Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcncflem GIF version

Theorem mulcncflem 12821
 Description: Lemma for mulcncf 12822. (Contributed by Jim Kingdon, 29-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
mulcncflem.a (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ))
mulcncflem.b (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn→ℂ))
mulcncflem.v (𝜑𝑉𝑋)
mulcncflem.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
mulcncflem.f (𝜑𝐹 ∈ ℝ+)
mulcncflem.g (𝜑𝐺 ∈ ℝ+)
mulcncflem.s (𝜑𝑆 ∈ ℝ+)
mulcncflem.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
mulcncflem.acn (𝜑 → ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑉))) < 𝐹))
mulcncflem.bcn (𝜑 → ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑉))) < 𝐺))
mulcncflem.cn (𝜑 → ∀𝑢𝑋 (((abs‘(𝑢 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑢 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑢 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))) < 𝐸))
Assertion
Ref Expression
mulcncflem (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑢   𝐵,𝑑,𝑢   𝑢,𝑉   𝐸,𝑑,𝑢   𝑢,𝐹   𝑢,𝐺   𝑆,𝑑,𝑢   𝑇,𝑑,𝑢   𝑉,𝑑,𝑥,𝑢   𝑋,𝑑,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑢,𝑑)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑑)   𝐺(𝑥,𝑑)

Proof of Theorem mulcncflem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcncflem.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ ℝ+)
21rpred 9536 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
3 mulcncflem.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
43rpred 9536 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
5 mincl 11057 . . . 4 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
62, 4, 5syl2anc 409 . . 3 (𝜑 → inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
71rpgt0d 9539 . . . 4 (𝜑 → 0 < 𝑆)
83rpgt0d 9539 . . . 4 (𝜑 → 0 < 𝑇)
9 0red 7814 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10 ltmininf 11061 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (0 < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ (0 < 𝑆 ∧ 0 < 𝑇)))
119, 2, 4, 10syl3anc 1217 . . . 4 (𝜑 → (0 < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ (0 < 𝑆 ∧ 0 < 𝑇)))
127, 8, 11mpbir2and 929 . . 3 (𝜑 → 0 < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ))
136, 12elrpd 9533 . 2 (𝜑 → inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
14 simplr 520 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑧𝑋)
15 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧𝑋)
16 mulcncflem.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ))
17 cncff 12795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ) → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
19 eqid 2140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑋𝐴) = (𝑥𝑋𝐴)
2019fmpt 5580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥𝑋 𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
2118, 20sylibr 133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐴 ∈ ℂ)
22 mulcncflem.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn→ℂ))
23 cncff 12795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn→ℂ) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
25 eqid 2140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝐵)
2625fmpt 5580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
2724, 26sylibr 133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
28 r19.26 2562 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥𝑋 (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ↔ (∀𝑥𝑋 𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ))
2921, 27, 28sylanbrc 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
30 mulcl 7794 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
3130ralimi 2499 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝑋 (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑥𝑋 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
3229, 31syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
3332adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝑋) → ∀𝑥𝑋 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
34 rspcsbela 3065 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → 𝑧 / 𝑥(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
3515, 33, 34syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧 / 𝑥(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
3635adantr 274 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑧 / 𝑥(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
37 eqid 2140 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))
3837fvmpts 5509 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑋𝑧 / 𝑥(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) = 𝑧 / 𝑥(𝐴 · 𝐵))
3914, 36, 38syl2anc 409 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) = 𝑧 / 𝑥(𝐴 · 𝐵))
40 csbov12g 5820 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑋𝑧 / 𝑥(𝐴 · 𝐵) = (𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵))
4114, 40syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑧 / 𝑥(𝐴 · 𝐵) = (𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵))
4239, 41eqtrd 2173 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) = (𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵))
43 mulcncflem.v . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑉𝑋)
4443ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑉𝑋)
45 rspcsbela 3065 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → 𝑉 / 𝑥(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
4643, 32, 45syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑉 / 𝑥(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
4746ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑉 / 𝑥(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
4837fvmpts 5509 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑋𝑉 / 𝑥(𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉) = 𝑉 / 𝑥(𝐴 · 𝐵))
4944, 47, 48syl2anc 409 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉) = 𝑉 / 𝑥(𝐴 · 𝐵))
50 csbov12g 5820 . . . . . . . . . 10 (𝑉𝑋𝑉 / 𝑥(𝐴 · 𝐵) = (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))
5144, 50syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑉 / 𝑥(𝐴 · 𝐵) = (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))
5249, 51eqtrd 2173 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉) = (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))
5342, 52oveq12d 5802 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉)) = ((𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵)))
5453fveq2d 5435 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) = (abs‘((𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))))
55 simpr 109 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ))
56 cncfrss 12793 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
5716, 56syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
5857ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑋 ⊆ ℂ)
5958, 14sseldd 3104 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑧 ∈ ℂ)
