, 11	mpbir2and 946	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ))
13	6, 12	elrpd 9768	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
14		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑧 ∈ 𝑋)
15		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑋)
16		mulcncflem.a	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
17		cncff 14813	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
19		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
20	19	fmpt 5712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
21	18, 20	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ)
22		mulcncflem.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
23		cncff 14813	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
25		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
26	25	fmpt 5712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
27	24, 26	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
28		r19.26 2623	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ))
29	21, 27, 28	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
30		mulcl 8006	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
31	30	ralimi 2560	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
32	29, 31	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
34		rspcsbela 3144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
35	15, 33, 34	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
37		eqid 2196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))
38	37	fvmpts 5639	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵))
39	14, 36, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵))
40		csbov12g 5961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
41	14, 40	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
42	39, 41	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
43		mulcncflem.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑋)
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑉 ∈ 𝑋)
45		rspcsbela 3144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → ⦋𝑉 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
46	43, 32, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑉 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
47	46	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ⦋𝑉 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
48	37	fvmpts 5639	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑉 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉) = ⦋𝑉 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵))
49	44, 47, 48	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉) = ⦋𝑉 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵))
50		csbov12g 5961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑋 → ⦋𝑉 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) = (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))
51	44, 50	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ⦋𝑉 / 𝑥⦌(𝐴 · 𝐵) = (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))
52	49, 51	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉) = (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))
53	42, 52	oveq12d 5940	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉)) = ((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)))
54	53	fveq2d 5562	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) = (abs‘((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))))
55		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ))
56		cncfrss 14811	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
57	16, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
58	57	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑋 ⊆ ℂ)
59	58, 14	sseldd 3184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑧 ∈ ℂ)
60	57, 43	sseldd 3184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
61	60	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑉 ∈ ℂ)
62	59, 61	subcld 8337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (𝑧 − 𝑉) ∈ ℂ)
63	62	abscld 11346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (abs‘(𝑧 − 𝑉)) ∈ ℝ)
64	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑆 ∈ ℝ)
65	4	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑇 ∈ ℝ)
66		ltmininf 11400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘(𝑧 − 𝑉)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇)))
67	63, 64, 65, 66	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇)))
68	55, 67	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇))
69		mulcncflem.acn	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) < 𝐹))
70		fvoveq1 5945	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (abs‘(𝑢 − 𝑉)) = (abs‘(𝑧 − 𝑉)))
71	70	breq1d 4043	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑆 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆))
72	71	imbrov2fvoveq 5947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) < 𝐹) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) < 𝐹)))
73	72	cbvralv 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) < 𝐹) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) < 𝐹))
74	69, 73	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) < 𝐹))
75	74	r19.21bi 2585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) < 𝐹))
76	21	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ)
77		rspcsbela 3144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
78	15, 76, 77	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
79	19	fvmpts 5639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴)
80	15, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴)
81	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑉 ∈ 𝑋)
82		rspcsbela 3144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ) → ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
83	81, 76, 82	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
84	19	fvmpts 5639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉) = ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)
85	81, 83, 84	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉) = ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)
86	80, 85	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉)) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴))
87	86	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) = (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)))
88	87	breq1d 4043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑉))) < 𝐹 ↔ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹))
89	75, 88	sylibd 149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹))
90		mulcncflem.bcn	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) < 𝐺))
91	70	breq1d 4043	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑇 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇))
92	91	imbrov2fvoveq 5947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) < 𝐺) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) < 𝐺)))
93	92	cbvralv 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) < 𝐺) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) < 𝐺))
94	90, 93	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) < 𝐺))
95	94	r19.21bi 2585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) < 𝐺))
96	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
97		rspcsbela 3144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
98	15, 96, 97	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
99	25	fvmpts 5639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
100	15, 98, 99	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
101		rspcsbela 3144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ) → ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
102	81, 96, 101	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
103	25	fvmpts 5639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉) = ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)
104	81, 102, 103	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉) = ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)
105	100, 104	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉)) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))
106	105	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) = (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)))
107	106	breq1d 4043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑉))) < 𝐺 ↔ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺))
108	95, 107	sylibd 149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺))
109	89, 108	anim12d 335	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇) → ((abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺)))
110	109	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < 𝑇) → ((abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺)))
111	68, 110	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺))
112		mulcncflem.cn	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑋 (((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸))
113		csbeq1 3087	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴)
114	113	fvoveq1d 5944	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) = (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)))
115	114	breq1d 4043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ↔ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹))
116		csbeq1 3087	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
117	116	fvoveq1d 5944	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) = (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)))
118	117	breq1d 4043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺 ↔ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺))
119	115, 118	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) ↔ ((abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺)))
120	113, 116	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
121	120	fvoveq1d 5944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) = (abs‘((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))))
122	121	breq1d 4043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸 ↔ (abs‘((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸))
123	119, 122	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸) ↔ (((abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸)))
124	123	cbvralv 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑋 (((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (((abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸))
125	112, 124	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 (((abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸))
126	125	r19.21bi 2585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (((abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸))
127	126	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (((abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸))
128	111, 127	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (abs‘((⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑉 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝐸)
129	54, 128	eqbrtrd 4055	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸)
130	129	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
131	130	ralrimiva 2570	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
132		fvoveq1 5945	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑢 → (abs‘(𝑧 − 𝑉)) = (abs‘(𝑢 − 𝑉)))
133	132	breq1d 4043	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑢 → ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ (abs‘(𝑢 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )))
134	133	imbrov2fvoveq 5947	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑢 → (((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸)))
135	134	cbvralv 2729	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
136	131, 135	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
137		breq2 4037	. . 3 ⊢ (𝑑 = inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑢 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )))
138	137	rspceaimv 2876	. 2 ⊢ ((inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
139	13, 136, 138	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑉)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  ⦋csb 3084   ⊆ wss 3157  {cpr 3623   class class class wbr 4033   ↦ cmpt 4094  ⟶wf 5254  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  infcinf 7049  ℂcc 7877  ℝcr 7878  0cc0 7879   · cmul 7884   < clt 8061   − cmin 8197  ℝ⁺crp 9728  abscabs 11162  –cn→ccncf 14806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-map 6709  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-rp 9729  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-cncf 14807

This theorem is referenced by:  mulcncf  14844