Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nconstwlpolemgt0 GIF version

Theorem nconstwlpolemgt0 14467
Description: Lemma for nconstwlpo 14469. If one of the terms of series is positive, so is the sum. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nconstwlpolem0.g (𝜑𝐺:ℕ⟶{0, 1})
nconstwlpolem0.a 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖))
nconstwlpolemgt0.0 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑥) = 1)
Assertion
Ref Expression
nconstwlpolemgt0 (𝜑 → 0 < 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑖,𝐺   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem nconstwlpolemgt0
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nconstwlpolemgt0.0 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑥) = 1)
2 1zzd 9269 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 1 ∈ ℤ)
3 simprl 529 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℕ)
43peano2nnd 8923 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
54nnzd 9363 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
65, 2zsubcld 9369 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → ((𝑥 + 1) − 1) ∈ ℤ)
72, 6fzfigd 10417 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (1...((𝑥 + 1) − 1)) ∈ Fin)
8 elfznn 10040 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ)
9 2rp 9645 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ+
109a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
11 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
1211nnzd 9363 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
1310, 12rpexpcld 10663 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (2↑𝑖) ∈ ℝ+)
1413rpreccld 9694 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ+)
1514rpred 9683 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ)
16 0re 7948 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
17 1re 7947 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
18 prssi 3749 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → {0, 1} ⊆ ℝ)
1916, 17, 18mp2an 426 . . . . . . . . 9 {0, 1} ⊆ ℝ
20 nconstwlpolem0.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:ℕ⟶{0, 1})
2120ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
2221, 11ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐺𝑖) ∈ {0, 1})
2319, 22sselid 3153 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐺𝑖) ∈ ℝ)
2415, 23remulcld 7978 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) ∈ ℝ)
258, 24sylan2 286 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1))) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) ∈ ℝ)
267, 25fsumrecl 11393 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → Σ𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) ∈ ℝ)
27 eqid 2177 . . . . . 6 (ℤ‘(𝑥 + 1)) = (ℤ‘(𝑥 + 1))
28 eqid 2177 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)))
29 oveq2 5877 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑖 → (2↑𝑛) = (2↑𝑖))
3029oveq2d 5885 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑖 → (1 / (2↑𝑛)) = (1 / (2↑𝑖)))
31 fveq2 5511 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑖 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑖))
3230, 31oveq12d 5887 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑖 → ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)) = ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
33 eluznn 9589 . . . . . . . 8 (((𝑥 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
344, 33sylan 283 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
3534, 24syldan 282 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) ∈ ℝ)
3628, 32, 34, 35fvmptd3 5605 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)))‘𝑖) = ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
3720, 28trilpolemclim 14440 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
3837adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
39 nnuz 9552 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
4028, 32, 11, 24fvmptd3 5605 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)))‘𝑖) = ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
4124recnd 7976 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) ∈ ℂ)
4240, 41eqeltrd 2254 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)))‘𝑖) ∈ ℂ)
4339, 4, 42iserex 11331 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)))) ∈ dom ⇝ ↔ seq(𝑥 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)))) ∈ dom ⇝ ))
4438, 43mpbid 147 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → seq(𝑥 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
4527, 5, 36, 35, 44isumrecl 11421 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) ∈ ℝ)
463nnzd 9363 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℤ)
47 fzofig 10418 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (1..^𝑥) ∈ Fin)
482, 46, 47syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (1..^𝑥) ∈ Fin)
49 elfzo1 10176 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1..^𝑥) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑥))
5049simp1bi 1012 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1..^𝑥) → 𝑖 ∈ ℕ)
5150, 24sylan2 286 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) ∈ ℝ)
5248, 51fsumrecl 11393 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) ∈ ℝ)
539a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 2 ∈ ℝ+)
5453, 46rpexpcld 10663 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (2↑𝑥) ∈ ℝ+)
5554rpreccld 9694 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (1 / (2↑𝑥)) ∈ ℝ+)
5655rpred 9683 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (1 / (2↑𝑥)) ∈ ℝ)
5720adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
5857, 3ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (𝐺𝑥) ∈ {0, 1})
5919, 58sselid 3153 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
6056, 59remulcld 7978 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐺𝑥)) ∈ ℝ)
6114rpge0d 9687 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / (2↑𝑖)))
62 0le0 8997 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 0
