Theorem iooref1o 14066

Description: A one-to-one mapping from the real numbers onto the open unit interval. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
iooref1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (1 / (1 + (exp‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
iooref1o	⊢ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(0(,)1)

Proof of Theorem iooref1o

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooref1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (1 / (1 + (exp‘𝑥))))
2		1rp 9614	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
3	2	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ+)
4		rpefcl 11648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
5	3, 4	rpaddcld 9669	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 + (exp‘𝑥)) ∈ ℝ+)
6	5	rpreccld 9664	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ ℝ+)
7	6	rpred 9653	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ ℝ)
8	6	rpgt0d 9656	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 0 < (1 / (1 + (exp‘𝑥))))
9		1red 7935	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
10	9, 4	ltaddrpd 9687	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 1 < (1 + (exp‘𝑥)))
11	5	recgt1d 9668	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 < (1 + (exp‘𝑥)) ↔ (1 / (1 + (exp‘𝑥))) < 1))
12	10, 11	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) < 1)
13		0xr 7966	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14		1re 7919	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
15	14	rexri 7977	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ*
16		elioo2 9878	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∧ (1 / (1 + (exp‘𝑥))) < 1)))
17	13, 15, 16	mp2an 424	. . . . 5 ⊢ ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∧ (1 / (1 + (exp‘𝑥))) < 1))
18	7, 8, 12, 17	syl3anbrc 1176	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ (0(,)1))
19	18	adantl 275	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ (0(,)1))
20		elioore 9869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 𝑦 ∈ ℝ)
21		eliooord 9885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 1))
22	21	simpld 111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 0 < 𝑦)
23	20, 22	elrpd 9650	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 𝑦 ∈ ℝ+)
24	23	rpreccld 9664	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
25	24	rpred 9653	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
26		1red 7935	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 1 ∈ ℝ)
27	25, 26	resubcld 8300	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → ((1 / 𝑦) − 1) ∈ ℝ)
28	21	simprd 113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 𝑦 < 1)
29	23	reclt1d 9667	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → (𝑦 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑦)))
30	28, 29	mpbid 146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 1 < (1 / 𝑦))
31	26, 25	posdifd 8451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → (1 < (1 / 𝑦) ↔ 0 < ((1 / 𝑦) − 1)))
32	30, 31	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 0 < ((1 / 𝑦) − 1))
33	27, 32	elrpd 9650	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → ((1 / 𝑦) − 1) ∈ ℝ+)
34	33	relogcld 13597	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ∈ ℝ)
35	34	adantl 275	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ∈ ℝ)
36		1cnd 7936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℂ)
37	4	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
38	37	rpcnd 9655	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
39	36, 38	addcld 7939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 + (exp‘𝑥)) ∈ ℂ)
40	23	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
41	40	rpcnd 9655	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
42	40	rpap0d 9659	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 # 0)
43	36, 39, 41, 42	divmulap2d 8741	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((1 / 𝑦) = (1 + (exp‘𝑥)) ↔ 1 = (𝑦 · (1 + (exp‘𝑥)))))
44	24	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
45	44	rpcnd 9655	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
46	36, 38, 45	addrsub 8290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((1 + (exp‘𝑥)) = (1 / 𝑦) ↔ (exp‘𝑥) = ((1 / 𝑦) − 1)))
47	33	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((1 / 𝑦) − 1) ∈ ℝ+)
48	47	reeflogd 13598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (exp‘(log‘((1 / 𝑦) − 1))) = ((1 / 𝑦) − 1))
49	48	eqeq2d 2182	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((exp‘𝑥) = (exp‘(log‘((1 / 𝑦) − 1))) ↔ (exp‘𝑥) = ((1 / 𝑦) − 1)))
50		reef11 11662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) = (exp‘(log‘((1 / 𝑦) − 1))) ↔ 𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1))))
51	34, 50	sylan2 284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((exp‘𝑥) = (exp‘(log‘((1 / 𝑦) − 1))) ↔ 𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1))))
52	46, 49, 51	3bitr2rd 216	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ (1 + (exp‘𝑥)) = (1 / 𝑦)))
53		eqcom 2172	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + (exp‘𝑥)) = (1 / 𝑦) ↔ (1 / 𝑦) = (1 + (exp‘𝑥)))
54	52, 53	bitrdi 195	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ (1 / 𝑦) = (1 + (exp‘𝑥))))
55	5	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 + (exp‘𝑥)) ∈ ℝ+)
56	55	rpap0d 9659	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 + (exp‘𝑥)) # 0)
57	36, 41, 39, 56	divmulap3d 8742	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) = 𝑦 ↔ 1 = (𝑦 · (1 + (exp‘𝑥)))))
58	43, 54, 57	3bitr4d 219	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ (1 / (1 + (exp‘𝑥))) = 𝑦))
59		eqcom 2172	. . . . 5 ⊢ ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (1 / (1 + (exp‘𝑥))))
60	58, 59	bitrdi 195	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ 𝑦 = (1 / (1 + (exp‘𝑥)))))
61	60	adantl 275	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1))) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ 𝑦 = (1 / (1 + (exp‘𝑥)))))
62	1, 19, 35, 61	f1o2d 6054	. 2 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℝ–1-1-onto→(0(,)1))
63	62	mptru 1357	1 ⊢ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(0(,)1)

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   = wceq 1348  ⊤wtru 1349   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989   ↦ cmpt 4050  –1-1-onto→wf1o 5197  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℝcr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779  ℝ^*cxr 7953   < clt 7954   − cmin 8090   / cdiv 8589  ℝ⁺crp 9610  (,)cioo 9845  expce 11605  logclog 13571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894  ax-pre-suploc 7895  ax-addf 7896  ax-mulf 7897

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-disj 3967  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-of 6061  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-map 6628  df-pm 6629  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-ioo 9849  df-ico 9851  df-icc 9852  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660  df-bc 10682  df-ihash 10710  df-shft 10779  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317  df-ef 11611  df-e 11612  df-rest 12581  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-ntr 12890  df-cn 12982  df-cnp 12983  df-tx 13047  df-cncf 13352  df-limced 13419  df-dvap 13420  df-relog 13573

This theorem is referenced by:  iooreen  14067