Theorem sqrt2irrlem 12922

Description: Lemma for sqrt2irr 12923. This is the core of the proof: - if 𝐴 / 𝐵 = √(2), then 𝐴 and 𝐵 are even, so 𝐴 / 2 and 𝐵 / 2 are smaller representatives, which is absurd by the method of infinite descent (here implemented by strong induction). (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqrt2irrlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
sqrt2irrlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
sqrt2irrlem.3	⊢ (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
sqrt2irrlem	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem sqrt2irrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		0le2 9377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 2
3		resqrtth 11780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2)↑2) = 2)
4	1, 2, 3	mp2an 430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((√‘2)↑2) = 2
5		sqrt2irrlem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
6	5	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((√‘2)↑2) = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
7	4, 6	eqtr3id 2285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
8		sqrt2irrlem.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 9752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10		sqrt2irrlem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
11	10	nncnd 9301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12	10	nnap0d 9333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
13	9, 11, 12	sqdivapd 11107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
14	7, 13	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
15	14	oveq1d 6094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)))
16	9	sqcld 11092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
17	10	nnsqcld 11115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
18	17	nncnd 9301	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
19	17	nnap0d 9333	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) # 0)
20	16, 18, 19	divcanap1d 9115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
21	15, 20	eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
22	21	oveq1d 6094	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = ((𝐴↑2) / 2))
23		2cnd 9360	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
24		2ap0 9380	. . . . . . . 8 ⊢ 2 # 0
25	24	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 # 0)
26	18, 23, 25	divcanap3d 9119	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = (𝐵↑2))
27	22, 26	eqtr3d 2273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) = (𝐵↑2))
28	27, 17	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 9750	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ)
30		zesq 11079	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
31	8, 30	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
32	29, 31	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
33		2cn 9358	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
34	33	sqvali 11039	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑2) = (2 · 2)
35	34	oveq2i 6090	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑2) / (2↑2)) = ((𝐴↑2) / (2 · 2))
36	9, 23, 25	sqdivapd 11107	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐴↑2) / (2↑2)))
37	16, 23, 23, 25, 25	divdivap1d 9146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
38	35, 36, 37	3eqtr4a 2297	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = (((𝐴↑2) / 2) / 2))
39	27	oveq1d 6094	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐵↑2) / 2))
40	38, 39	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / 2))
41		zsqcl 11030	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℤ → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
42	32, 41	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
43	40, 42	eqeltrrd 2316	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ)
44	17	nnrpd 10078	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ+)
45	44	rphalfcld 10093	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℝ+)
46	45	rpgt0d 10083	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐵↑2) / 2))
47		elnnz 9637	. . . 4 ⊢ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐵↑2) / 2)))
48	43, 46, 47	sylanbrc 421	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ)
49		nnesq 11080	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
50	10, 49	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
51	48, 50	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
52	32, 51	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℝcr 8172  0cc0 8173   · cmul 8178   < clt 8354   ≤ cle 8355   # cap 8903   / cdiv 8996  ℕcn 9287  2c2 9338  ℤcz 9627  ↑cexp 10958  √csqrt 11745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-rp 10038  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-rsqrt 11747

This theorem is referenced by:  sqrt2irr  12923