Theorem mulc1cncf 14744

Description: Multiplication by a constant is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulc1cncf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
mulc1cncf	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem mulc1cncf

Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcl 7999	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
2		mulc1cncf.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))
3	1, 2	fmptd 5712	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
4		simprr 531	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
5		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		simprl 529	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℂ)
7		mulcn2 11455	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
9		fvoveq1 5941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (abs‘(𝑣 − 𝐴)) = (abs‘(𝐴 − 𝐴)))
10	9	breq1d 4039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡))
11	10	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤)))
12		oveq1 5925	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (𝑣 · 𝑢) = (𝐴 · 𝑢))
13	12	fvoveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) = (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))))
14	13	breq1d 4039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
15	11, 14	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) ↔ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
16	15	ralbidv 2494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
17	16	rspcv 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
18	17	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
19		subid 8238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 𝐴) = 0)
20	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐴 − 𝐴) = 0)
21	20	abs00bd 11210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) = 0)
22		simprll 537	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝑡 ∈ ℝ+)
23	22	rpgt0d 9765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 0 < 𝑡)
24	21, 23	eqbrtrd 4051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡)
25	24	biantrurd 305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤)))
26		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝑢 ∈ ℂ)
27		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
28	27, 26	mulcld 8040	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝑢) ∈ ℂ)
29		oveq2 5926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑢))
30	29, 2	fvmptg 5633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝑢) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑢) = (𝐴 · 𝑢))
31	26, 28, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑢) = (𝐴 · 𝑢))
32		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
33	27, 32	mulcld 8040	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
34		oveq2 5926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
35	34, 2	fvmptg 5633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐴 · 𝑦))
36	32, 33, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐴 · 𝑦))
37	31, 36	oveq12d 5936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦)) = ((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦)))
38	37	fveq2d 5558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) = (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))))
39	38	breq1d 4039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
40	25, 39	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧) ↔ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
41	40	anassrs 400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧) ↔ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
42	41	ralbidva 2490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
43	18, 42	sylibrd 169	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧)))
44	43	anassrs 400	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧)))
45	44	reximdva 2596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧)))
46	45	rexlimdva 2611	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧)))
47	8, 46	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧))
48	47	ralrimivva 2576	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧))
49		ssid 3199	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
50		elcncf2 14729	. . 3 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧))))
51	49, 49, 50	mp2an 426	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧)))
52	3, 48, 51	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473   ⊆ wss 3153   class class class wbr 4029   ↦ cmpt 4090  ⟶wf 5250  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  0cc0 7872   · cmul 7877   < clt 8054   − cmin 8190  ℝ⁺crp 9719  abscabs 11141  –cn→ccncf 14725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-map 6704  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-rp 9720  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-cncf 14726

This theorem is referenced by:  divccncfap  14745  cdivcncfap  14758  sincn  14904  coscn  14905