Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nconstwlpolemgt0 GIF version

Theorem nconstwlpolemgt0 14352
Description: Lemma for nconstwlpo 14354. If one of the terms of series is positive, so is the sum. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nconstwlpolem0.g (𝜑𝐺:ℕ⟶{0, 1})
nconstwlpolem0.a 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖))
nconstwlpolemgt0.0 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑥) = 1)
Assertion
Ref Expression
nconstwlpolemgt0 (𝜑 → 0 < 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑖,𝐺   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem nconstwlpolemgt0
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nconstwlpolemgt0.0 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑥) = 1)
2 1zzd 9251 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 1 ∈ ℤ)
3 simprl 529 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℕ)
43peano2nnd 8905 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
54nnzd 9345 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
65, 2zsubcld 9351 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → ((𝑥 + 1) − 1) ∈ ℤ)
72, 6fzfigd 10399 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (1...((𝑥 + 1) − 1)) ∈ Fin)
8 elfznn 10022 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ)
9 2rp 9627 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ+
109a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
11 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
1211nnzd 9345 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
1310, 12rpexpcld 10645 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (2↑𝑖) ∈ ℝ+)
1413rpreccld 9676 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ+)
1514rpred 9665 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ)
16 0re 7932 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
17 1re 7931 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
18 prssi 3747 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → {0, 1} ⊆ ℝ)
1916, 17, 18mp2an 426 . . . . . . . . 9 {0, 1} ⊆ ℝ
20 nconstwlpolem0.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:ℕ⟶{0, 1})
2120ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
2221, 11ffvelcdmd 5644 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐺𝑖) ∈ {0, 1})
2319, 22sselid 3151 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐺𝑖) ∈ ℝ)
2415, 23remulcld 7962 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) ∈ ℝ)
258, 24sylan2 286 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1))) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) ∈ ℝ)
267, 25fsumrecl 11375 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → Σ𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) ∈ ℝ)
27 eqid 2175 . . . . . 6 (ℤ‘(𝑥 + 1)) = (ℤ‘(𝑥 + 1))
28 eqid 2175 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)))
29 oveq2 5873 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑖 → (2↑𝑛) = (2↑𝑖))
3029oveq2d 5881 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑖 → (1 / (2↑𝑛)) = (1 / (2↑𝑖)))
31 fveq2 5507 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑖 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑖))
3230, 31oveq12d 5883 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑖 → ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)) = ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
33 eluznn 9571 . . . . . . . 8 (((𝑥 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
344, 33sylan 283 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
3534, 24syldan 282 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) ∈ ℝ)
3628, 32, 34, 35fvmptd3 5601 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)))‘𝑖) = ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
3720, 28trilpolemclim 14325 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
3837adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
39 nnuz 9534 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
4028, 32, 11, 24fvmptd3 5601 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)))‘𝑖) = ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
4124recnd 7960 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) ∈ ℂ)
4240, 41eqeltrd 2252 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)))‘𝑖) ∈ ℂ)
4339, 4, 42iserex 11313 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)))) ∈ dom ⇝ ↔ seq(𝑥 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)))) ∈ dom ⇝ ))
4438, 43mpbid 147 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → seq(𝑥 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐺𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
4527, 5, 36, 35, 44isumrecl 11403 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) ∈ ℝ)
463nnzd 9345 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℤ)
47 fzofig 10400 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (1..^𝑥) ∈ Fin)
482, 46, 47syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (1..^𝑥) ∈ Fin)
49 elfzo1 10158 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1..^𝑥) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑥))
5049simp1bi 1012 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1..^𝑥) → 𝑖 ∈ ℕ)
5150, 24sylan2 286 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) ∈ ℝ)
5248, 51fsumrecl 11375 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) ∈ ℝ)
539a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 2 ∈ ℝ+)
5453, 46rpexpcld 10645 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (2↑𝑥) ∈ ℝ+)
5554rpreccld 9676 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (1 / (2↑𝑥)) ∈ ℝ+)
5655rpred 9665 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (1 / (2↑𝑥)) ∈ ℝ)
5720adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 𝐺:ℕ⟶{0, 1})
5857, 3ffvelcdmd 5644 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (𝐺𝑥) ∈ {0, 1})
5919, 58sselid 3151 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
6056, 59remulcld 7962 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐺𝑥)) ∈ ℝ)
6114rpge0d 9669 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / (2↑𝑖)))
62 0le0 8979 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 0
63 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐺𝑖) = 0) → (𝐺𝑖) = 0)
