Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nconstwlpolemgt0 GIF version

Theorem nconstwlpolemgt0 14814
Description: Lemma for nconstwlpo 14816. If one of the terms of series is positive, so is the sum. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nconstwlpolem0.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ:โ„•โŸถ{0, 1})
nconstwlpolem0.a ๐ด = ฮฃ๐‘– โˆˆ โ„• ((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–))
nconstwlpolemgt0.0 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)
Assertion
Ref Expression
nconstwlpolemgt0 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘–,๐บ   ๐œ‘,๐‘–,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–)   ๐บ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem nconstwlpolemgt0
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nconstwlpolemgt0.0 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)
2 1zzd 9280 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
3 simprl 529 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
43peano2nnd 8934 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ + 1) โˆˆ โ„•)
54nnzd 9374 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ + 1) โˆˆ โ„ค)
65, 2zsubcld 9380 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ + 1) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
72, 6fzfigd 10431 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (1...((๐‘ฅ + 1) โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
8 elfznn 10054 . . . . . . 7 (๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ฅ + 1) โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
9 2rp 9658 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„+
109a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
11 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
1211nnzd 9374 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
1310, 12rpexpcld 10678 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘–) โˆˆ โ„+)
1413rpreccld 9707 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (2โ†‘๐‘–)) โˆˆ โ„+)
1514rpred 9696 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (2โ†‘๐‘–)) โˆˆ โ„)
16 0re 7957 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
17 1re 7956 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„
18 prssi 3751 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ {0, 1} โŠ† โ„)
1916, 17, 18mp2an 426 . . . . . . . . 9 {0, 1} โŠ† โ„
20 nconstwlpolem0.g . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:โ„•โŸถ{0, 1})
2120ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โ†’ ๐บ:โ„•โŸถ{0, 1})
2221, 11ffvelcdmd 5653 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘–) โˆˆ {0, 1})
2319, 22sselid 3154 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
2415, 23remulcld 7988 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„)
258, 24sylan2 286 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ฅ + 1) โˆ’ 1))) โ†’ ((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„)
267, 25fsumrecl 11409 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ฅ + 1) โˆ’ 1))((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„)
27 eqid 2177 . . . . . 6 (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ฅ + 1)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ฅ + 1))
28 eqid 2177 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / (2โ†‘๐‘›)) ยท (๐บโ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / (2โ†‘๐‘›)) ยท (๐บโ€˜๐‘›)))
29 oveq2 5883 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘– โ†’ (2โ†‘๐‘›) = (2โ†‘๐‘–))
3029oveq2d 5891 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘– โ†’ (1 / (2โ†‘๐‘›)) = (1 / (2โ†‘๐‘–)))
31 fveq2 5516 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘– โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) = (๐บโ€˜๐‘–))
3230, 31oveq12d 5893 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘– โ†’ ((1 / (2โ†‘๐‘›)) ยท (๐บโ€˜๐‘›)) = ((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))
33 eluznn 9600 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ + 1) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ฅ + 1))) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
344, 33sylan 283 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ฅ + 1))) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
3534, 24syldan 282 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ฅ + 1))) โ†’ ((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„)
3628, 32, 34, 35fvmptd3 5610 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ฅ + 1))) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / (2โ†‘๐‘›)) ยท (๐บโ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘–) = ((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))
3720, 28trilpolemclim 14787 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / (2โ†‘๐‘›)) ยท (๐บโ€˜๐‘›)))) โˆˆ dom โ‡ )
3837adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / (2โ†‘๐‘›)) ยท (๐บโ€˜๐‘›)))) โˆˆ dom โ‡ )
39 nnuz 9563 . . . . . . . 8 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
4028, 32, 11, 24fvmptd3 5610 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / (2โ†‘๐‘›)) ยท (๐บโ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘–) = ((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))
4124recnd 7986 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚)