6057, 43sseldd 3104 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
6160ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑉 ∈ ℂ)
6259, 61subcld 8120 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (𝑧𝑉) ∈ ℂ)
6362abscld 11008 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (abs‘(𝑧𝑉)) ∈ ℝ)
642ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑆 ∈ ℝ)
654ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → 𝑇 ∈ ℝ)
66 ltmininf 11061 . . . . . . . . . 10 (((abs‘(𝑧𝑉)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑇)))
6763, 64, 65, 66syl3anc 1217 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑇)))
6855, 67mpbid 146 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑇))
69 mulcncflem.acn . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑉))) < 𝐹))
70 fvoveq1 5807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = 𝑧 → (abs‘(𝑢𝑉)) = (abs‘(𝑧𝑉)))
7170breq1d 3948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑧 → ((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑆 ↔ (abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑆))
7271imbrov2fvoveq 5809 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑧 → (((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑉))) < 𝐹) ↔ ((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑉))) < 𝐹)))
7372cbvralv 2658 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑉))) < 𝐹) ↔ ∀𝑧𝑋 ((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑉))) < 𝐹))
7469, 73sylib 121 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑧𝑋 ((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑉))) < 𝐹))
7574r19.21bi 2524 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝑋) → ((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑉))) < 𝐹))
7621adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝑋) → ∀𝑥𝑋 𝐴 ∈ ℂ)
77 rspcsbela 3065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑧 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
7815, 76, 77syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
7919fvmpts 5509 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧𝑋𝑧 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑧) = 𝑧 / 𝑥𝐴)
8015, 78, 79syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝑋) → ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑧) = 𝑧 / 𝑥𝐴)
8143adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑉𝑋)
82 rspcsbela 3065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑉𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑉 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
8381, 76, 82syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑉 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
8419fvmpts 5509 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑉𝑋𝑉 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑉) = 𝑉 / 𝑥𝐴)
8581, 83, 84syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝑋) → ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑉) = 𝑉 / 𝑥𝐴)
8680, 85oveq12d 5802 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝑋) → (((𝑥𝑋𝐴)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑉)) = (𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴))
8786fveq2d 5435 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝑋) → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑉))) = (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)))
8887breq1d 3948 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝑋) → ((abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑉))) < 𝐹 ↔ (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹))
8975, 88sylibd 148 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝑋) → ((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑆 → (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹))
90 mulcncflem.bcn . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑉))) < 𝐺))
9170breq1d 3948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑧 → ((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑇 ↔ (abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑇))
9291imbrov2fvoveq 5809 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑧 → (((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑉))) < 𝐺) ↔ ((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑉))) < 𝐺)))
9392cbvralv 2658 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑉))) < 𝐺) ↔ ∀𝑧𝑋 ((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑉))) < 𝐺))
9490, 93sylib 121 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑧𝑋 ((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑉))) < 𝐺))
9594r19.21bi 2524 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝑋) → ((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑉))) < 𝐺))
9627adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝑋) → ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
97 rspcsbela 3065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
9815, 96, 97syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
9925fvmpts 5509 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧𝑋𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑧) = 𝑧 / 𝑥𝐵)
10015, 98, 99syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝑋) → ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑧) = 𝑧 / 𝑥𝐵)
101 rspcsbela 3065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑉𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑉 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
10281, 96, 101syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑉 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
10325fvmpts 5509 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑉𝑋𝑉 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑉) = 𝑉 / 𝑥𝐵)
10481, 102, 103syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝑋) → ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑉) = 𝑉 / 𝑥𝐵)
105100, 104oveq12d 5802 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝑋) → (((𝑥𝑋𝐵)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑉)) = (𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵))
106105fveq2d 5435 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝑋) → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑉))) = (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)))
107106breq1d 3948 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝑋) → ((abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑧) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑉))) < 𝐺 ↔ (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺))
10895, 107sylibd 148 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝑋) → ((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑇 → (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺))
10989, 108anim12d 333 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝑋) → (((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑇) → ((abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺)))
110109adantr 274 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (((abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < 𝑇) → ((abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺)))