6462, 63breqtrrid 4036 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐺𝑖) = 0) → 0 ≤ (𝐺𝑖))
65 0le1 8412 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 1
66 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐺𝑖) = 1) → (𝐺𝑖) = 1)
6765, 66breqtrrid 4036 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ (𝐺𝑖) = 1) → 0 ≤ (𝐺𝑖))
68 elpri 3612 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺𝑖) ∈ {0, 1} → ((𝐺𝑖) = 0 ∨ (𝐺𝑖) = 1))
6922, 68syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑖) = 0 ∨ (𝐺𝑖) = 1))
7064, 67, 69mpjaodan 798 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺𝑖))
7115, 23, 61, 70mulge0d 8552 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
7250, 71sylan2 286 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) → 0 ≤ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
7348, 51, 72fsumge0 11433 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
7455rpgt0d 9668 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 < (1 / (2↑𝑥)))
75 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (𝐺𝑥) = 1)
7675oveq2d 5881 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐺𝑥)) = ((1 / (2↑𝑥)) · 1))
7756recnd 7960 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (1 / (2↑𝑥)) ∈ ℂ)
7877mulid1d 7949 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → ((1 / (2↑𝑥)) · 1) = (1 / (2↑𝑥)))
7976, 78eqtrd 2208 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐺𝑥)) = (1 / (2↑𝑥)))
8074, 79breqtrrd 4026 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 < ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐺𝑥)))
8152, 60, 73, 80addgegt0d 8450 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 < (Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) + ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐺𝑥))))
82 nfv 1526 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1))
83 nfcv 2317 . . . . . . . 8 𝑖((1 / (2↑𝑥)) · (𝐺𝑥))
84 fzonel 10128 . . . . . . . . 9 ¬ 𝑥 ∈ (1..^𝑥)
8584a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → ¬ 𝑥 ∈ (1..^𝑥))
8650, 41sylan2 286 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) ∈ ℂ)
87 oveq2 5873 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑥 → (2↑𝑖) = (2↑𝑥))
8887oveq2d 5881 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑥 → (1 / (2↑𝑖)) = (1 / (2↑𝑥)))
89 fveq2 5507 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑥 → (𝐺𝑖) = (𝐺𝑥))
9088, 89oveq12d 5883 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑥 → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) = ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐺𝑥)))
9160recnd 7960 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
9282, 83, 48, 3, 85, 86, 90, 91fsumsplitsn 11384 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → Σ𝑖 ∈ ((1..^𝑥) ∪ {𝑥})((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) + ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐺𝑥))))
9381, 92breqtrrd 4026 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 < Σ𝑖 ∈ ((1..^𝑥) ∪ {𝑥})((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
943nncnd 8904 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
95 1cnd 7948 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 1 ∈ ℂ)
9694, 95pncand 8243 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → ((𝑥 + 1) − 1) = 𝑥)
9796oveq2d 5881 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (1...((𝑥 + 1) − 1)) = (1...𝑥))
983, 39eleqtrdi 2268 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ (ℤ‘1))
99 fzisfzounsn 10204 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℤ‘1) → (1...𝑥) = ((1..^𝑥) ∪ {𝑥}))
10098, 99syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (1...𝑥) = ((1..^𝑥) ∪ {𝑥}))
10197, 100eqtrd 2208 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → (1...((𝑥 + 1) − 1)) = ((1..^𝑥) ∪ {𝑥}))
102101sumeq1d 11340 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → Σ𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ((1..^𝑥) ∪ {𝑥})((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
10393, 102breqtrrd 4026 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 < Σ𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
10434, 15syldan 282 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ)
10534, 23syldan 282 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → (𝐺𝑖) ∈ ℝ)
10634, 14syldan 282 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ+)
107106rpge0d 9669 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → 0 ≤ (1 / (2↑𝑖)))
10834, 70syldan 282 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → 0 ≤ (𝐺𝑖))
109104, 105, 107, 108mulge0d 8552 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → 0 ≤ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
11027, 5, 36, 35, 44, 109isumge0 11404 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
11126, 45, 103, 110addgtge0d 8451 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 < (Σ𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖))))
11239, 27, 4, 40, 41, 38isumsplit 11465 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖))))
113111, 112breqtrrd 4026 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 < Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖)))
114 nconstwlpolem0.a . . 3 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐺𝑖))
115113, 114breqtrrdi 4040 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑥) = 1)) → 0 < 𝐴)
1161, 115rexlimddv 2597 1 (𝜑 → 0 < 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wo 708   = wceq 1353  wcel 2146  wrex 2454  cun 3125  wss 3127  {csn 3589  {cpr 3590   class class class wbr 3998  cmpt 4059  dom cdm 4620  wf 5204  cfv 5208  (class class class)co 5865  Fincfn 6730  cc 7784  cr 7785  0cc0 7786  1c1 7787   + caddc 7789   · cmul 7791   < clt 7966  cle 7967  cmin 8102   / cdiv 8601  cn 8890  2c2 8941  cz 9224  cuz 9499  +crp 9622  ...cfz 9977  ..^cfzo 10110  seqcseq 10413  cexp 10487  cli 11252  Σcsu 11327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-oadd 6411  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-ico 9863  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-ihash 10722  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974  df-clim 11253  df-sumdc 11328
This theorem is referenced by:  nconstwlpolem  14353
  Copyright terms: Public domain W3C validator