Theorem sqrt2irrlem 12144

Description: Lemma for sqrt2irr 12145. This is the core of the proof: - if 𝐴 / 𝐵 = √(2), then 𝐴 and 𝐵 are even, so 𝐴 / 2 and 𝐵 / 2 are smaller representatives, which is absurd by the method of infinite descent (here implemented by strong induction). (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqrt2irrlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
sqrt2irrlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
sqrt2irrlem.3	⊢ (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
sqrt2irrlem	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem sqrt2irrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 8978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		0le2 8998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 2
3		resqrtth 11024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2)↑2) = 2)
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((√‘2)↑2) = 2
5		sqrt2irrlem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
6	5	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((√‘2)↑2) = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
7	4, 6	eqtr3id 2224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
8		sqrt2irrlem.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 9365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10		sqrt2irrlem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
11	10	nncnd 8922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12	10	nnap0d 8954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
13	9, 11, 12	sqdivapd 10652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
14	7, 13	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
15	14	oveq1d 5884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)))
16	9	sqcld 10637	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
17	10	nnsqcld 10660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
18	17	nncnd 8922	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
19	17	nnap0d 8954	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) # 0)
20	16, 18, 19	divcanap1d 8737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
21	15, 20	eqtrd 2210	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
22	21	oveq1d 5884	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = ((𝐴↑2) / 2))
23		2cnd 8981	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
24		2ap0 9001	. . . . . . . 8 ⊢ 2 # 0
25	24	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 # 0)
26	18, 23, 25	divcanap3d 8741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = (𝐵↑2))
27	22, 26	eqtr3d 2212	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) = (𝐵↑2))
28	27, 17	eqeltrd 2254	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 9363	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ)
30		zesq 10624	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
31	8, 30	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
32	29, 31	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
33		2cn 8979	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
34	33	sqvali 10585	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑2) = (2 · 2)
35	34	oveq2i 5880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑2) / (2↑2)) = ((𝐴↑2) / (2 · 2))
36	9, 23, 25	sqdivapd 10652	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐴↑2) / (2↑2)))
37	16, 23, 23, 25, 25	divdivap1d 8768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
38	35, 36, 37	3eqtr4a 2236	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = (((𝐴↑2) / 2) / 2))
39	27	oveq1d 5884	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐵↑2) / 2))
40	38, 39	eqtrd 2210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / 2))
41		zsqcl 10576	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℤ → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
42	32, 41	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
43	40, 42	eqeltrrd 2255	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ)
44	17	nnrpd 9681	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ+)
45	44	rphalfcld 9696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℝ+)
46	45	rpgt0d 9686	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐵↑2) / 2))
47		elnnz 9252	. . . 4 ⊢ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐵↑2) / 2)))
48	43, 46, 47	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ)
49		nnesq 10625	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
50	10, 49	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
51	48, 50	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
52	32, 51	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4000  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869  ℝcr 7801  0cc0 7802   · cmul 7807   < clt 7982   ≤ cle 7983   # cap 8528   / cdiv 8618  ℕcn 8908  2c2 8959  ℤcz 9242  ↑cexp 10505  √csqrt 10989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-rsqrt 10991

This theorem is referenced by:  sqrt2irr  12145