Theorem sqrt2irrlem 12161

Description: Lemma for sqrt2irr 12162. This is the core of the proof: - if 𝐴 / 𝐵 = √(2), then 𝐴 and 𝐵 are even, so 𝐴 / 2 and 𝐵 / 2 are smaller representatives, which is absurd by the method of infinite descent (here implemented by strong induction). (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqrt2irrlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
sqrt2irrlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
sqrt2irrlem.3	⊢ (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
sqrt2irrlem	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem sqrt2irrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 8989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		0le2 9009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 2
3		resqrtth 11040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2)↑2) = 2)
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((√‘2)↑2) = 2
5		sqrt2irrlem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
6	5	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((√‘2)↑2) = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
7	4, 6	eqtr3id 2224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
8		sqrt2irrlem.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 9376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10		sqrt2irrlem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
11	10	nncnd 8933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12	10	nnap0d 8965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
13	9, 11, 12	sqdivapd 10667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
14	7, 13	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
15	14	oveq1d 5890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)))
16	9	sqcld 10652	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
17	10	nnsqcld 10675	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
18	17	nncnd 8933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
19	17	nnap0d 8965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) # 0)
20	16, 18, 19	divcanap1d 8748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
21	15, 20	eqtrd 2210	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
22	21	oveq1d 5890	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = ((𝐴↑2) / 2))
23		2cnd 8992	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
24		2ap0 9012	. . . . . . . 8 ⊢ 2 # 0
25	24	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 # 0)
26	18, 23, 25	divcanap3d 8752	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = (𝐵↑2))
27	22, 26	eqtr3d 2212	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) = (𝐵↑2))
28	27, 17	eqeltrd 2254	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 9374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ)
30		zesq 10639	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
31	8, 30	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
32	29, 31	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
33		2cn 8990	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
34	33	sqvali 10600	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑2) = (2 · 2)
35	34	oveq2i 5886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑2) / (2↑2)) = ((𝐴↑2) / (2 · 2))
36	9, 23, 25	sqdivapd 10667	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐴↑2) / (2↑2)))
37	16, 23, 23, 25, 25	divdivap1d 8779	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
38	35, 36, 37	3eqtr4a 2236	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = (((𝐴↑2) / 2) / 2))
39	27	oveq1d 5890	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐵↑2) / 2))
40	38, 39	eqtrd 2210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / 2))
41		zsqcl 10591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℤ → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
42	32, 41	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
43	40, 42	eqeltrrd 2255	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ)
44	17	nnrpd 9694	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ+)
45	44	rphalfcld 9709	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℝ+)
46	45	rpgt0d 9699	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐵↑2) / 2))
47		elnnz 9263	. . . 4 ⊢ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐵↑2) / 2)))
48	43, 46, 47	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ)
49		nnesq 10640	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
50	10, 49	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
51	48, 50	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
52	32, 51	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  ℝcr 7810  0cc0 7811   · cmul 7816   < clt 7992   ≤ cle 7993   # cap 8538   / cdiv 8629  ℕcn 8919  2c2 8970  ℤcz 9253  ↑cexp 10519  √csqrt 11005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-rp 9654  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-rsqrt 11007

This theorem is referenced by:  sqrt2irr  12162