Theorem mulc1cncf 15673

Description: Multiplication by a constant is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulc1cncf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
mulc1cncf	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem mulc1cncf

Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcl 8300	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
2		mulc1cncf.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))
3	1, 2	fmptd 5856	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
4		simprr 537	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
5		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		simprl 535	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℂ)
7		mulcn2 12061	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
9		fvoveq1 6102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (abs‘(𝑣 − 𝐴)) = (abs‘(𝐴 − 𝐴)))
10	9	breq1d 4138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡))
11	10	anbi1d 469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤)))
12		oveq1 6086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (𝑣 · 𝑢) = (𝐴 · 𝑢))
13	12	fvoveq1d 6101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) = (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))))
14	13	breq1d 4138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
15	11, 14	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) ↔ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
16	15	ralbidv 2550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
17	16	rspcv 2925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
18	17	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
19		subid 8539	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 𝐴) = 0)
20	19	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐴 − 𝐴) = 0)
21	20	abs00bd 11815	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) = 0)
22		simprll 543	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝑡 ∈ ℝ+)
23	22	rpgt0d 10083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 0 < 𝑡)
24	21, 23	eqbrtrd 4150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡)
25	24	biantrurd 305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤)))
26		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝑢 ∈ ℂ)
27		simpll 531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
28	27, 26	mulcld 8340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝑢) ∈ ℂ)
29		oveq2 6087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑢))
30	29, 2	fvmptg 5778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝑢) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑢) = (𝐴 · 𝑢))
31	26, 28, 30	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑢) = (𝐴 · 𝑢))
32		simplrl 541	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
33	27, 32	mulcld 8340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
34		oveq2 6087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
35	34, 2	fvmptg 5778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐴 · 𝑦))
36	32, 33, 35	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐴 · 𝑦))
37	31, 36	oveq12d 6097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦)) = ((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦)))
38	37	fveq2d 5697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) = (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))))
39	38	breq1d 4138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
40	25, 39	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧) ↔ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
41	40	anassrs 404	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧) ↔ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
42	41	ralbidva 2546	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
43	18, 42	sylibrd 169	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧)))
44	43	anassrs 404	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧)))
45	44	reximdva 2652	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧)))
46	45	rexlimdva 2668	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧)))
47	8, 46	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧))
48	47	ralrimivva 2632	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧))
49		ssid 3268	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
50		elcncf2 15658	. . 3 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧))))
51	49, 49, 50	mp2an 430	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧)))
52	3, 48, 51	sylanbrc 421	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4128   ↦ cmpt 4190  ⟶wf 5371  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  0cc0 8173   · cmul 8178   < clt 8354   − cmin 8491  ℝ⁺crp 10037  abscabs 11746  –cn→ccncf 15654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-map 6918  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-rp 10038  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-cncf 15655

This theorem is referenced by:  divccncfap  15674  cdivcncfap  15688  sincn  15853  coscn  15854