Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nconstwlpolemgt0 GIF version

Theorem nconstwlpolemgt0 13596
 Description: Lemma for nconstwlpo 13598. If one of the terms of series is positive, so is the sum. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nconstwlpolem0.g (𝜑𝐺:ℕ⟶{0, 1})
nconstwlpolem0.a 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖))
nconstwlpolemgt0.0 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑥) = 1)
Assertion
Ref Expression
nconstwlpolemgt0 (𝜑 → 0 < 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑖,𝐺   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem nconstwlpolemgt0
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nconstwlpolemgt0.0 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑥) = 1)
2 1zzd 9177 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 1 ∈ ℤ)
3 simprl 521 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℕ)
43peano2nnd 8831 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
54nnzd 9268 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
65, 2zsubcld 9274 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → ((𝑥 + 1) − 1) ∈ ℤ)
72, 6fzfigd 10312 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (1...((𝑥 + 1) − 1)) ∈ Fin)
8 elfznn 9938 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ)
9 2rp 9547 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ+
109a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
11 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
1211nnzd 9268 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
1310, 12rpexpcld 10557 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (2↑𝑖) ∈ ℝ+)
1413rpreccld 9596 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ+)
1514rpred 9585 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ)
16 0re 7861 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
17 1re 7860 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
18 prssi 3714 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → {0, 1} ⊆ ℝ)
1916, 17, 18mp2an 423 . . . . . . . . 9 {0, 1} ⊆ ℝ
20 nconstwlpolem0.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:ℕ⟶{0, 1})
2120ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
2221, 11ffvelrnd 5600 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐺𝑖) ∈ {0, 1})
2319, 22sseldi 3126 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐺𝑖) ∈ ℝ)
2415, 23remulcld 7891 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) ∈ ℝ)
258, 24sylan2 284 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1))) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) ∈ ℝ)
267, 25fsumrecl 11280 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → Σ𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) ∈ ℝ)
27 eqid 2157 . . . . . 6 (ℤ‘(𝑥 + 1)) = (ℤ‘(𝑥 + 1))
28 eqid 2157 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)))
29 oveq2 5826 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑖 → (2↑𝑛) = (2↑𝑖))
3029oveq2d 5834 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑖 → (1 / (2↑𝑛)) = (1 / (2↑𝑖)))
31 fveq2 5465 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑖 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑖))
3230, 31oveq12d 5836 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑖 → ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)) = ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
33 eluznn 9493 . . . . . . . 8 (((𝑥 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
344, 33sylan 281 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
3534, 24syldan 280 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) ∈ ℝ)
3628, 32, 34, 35fvmptd3 5558 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)))‘𝑖) = ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
3720, 28trilpolemclim 13569 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
3837adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
39 nnuz 9457 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
4028, 32, 11, 24fvmptd3 5558 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)))‘𝑖) = ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
4124recnd 7889 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) ∈ ℂ)
4240, 41eqeltrd 2234 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)))‘𝑖) ∈ ℂ)
4339, 4, 42iserex 11218 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)))) ∈ dom ⇝ ↔ seq(𝑥 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)))) ∈ dom ⇝ ))
4438, 43mpbid 146 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → seq(𝑥 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
4527, 5, 36, 35, 44isumrecl 11308 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) ∈ ℝ)
463nnzd 9268 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℤ)
47 fzofig 10313 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (1..^𝑥) ∈ Fin)
482, 46, 47syl2anc 409 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (1..^𝑥) ∈ Fin)
49 elfzo1 10071 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1..^𝑥) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑥))
5049simp1bi 997 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1..^𝑥) → 𝑖 ∈ ℕ)
5150, 24sylan2 284 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) ∈ ℝ)
5248, 51fsumrecl 11280 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) ∈ ℝ)
539a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 2 ∈ ℝ+)
5453, 46rpexpcld 10557 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (2↑𝑥) ∈ ℝ+)
5554rpreccld 9596 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (1 / (2↑𝑥)) ∈ ℝ+)
5655rpred 9585 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (1 / (2↑𝑥)) ∈ ℝ)
5720adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
5857, 3ffvelrnd 5600 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (𝐺𝑥) ∈ {0, 1})
5919, 58sseldi 3126 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
6056, 59remulcld 7891 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐺𝑥)) ∈ ℝ)
6114rpge0d 9589 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / (2↑𝑖)))
62 0le0 8905 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 0
63 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐺𝑖) = 0) → (𝐺𝑖) = 0)
6462, 63breqtrrid 4002 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐺𝑖) = 0) → 0 ≤ (𝐺𝑖))