4240, 41eqeltrd 2254 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / (2โ†‘๐‘›)) ยท (๐บโ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
4339, 4, 42iserex 11347 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / (2โ†‘๐‘›)) ยท (๐บโ€˜๐‘›)))) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq(๐‘ฅ + 1)( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / (2โ†‘๐‘›)) ยท (๐บโ€˜๐‘›)))) โˆˆ dom โ‡ ))
4438, 43mpbid 147 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ seq(๐‘ฅ + 1)( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / (2โ†‘๐‘›)) ยท (๐บโ€˜๐‘›)))) โˆˆ dom โ‡ )
4527, 5, 36, 35, 44isumrecl 11437 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ฅ + 1))((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„)
463nnzd 9374 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
47 fzofig 10432 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (1..^๐‘ฅ) โˆˆ Fin)
482, 46, 47syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (1..^๐‘ฅ) โˆˆ Fin)
49 elfzo1 10190 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– โˆˆ (1..^๐‘ฅ) โ†” (๐‘– โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– < ๐‘ฅ))
5049simp1bi 1012 . . . . . . . . . 10 (๐‘– โˆˆ (1..^๐‘ฅ) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
5150, 24sylan2 286 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1..^๐‘ฅ)) โ†’ ((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„)
5248, 51fsumrecl 11409 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1..^๐‘ฅ)((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„)
539a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
5453, 46rpexpcld 10678 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (2โ†‘๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
5554rpreccld 9707 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (1 / (2โ†‘๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+)
5655rpred 9696 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (1 / (2โ†‘๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
5720adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐บ:โ„•โŸถ{0, 1})
5857, 3ffvelcdmd 5653 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ {0, 1})
5919, 58sselid 3154 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
6056, 59remulcld 7988 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((1 / (2โ†‘๐‘ฅ)) ยท (๐บโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
6114rpge0d 9700 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (2โ†‘๐‘–)))
62 0le0 9008 . . . . . . . . . . . . 13 0 โ‰ค 0
63 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐บโ€˜๐‘–) = 0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘–) = 0)
6462, 63breqtrrid 4042 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐บโ€˜๐‘–) = 0) โ†’ 0 โ‰ค (๐บโ€˜๐‘–))
65 0le1 8438 . . . . . . . . . . . . 13 0 โ‰ค 1
66 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐บโ€˜๐‘–) = 1) โ†’ (๐บโ€˜๐‘–) = 1)
6765, 66breqtrrid 4042 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โˆง (๐บโ€˜๐‘–) = 1) โ†’ 0 โ‰ค (๐บโ€˜๐‘–))
68 elpri 3616 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บโ€˜๐‘–) โˆˆ {0, 1} โ†’ ((๐บโ€˜๐‘–) = 0 โˆจ (๐บโ€˜๐‘–) = 1))
6922, 68syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘–) = 0 โˆจ (๐บโ€˜๐‘–) = 1))
7064, 67, 69mpjaodan 798 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐บโ€˜๐‘–))
7115, 23, 61, 70mulge0d 8578 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค ((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))
7250, 71sylan2 286 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1..^๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค ((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))
7348, 51, 72fsumge0 11467 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ 0 โ‰ค ฮฃ๐‘– โˆˆ (1..^๐‘ฅ)((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))
7455rpgt0d 9699 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ 0 < (1 / (2โ†‘๐‘ฅ)))
75 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)
7675oveq2d 5891 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((1 / (2โ†‘๐‘ฅ)) ยท (๐บโ€˜๐‘ฅ)) = ((1 / (2โ†‘๐‘ฅ)) ยท 1))
7756recnd 7986 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (1 / (2โ†‘๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
7877mulridd 7974 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((1 / (2โ†‘๐‘ฅ)) ยท 1) = (1 / (2โ†‘๐‘ฅ)))
7976, 78eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((1 / (2โ†‘๐‘ฅ)) ยท (๐บโ€˜๐‘ฅ)) = (1 / (2โ†‘๐‘ฅ)))
8074, 79breqtrrd 4032 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ 0 < ((1 / (2โ†‘๐‘ฅ)) ยท (๐บโ€˜๐‘ฅ)))
8152, 60, 73, 80addgegt0d 8476 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ 0 < (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1..^๐‘ฅ)((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) + ((1 / (2โ†‘๐‘ฅ)) ยท (๐บโ€˜๐‘ฅ))))
82 nfv 1528 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘–(๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1))
83 nfcv 2319 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘–((1 / (2โ†‘๐‘ฅ)) ยท (๐บโ€˜๐‘ฅ))
84 fzonel 10160 . . . . . . . . 9 ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ (1..^๐‘ฅ)
8584a1i 9 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ (1..^๐‘ฅ))
8650, 41sylan2 286 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1..^๐‘ฅ)) โ†’ ((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚)