63 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐺𝑖) = 0) → (𝐺𝑖) = 0)
6462, 63breqtrrid 4038 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐺𝑖) = 0) → 0 ≤ (𝐺𝑖))
65 0le1 8428 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 1
66 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐺𝑖) = 1) → (𝐺𝑖) = 1)
6765, 66breqtrrid 4038 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐺𝑖) = 1) → 0 ≤ (𝐺𝑖))
68 elpri 3614 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺𝑖) ∈ {0, 1} → ((𝐺𝑖) = 0 ∨ (𝐺𝑖) = 1))
6922, 68syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑖) = 0 ∨ (𝐺𝑖) = 1))
7064, 67, 69mpjaodan 798 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺𝑖))
7115, 23, 61, 70mulge0d 8568 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
7250, 71sylan2 286 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) → 0 ≤ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
7348, 51, 72fsumge0 11451 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
7455rpgt0d 9686 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 < (1 / (2↑𝑥)))
75 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (𝐺𝑥) = 1)
7675oveq2d 5885 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐺𝑥)) = ((1 / (2↑𝑥)) · 1))
7756recnd 7976 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (1 / (2↑𝑥)) ∈ ℂ)
7877mulid1d 7965 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → ((1 / (2↑𝑥)) · 1) = (1 / (2↑𝑥)))
7976, 78eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐺𝑥)) = (1 / (2↑𝑥)))
8074, 79breqtrrd 4028 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 < ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐺𝑥)))
8152, 60, 73, 80addgegt0d 8466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 < (Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) + ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐺𝑥))))
82 nfv 1528 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1))
83 nfcv 2319 . . . . . . . 8 𝑖((1 / (2↑𝑥)) · (𝐺𝑥))
84 fzonel 10146 . . . . . . . . 9 ¬ 𝑥 ∈ (1..^𝑥)
8584a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → ¬ 𝑥 ∈ (1..^𝑥))
8650, 41sylan2 286 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) ∈ ℂ)
87 oveq2 5877 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑥 → (2↑𝑖) = (2↑𝑥))
8887oveq2d 5885 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑥 → (1 / (2↑𝑖)) = (1 / (2↑𝑥)))
89 fveq2 5511 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑥 → (𝐺𝑖) = (𝐺𝑥))
9088, 89oveq12d 5887 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑥 → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) = ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐺𝑥)))
9160recnd 7976 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
9282, 83, 48, 3, 85, 86, 90, 91fsumsplitsn 11402 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → Σ𝑖 ∈ ((1..^𝑥) ∪ {𝑥})((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) + ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐺𝑥))))
9381, 92breqtrrd 4028 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 < Σ𝑖 ∈ ((1..^𝑥) ∪ {𝑥})((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
943nncnd 8922 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
95 1cnd 7964 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 1 ∈ ℂ)
9694, 95pncand 8259 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → ((𝑥 + 1) − 1) = 𝑥)
9796oveq2d 5885 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (1...((𝑥 + 1) − 1)) = (1...𝑥))
983, 39eleqtrdi 2270 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ (ℤ‘1))
99 fzisfzounsn 10222 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℤ‘1) → (1...𝑥) = ((1..^𝑥) ∪ {𝑥}))
10098, 99syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (1...𝑥) = ((1..^𝑥) ∪ {𝑥}))
10197, 100eqtrd 2210 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (1...((𝑥 + 1) − 1)) = ((1..^𝑥) ∪ {𝑥}))
102101sumeq1d 11358 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → Σ𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ((1..^𝑥) ∪ {𝑥})((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
10393, 102breqtrrd 4028 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 < Σ𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
10434, 15syldan 282 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ)
10534, 23syldan 282 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → (𝐺𝑖) ∈ ℝ)
10634, 14syldan 282 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ+)
107106rpge0d 9687 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → 0 ≤ (1 / (2↑𝑖)))
10834, 70syldan 282 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → 0 ≤ (𝐺𝑖))
109104, 105, 107, 108mulge0d 8568 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → 0 ≤ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
11027, 5, 36, 35, 44, 109isumge0 11422 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
11126, 45, 103, 110addgtge0d 8467 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 < (Σ𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖))))
11239, 27, 4, 40, 41, 38isumsplit 11483 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖))))
113111, 112breqtrrd 4028 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 < Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
114 nconstwlpolem0.a . . 3 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖))
115113, 114breqtrrdi 4042 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 < 𝐴)
1161, 115rexlimddv 2599 1 (𝜑 → 0 < 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  wrex 2456  cun 3127  wss 3129  {csn 3591  {cpr 3592   class class class wbr 4000  cmpt 4061  dom cdm 4623  wf 5208  cfv 5212  (class class class)co 5869  Fincfn 6734  cc 7800  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982  cle 7983  cmin 8118   / cdiv 8618  cn 8908  2c2 8959  cz 9242  cuz 9517  +crp 9640  ...cfz 9995  ..^cfzo 10128  seqcseq 10431  cexp 10505  cli 11270  Σcsu 11345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-ico 9881  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346
This theorem is referenced by:  nconstwlpolem  14468
  Copyright terms: Public domain W3C validator