Theorem sqrt2irrlem 11632

Description: Lemma for sqrt2irr 11633. This is the core of the proof: - if 𝐴 / 𝐵 = √(2), then 𝐴 and 𝐵 are even, so 𝐴 / 2 and 𝐵 / 2 are smaller representatives, which is absurd by the method of infinite descent (here implemented by strong induction). (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqrt2irrlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
sqrt2irrlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
sqrt2irrlem.3	⊢ (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
sqrt2irrlem	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem sqrt2irrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 8648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		0le2 8668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 2
3		resqrtth 10643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2)↑2) = 2)
4	1, 2, 3	mp2an 420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((√‘2)↑2) = 2
5		sqrt2irrlem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
6	5	oveq1d 5721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((√‘2)↑2) = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
7	4, 6	syl5eqr 2146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
8		sqrt2irrlem.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 9026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10		sqrt2irrlem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
11	10	nncnd 8592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12	10	nnap0d 8624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
13	9, 11, 12	sqdivapd 10278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
14	7, 13	eqtrd 2132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
15	14	oveq1d 5721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)))
16	9	sqcld 10263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
17	10	nnsqcld 10286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
18	17	nncnd 8592	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
19	17	nnap0d 8624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) # 0)
20	16, 18, 19	divcanap1d 8412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
21	15, 20	eqtrd 2132	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
22	21	oveq1d 5721	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = ((𝐴↑2) / 2))
23		2cnd 8651	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
24		2ap0 8671	. . . . . . . 8 ⊢ 2 # 0
25	24	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 # 0)
26	18, 23, 25	divcanap3d 8416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = (𝐵↑2))
27	22, 26	eqtr3d 2134	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) = (𝐵↑2))
28	27, 17	eqeltrd 2176	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 9024	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ)
30		zesq 10251	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
31	8, 30	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
32	29, 31	mpbird 166	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
33		2cn 8649	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
34	33	sqvali 10213	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑2) = (2 · 2)
35	34	oveq2i 5717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑2) / (2↑2)) = ((𝐴↑2) / (2 · 2))
36	9, 23, 25	sqdivapd 10278	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐴↑2) / (2↑2)))
37	16, 23, 23, 25, 25	divdivap1d 8443	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
38	35, 36, 37	3eqtr4a 2158	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = (((𝐴↑2) / 2) / 2))
39	27	oveq1d 5721	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐵↑2) / 2))
40	38, 39	eqtrd 2132	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / 2))
41		zsqcl 10204	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℤ → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
42	32, 41	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
43	40, 42	eqeltrrd 2177	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ)
44	17	nnrpd 9329	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ+)
45	44	rphalfcld 9343	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℝ+)
46	45	rpgt0d 9333	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐵↑2) / 2))
47		elnnz 8916	. . . 4 ⊢ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐵↑2) / 2)))
48	43, 46, 47	sylanbrc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ)
49		nnesq 10252	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
50	10, 49	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
51	48, 50	mpbird 166	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
52	32, 51	jca 302	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1299   ∈ wcel 1448   class class class wbr 3875  ‘cfv 5059  (class class class)co 5706  ℝcr 7499  0cc0 7500   · cmul 7505   < clt 7672   ≤ cle 7673   # cap 8209   / cdiv 8293  ℕcn 8578  2c2 8629  ℤcz 8906  ↑cexp 10133  √csqrt 10608

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-rp 9292  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-rsqrt 10610

This theorem is referenced by:  sqrt2irr  11633