87 oveq2 5883 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = ๐‘ฅ โ†’ (2โ†‘๐‘–) = (2โ†‘๐‘ฅ))
8887oveq2d 5891 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘ฅ โ†’ (1 / (2โ†‘๐‘–)) = (1 / (2โ†‘๐‘ฅ)))
89 fveq2 5516 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘ฅ โ†’ (๐บโ€˜๐‘–) = (๐บโ€˜๐‘ฅ))
9088, 89oveq12d 5893 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘ฅ โ†’ ((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) = ((1 / (2โ†‘๐‘ฅ)) ยท (๐บโ€˜๐‘ฅ)))
9160recnd 7986 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((1 / (2โ†‘๐‘ฅ)) ยท (๐บโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
9282, 83, 48, 3, 85, 86, 90, 91fsumsplitsn 11418 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ ((1..^๐‘ฅ) โˆช {๐‘ฅ})((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) = (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1..^๐‘ฅ)((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) + ((1 / (2โ†‘๐‘ฅ)) ยท (๐บโ€˜๐‘ฅ))))
9381, 92breqtrrd 4032 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ 0 < ฮฃ๐‘– โˆˆ ((1..^๐‘ฅ) โˆช {๐‘ฅ})((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))
943nncnd 8933 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
95 1cnd 7973 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
9694, 95pncand 8269 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘ฅ)
9796oveq2d 5891 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (1...((๐‘ฅ + 1) โˆ’ 1)) = (1...๐‘ฅ))
983, 39eleqtrdi 2270 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
99 fzisfzounsn 10236 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ (1...๐‘ฅ) = ((1..^๐‘ฅ) โˆช {๐‘ฅ}))
10098, 99syl 14 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (1...๐‘ฅ) = ((1..^๐‘ฅ) โˆช {๐‘ฅ}))
10197, 100eqtrd 2210 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (1...((๐‘ฅ + 1) โˆ’ 1)) = ((1..^๐‘ฅ) โˆช {๐‘ฅ}))
102101sumeq1d 11374 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ฅ + 1) โˆ’ 1))((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) = ฮฃ๐‘– โˆˆ ((1..^๐‘ฅ) โˆช {๐‘ฅ})((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))
10393, 102breqtrrd 4032 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ 0 < ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ฅ + 1) โˆ’ 1))((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))
10434, 15syldan 282 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ฅ + 1))) โ†’ (1 / (2โ†‘๐‘–)) โˆˆ โ„)
10534, 23syldan 282 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ฅ + 1))) โ†’ (๐บโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
10634, 14syldan 282 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ฅ + 1))) โ†’ (1 / (2โ†‘๐‘–)) โˆˆ โ„+)
107106rpge0d 9700 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ฅ + 1))) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (2โ†‘๐‘–)))
10834, 70syldan 282 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ฅ + 1))) โ†’ 0 โ‰ค (๐บโ€˜๐‘–))
109104, 105, 107, 108mulge0d 8578 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ฅ + 1))) โ†’ 0 โ‰ค ((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))
11027, 5, 36, 35, 44, 109isumge0 11438 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ 0 โ‰ค ฮฃ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ฅ + 1))((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))
11126, 45, 103, 110addgtge0d 8477 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ 0 < (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ฅ + 1) โˆ’ 1))((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) + ฮฃ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ฅ + 1))((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–))))
11239, 27, 4, 40, 41, 38isumsplit 11499 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ โ„• ((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) = (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ฅ + 1) โˆ’ 1))((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) + ฮฃ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ฅ + 1))((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–))))
113111, 112breqtrrd 4032 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ 0 < ฮฃ๐‘– โˆˆ โ„• ((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))
114 nconstwlpolem0.a . . 3 ๐ด = ฮฃ๐‘– โˆˆ โ„• ((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐บโ€˜๐‘–))
115113, 114breqtrrdi 4046 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง (๐บโ€˜๐‘ฅ) = 1)) โ†’ 0 < ๐ด)
1161, 115rexlimddv 2599 1 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 708   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   โˆช cun 3128   โŠ† wss 3130  {csn 3593  {cpr 3594   class class class wbr 4004   โ†ฆ cmpt 4065  dom cdm 4627  โŸถwf 5213  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  Fincfn 6740  โ„‚cc 7809  โ„cr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   ยท cmul 7816   < clt 7992   โ‰ค cle 7993   โˆ’ cmin 8128   / cdiv 8629  โ„•cn 8919  2c2 8970  โ„คcz 9253  โ„คโ‰ฅcuz 9528  โ„+crp 9653  ...cfz 10008  ..^cfzo 10142  seqcseq 10445  โ†‘cexp 10519   โ‡ cli 11286  ฮฃcsu 11361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-ico 9894  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362
This theorem is referenced by:  nconstwlpolem  14815
  Copyright terms: Public domain W3C validator