Theorem sqrt2irrlem 12683

Description: Lemma for sqrt2irr 12684. This is the core of the proof: - if 𝐴 / 𝐵 = √(2), then 𝐴 and 𝐵 are even, so 𝐴 / 2 and 𝐵 / 2 are smaller representatives, which is absurd by the method of infinite descent (here implemented by strong induction). (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqrt2irrlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
sqrt2irrlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
sqrt2irrlem.3	⊢ (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
sqrt2irrlem	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem sqrt2irrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		0le2 9200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 2
3		resqrtth 11542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2)↑2) = 2)
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((√‘2)↑2) = 2
5		sqrt2irrlem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
6	5	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((√‘2)↑2) = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
7	4, 6	eqtr3id 2276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
8		sqrt2irrlem.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 9570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10		sqrt2irrlem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
11	10	nncnd 9124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12	10	nnap0d 9156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
13	9, 11, 12	sqdivapd 10908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
14	7, 13	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
15	14	oveq1d 6016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)))
16	9	sqcld 10893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
17	10	nnsqcld 10916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
18	17	nncnd 9124	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
19	17	nnap0d 9156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) # 0)
20	16, 18, 19	divcanap1d 8938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
21	15, 20	eqtrd 2262	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
22	21	oveq1d 6016	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = ((𝐴↑2) / 2))
23		2cnd 9183	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
24		2ap0 9203	. . . . . . . 8 ⊢ 2 # 0
25	24	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 # 0)
26	18, 23, 25	divcanap3d 8942	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = (𝐵↑2))
27	22, 26	eqtr3d 2264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) = (𝐵↑2))
28	27, 17	eqeltrd 2306	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 9568	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ)
30		zesq 10880	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
31	8, 30	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
32	29, 31	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
33		2cn 9181	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
34	33	sqvali 10841	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑2) = (2 · 2)
35	34	oveq2i 6012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑2) / (2↑2)) = ((𝐴↑2) / (2 · 2))
36	9, 23, 25	sqdivapd 10908	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐴↑2) / (2↑2)))
37	16, 23, 23, 25, 25	divdivap1d 8969	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
38	35, 36, 37	3eqtr4a 2288	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = (((𝐴↑2) / 2) / 2))
39	27	oveq1d 6016	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐵↑2) / 2))
40	38, 39	eqtrd 2262	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / 2))
41		zsqcl 10832	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℤ → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
42	32, 41	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
43	40, 42	eqeltrrd 2307	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ)
44	17	nnrpd 9890	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ+)
45	44	rphalfcld 9905	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℝ+)
46	45	rpgt0d 9895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐵↑2) / 2))
47		elnnz 9456	. . . 4 ⊢ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐵↑2) / 2)))
48	43, 46, 47	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ)
49		nnesq 10881	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
50	10, 49	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
51	48, 50	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
52	32, 51	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001  ℝcr 7998  0cc0 7999   · cmul 8004   < clt 8181   ≤ cle 8182   # cap 8728   / cdiv 8819  ℕcn 9110  2c2 9161  ℤcz 9446  ↑cexp 10760  √csqrt 11507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-rp 9850  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-rsqrt 11509

This theorem is referenced by:  sqrt2irr  12684