Theorem iooref1o 16333

Description: A one-to-one mapping from the real numbers onto the open unit interval. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
iooref1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (1 / (1 + (exp‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
iooref1o	⊢ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(0(,)1)

Proof of Theorem iooref1o

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooref1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (1 / (1 + (exp‘𝑥))))
2		1rp 9841	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
3	2	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ+)
4		rpefcl 12182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
5	3, 4	rpaddcld 9896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 + (exp‘𝑥)) ∈ ℝ+)
6	5	rpreccld 9891	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ ℝ+)
7	6	rpred 9880	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ ℝ)
8	6	rpgt0d 9883	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 0 < (1 / (1 + (exp‘𝑥))))
9		1red 8149	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
10	9, 4	ltaddrpd 9914	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 1 < (1 + (exp‘𝑥)))
11	5	recgt1d 9895	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 < (1 + (exp‘𝑥)) ↔ (1 / (1 + (exp‘𝑥))) < 1))
12	10, 11	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) < 1)
13		0xr 8181	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14		1re 8133	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
15	14	rexri 8192	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ*
16		elioo2 10105	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∧ (1 / (1 + (exp‘𝑥))) < 1)))
17	13, 15, 16	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∧ (1 / (1 + (exp‘𝑥))) < 1))
18	7, 8, 12, 17	syl3anbrc 1205	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ (0(,)1))
19	18	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ (0(,)1))
20		elioore 10096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 𝑦 ∈ ℝ)
21		eliooord 10112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 1))
22	21	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 0 < 𝑦)
23	20, 22	elrpd 9877	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 𝑦 ∈ ℝ+)
24	23	rpreccld 9891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
25	24	rpred 9880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
26		1red 8149	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 1 ∈ ℝ)
27	25, 26	resubcld 8515	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → ((1 / 𝑦) − 1) ∈ ℝ)
28	21	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 𝑦 < 1)
29	23	reclt1d 9894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → (𝑦 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑦)))
30	28, 29	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 1 < (1 / 𝑦))
31	26, 25	posdifd 8667	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → (1 < (1 / 𝑦) ↔ 0 < ((1 / 𝑦) − 1)))
32	30, 31	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 0 < ((1 / 𝑦) − 1))
33	27, 32	elrpd 9877	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → ((1 / 𝑦) − 1) ∈ ℝ+)
34	33	relogcld 15541	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ∈ ℝ)
35	34	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ∈ ℝ)
36		1cnd 8150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℂ)
37	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
38	37	rpcnd 9882	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
39	36, 38	addcld 8154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 + (exp‘𝑥)) ∈ ℂ)
40	23	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
41	40	rpcnd 9882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
42	40	rpap0d 9886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 # 0)
43	36, 39, 41, 42	divmulap2d 8959	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((1 / 𝑦) = (1 + (exp‘𝑥)) ↔ 1 = (𝑦 · (1 + (exp‘𝑥)))))
44	24	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
45	44	rpcnd 9882	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
46	36, 38, 45	addrsub 8505	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((1 + (exp‘𝑥)) = (1 / 𝑦) ↔ (exp‘𝑥) = ((1 / 𝑦) − 1)))
47	33	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((1 / 𝑦) − 1) ∈ ℝ+)
48	47	reeflogd 15542	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (exp‘(log‘((1 / 𝑦) − 1))) = ((1 / 𝑦) − 1))
49	48	eqeq2d 2241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((exp‘𝑥) = (exp‘(log‘((1 / 𝑦) − 1))) ↔ (exp‘𝑥) = ((1 / 𝑦) − 1)))
50		reef11 12196	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) = (exp‘(log‘((1 / 𝑦) − 1))) ↔ 𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1))))
51	34, 50	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((exp‘𝑥) = (exp‘(log‘((1 / 𝑦) − 1))) ↔ 𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1))))
52	46, 49, 51	3bitr2rd 217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ (1 + (exp‘𝑥)) = (1 / 𝑦)))
53		eqcom 2231	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + (exp‘𝑥)) = (1 / 𝑦) ↔ (1 / 𝑦) = (1 + (exp‘𝑥)))
54	52, 53	bitrdi 196	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ (1 / 𝑦) = (1 + (exp‘𝑥))))
55	5	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 + (exp‘𝑥)) ∈ ℝ+)
56	55	rpap0d 9886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 + (exp‘𝑥)) # 0)
57	36, 41, 39, 56	divmulap3d 8960	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) = 𝑦 ↔ 1 = (𝑦 · (1 + (exp‘𝑥)))))
58	43, 54, 57	3bitr4d 220	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ (1 / (1 + (exp‘𝑥))) = 𝑦))
59		eqcom 2231	. . . . 5 ⊢ ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (1 / (1 + (exp‘𝑥))))
60	58, 59	bitrdi 196	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ 𝑦 = (1 / (1 + (exp‘𝑥)))))
61	60	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1))) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ 𝑦 = (1 / (1 + (exp‘𝑥)))))
62	1, 19, 35, 61	f1o2d 6201	. 2 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℝ–1-1-onto→(0(,)1))
63	62	mptru 1404	1 ⊢ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(0(,)1)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395  ⊤wtru 1396   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082   ↦ cmpt 4144  –1-1-onto→wf1o 5313  ‘cfv 5314  (class class class)co 5994  ℝcr 7986  0cc0 7987  1c1 7988   + caddc 7990   · cmul 7992  ℝ^*cxr 8168   < clt 8169   − cmin 8305   / cdiv 8807  ℝ⁺crp 9837  (,)cioo 10072  expce 12139  logclog 15515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107  ax-pre-suploc 8108  ax-addf 8109  ax-mulf 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-disj 4059  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-isom 5323  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-of 6208  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-irdg 6506  df-frec 6527  df-1o 6552  df-oadd 6556  df-er 6670  df-map 6787  df-pm 6788  df-en 6878  df-dom 6879  df-fin 6880  df-sup 7139  df-inf 7140  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-xneg 9956  df-xadd 9957  df-ioo 10076  df-ico 10078  df-icc 10079  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-fac 10935  df-bc 10957  df-ihash 10985  df-shft 11312  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-clim 11776  df-sumdc 11851  df-ef 12145  df-e 12146  df-rest 13260  df-topgen 13279  df-psmet 14492  df-xmet 14493  df-met 14494  df-bl 14495  df-mopn 14496  df-top 14657  df-topon 14670  df-bases 14702  df-ntr 14755  df-cn 14847  df-cnp 14848  df-tx 14912  df-cncf 15230  df-limced 15315  df-dvap 15316  df-relog 15517

This theorem is referenced by:  iooreen  16334