65 0le1 8339 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 1
66 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐺𝑖) = 1) → (𝐺𝑖) = 1)
6765, 66breqtrrid 4002 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐺𝑖) = 1) → 0 ≤ (𝐺𝑖))
68 elpri 3583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺𝑖) ∈ {0, 1} → ((𝐺𝑖) = 0 ∨ (𝐺𝑖) = 1))
6922, 68syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑖) = 0 ∨ (𝐺𝑖) = 1))
7064, 67, 69mpjaodan 788 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺𝑖))
7115, 23, 61, 70mulge0d 8479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
7250, 71sylan2 284 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) → 0 ≤ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
7348, 51, 72fsumge0 11338 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
7455rpgt0d 9588 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 < (1 / (2↑𝑥)))
75 simprr 522 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (𝐺𝑥) = 1)
7675oveq2d 5834 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐺𝑥)) = ((1 / (2↑𝑥)) · 1))
7756recnd 7889 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (1 / (2↑𝑥)) ∈ ℂ)
7877mulid1d 7878 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → ((1 / (2↑𝑥)) · 1) = (1 / (2↑𝑥)))
7976, 78eqtrd 2190 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐺𝑥)) = (1 / (2↑𝑥)))
8074, 79breqtrrd 3992 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 < ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐺𝑥)))
8152, 60, 73, 80addgegt0d 8377 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 < (Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) + ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐺𝑥))))
82 nfv 1508 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1))
83 nfcv 2299 . . . . . . . 8 𝑖((1 / (2↑𝑥)) · (𝐺𝑥))
84 fzonel 10041 . . . . . . . . 9 ¬ 𝑥 ∈ (1..^𝑥)
8584a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → ¬ 𝑥 ∈ (1..^𝑥))
8650, 41sylan2 284 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) ∈ ℂ)
87 oveq2 5826 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑥 → (2↑𝑖) = (2↑𝑥))
8887oveq2d 5834 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑥 → (1 / (2↑𝑖)) = (1 / (2↑𝑥)))
89 fveq2 5465 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑥 → (𝐺𝑖) = (𝐺𝑥))
9088, 89oveq12d 5836 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑥 → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) = ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐺𝑥)))
9160recnd 7889 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
9282, 83, 48, 3, 85, 86, 90, 91fsumsplitsn 11289 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → Σ𝑖 ∈ ((1..^𝑥) ∪ {𝑥})((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) + ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐺𝑥))))
9381, 92breqtrrd 3992 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 < Σ𝑖 ∈ ((1..^𝑥) ∪ {𝑥})((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
943nncnd 8830 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
95 1cnd 7877 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 1 ∈ ℂ)
9694, 95pncand 8170 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → ((𝑥 + 1) − 1) = 𝑥)
9796oveq2d 5834 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (1...((𝑥 + 1) − 1)) = (1...𝑥))
983, 39eleqtrdi 2250 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ (ℤ‘1))
99 fzisfzounsn 10117 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℤ‘1) → (1...𝑥) = ((1..^𝑥) ∪ {𝑥}))
10098, 99syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (1...𝑥) = ((1..^𝑥) ∪ {𝑥}))
10197, 100eqtrd 2190 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (1...((𝑥 + 1) − 1)) = ((1..^𝑥) ∪ {𝑥}))
102101sumeq1d 11245 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → Σ𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ((1..^𝑥) ∪ {𝑥})((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
10393, 102breqtrrd 3992 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 < Σ𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
10434, 15syldan 280 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ)
10534, 23syldan 280 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → (𝐺𝑖) ∈ ℝ)
10634, 14syldan 280 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ+)
107106rpge0d 9589 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → 0 ≤ (1 / (2↑𝑖)))
10834, 70syldan 280 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → 0 ≤ (𝐺𝑖))
109104, 105, 107, 108mulge0d 8479 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → 0 ≤ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
11027, 5, 36, 35, 44, 109isumge0 11309 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
11126, 45, 103, 110addgtge0d 8378 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 < (Σ𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖))))
11239, 27, 4, 40, 41, 38isumsplit 11370 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖))))
113111, 112breqtrrd 3992 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 < Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
114 nconstwlpolem0.a . . 3 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖))
115113, 114breqtrrdi 4006 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 < 𝐴)
1161, 115rexlimddv 2579 1 (𝜑 → 0 < 𝐴)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ∃wrex 2436   ∪ cun 3100   ⊆ wss 3102  {csn 3560  {cpr 3561   class class class wbr 3965   ↦ cmpt 4025  dom cdm 4583  ⟶wf 5163  ‘cfv 5167  (class class class)co 5818  Fincfn 6678  ℂcc 7713  ℝcr 7714  0cc0 7715  1c1 7716   + caddc 7718   · cmul 7720   < clt 7895   ≤ cle 7896   − cmin 8029   / cdiv 8528  ℕcn 8816  2c2 8867  ℤcz 9150  ℤ≥cuz 9422  ℝ+crp 9542  ...cfz 9894  ..^cfzo 10023  seqcseq 10326  ↑cexp 10400   ⇝ cli 11157  Σcsu 11232 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-frec 6332  df-1o 6357  df-oadd 6361  df-er 6473  df-en 6679  df-dom 6680  df-fin 6681  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-ico 9780  df-fz 9895  df-fzo 10024  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-ihash 10632  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-clim 11158  df-sumdc 11233 This theorem is referenced by:  nconstwlpolem  13597
 Copyright terms: Public domain W3C validator