11168, 110mpd 13 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → ((abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺))
112 mulcncflem.cn . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑢𝑋 (((abs‘(𝑢 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑢 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑢 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))) < 𝐸))
113 csbeq1 3011 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑧𝑢 / 𝑥𝐴 = 𝑧 / 𝑥𝐴)
114113fvoveq1d 5806 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑧 → (abs‘(𝑢 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) = (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)))
115114breq1d 3948 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑧 → ((abs‘(𝑢 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ↔ (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹))
116 csbeq1 3011 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑧𝑢 / 𝑥𝐵 = 𝑧 / 𝑥𝐵)
117116fvoveq1d 5806 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑧 → (abs‘(𝑢 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) = (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)))
118117breq1d 3948 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑧 → ((abs‘(𝑢 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺 ↔ (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺))
119115, 118anbi12d 465 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑧 → (((abs‘(𝑢 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑢 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺) ↔ ((abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺)))
120113, 116oveq12d 5802 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑢 / 𝑥𝐵) = (𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵))
121120fvoveq1d 5806 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑧 → (abs‘((𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑢 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))) = (abs‘((𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))))
122121breq1d 3948 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑧 → ((abs‘((𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑢 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))) < 𝐸 ↔ (abs‘((𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))) < 𝐸))
123119, 122imbi12d 233 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑧 → ((((abs‘(𝑢 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑢 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑢 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))) < 𝐸) ↔ (((abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))) < 𝐸)))
124123cbvralv 2658 . . . . . . . . . 10 (∀𝑢𝑋 (((abs‘(𝑢 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑢 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑢 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))) < 𝐸) ↔ ∀𝑧𝑋 (((abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))) < 𝐸))
125112, 124sylib 121 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑧𝑋 (((abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))) < 𝐸))
126125r19.21bi 2524 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑋) → (((abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))) < 𝐸))
127126adantr 274 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (((abs‘(𝑧 / 𝑥𝐴𝑉 / 𝑥𝐴)) < 𝐹 ∧ (abs‘(𝑧 / 𝑥𝐵𝑉 / 𝑥𝐵)) < 𝐺) → (abs‘((𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))) < 𝐸))
128111, 127mpd 13 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (abs‘((𝑧 / 𝑥𝐴 · 𝑧 / 𝑥𝐵) − (𝑉 / 𝑥𝐴 · 𝑉 / 𝑥𝐵))) < 𝐸)
12954, 128eqbrtrd 3959 . . . . 5 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )) → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸)
130129ex 114 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑋) → ((abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
131130ralrimiva 2509 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧𝑋 ((abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
132 fvoveq1 5807 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑢 → (abs‘(𝑧𝑉)) = (abs‘(𝑢𝑉)))
133132breq1d 3948 . . . . 5 (𝑧 = 𝑢 → ((abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ↔ (abs‘(𝑢𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )))
134133imbrov2fvoveq 5809 . . . 4 (𝑧 = 𝑢 → (((abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸) ↔ ((abs‘(𝑢𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸)))
135134cbvralv 2658 . . 3 (∀𝑧𝑋 ((abs‘(𝑧𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑧) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸) ↔ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
136131, 135sylib 121 . 2 (𝜑 → ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
137 breq2 3942 . . 3 (𝑑 = inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → ((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑢𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < )))
138137rspceaimv 2802 . 2 ((inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑉)) < inf({𝑆, 𝑇}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
13913, 136, 138syl2anc 409 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑉)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑉))) < 𝐸))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ∃wrex 2418  ⦋csb 3008   ⊆ wss 3077  {cpr 3534   class class class wbr 3938   ↦ cmpt 3998  ⟶wf 5129  ‘cfv 5133  (class class class)co 5784  infcinf 6883  ℂcc 7665  ℝcr 7666  0cc0 7667   · cmul 7672   < clt 7847   − cmin 7980  ℝ+crp 9493  abscabs 10824  –cn→ccncf 12788 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7758  ax-resscn 7759  ax-1cn 7760  ax-1re 7761  ax-icn 7762  ax-addcl 7763  ax-addrcl 7764  ax-mulcl 7765  ax-mulrcl 7766  ax-addcom 7767  ax-mulcom 7768  ax-addass 7769  ax-mulass 7770  ax-distr 7771  ax-i2m1 7772  ax-0lt1 7773  ax-1rid 7774  ax-0id 7775  ax-rnegex 7776  ax-precex 7777  ax-cnre 7778  ax-pre-ltirr 7779  ax-pre-ltwlin 7780  ax-pre-lttrn 7781  ax-pre-apti 7782  ax-pre-ltadd 7783  ax-pre-mulgt0 7784  ax-pre-mulext 7785  ax-arch 7786  ax-caucvg 7787 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4555  df-rel 4556  df-cnv 4557  df-co 4558  df-dm 4559  df-rn 4560  df-res 4561  df-ima 4562  df-iota 5098  df-fun 5135  df-fn 5136  df-f 5137  df-f1 5138  df-fo 5139  df-f1o 5140  df-fv 5141  df-isom 5142  df-riota 5740  df-ov 5787  df-oprab 5788  df-mpo 5789  df-1st 6048  df-2nd 6049  df-recs 6212  df-frec 6298  df-map 6554  df-sup 6884  df-inf 6885  df-pnf 7849  df-mnf 7850  df-xr 7851  df-ltxr 7852  df-le 7853  df-sub 7982  df-neg 7983  df-reap 8384  df-ap 8391  df-div 8480  df-inn 8768  df-2 8826  df-3 8827  df-4 8828  df-n0 9025  df-z 9102  df-uz 9374  df-rp 9494  df-seqfrec 10273  df-exp 10347  df-cj 10669  df-re 10670  df-im 10671  df-rsqrt 10825  df-abs 10826  df-cncf 12789 This theorem is referenced by:  mulcncf  12822
 Copyright terms: Public domain W3C validator