Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooref1o GIF version

Theorem iooref1o 14405
Description: A one-to-one mapping from the real numbers onto the open unit interval. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
iooref1o.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (1 / (1 + (exp‘𝑥))))
Assertion
Ref Expression
iooref1o 𝐹:ℝ–1-1-onto→(0(,)1)

Proof of Theorem iooref1o
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooref1o.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (1 / (1 + (exp‘𝑥))))
2 1rp 9631 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
32a1i 9 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ+)
4 rpefcl 11664 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
53, 4rpaddcld 9686 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (1 + (exp‘𝑥)) ∈ ℝ+)
65rpreccld 9681 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ ℝ+)
76rpred 9670 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ ℝ)
86rpgt0d 9673 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → 0 < (1 / (1 + (exp‘𝑥))))
9 1red 7950 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
109, 4ltaddrpd 9704 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 1 < (1 + (exp‘𝑥)))
115recgt1d 9685 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (1 < (1 + (exp‘𝑥)) ↔ (1 / (1 + (exp‘𝑥))) < 1))
1210, 11mpbid 147 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) < 1)
13 0xr 7981 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
14 1re 7934 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
1514rexri 7992 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
16 elioo2 9895 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∧ (1 / (1 + (exp‘𝑥))) < 1)))
1713, 15, 16mp2an 426 . . . . 5 ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∧ (1 / (1 + (exp‘𝑥))) < 1))
187, 8, 12, 17syl3anbrc 1181 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ (0(,)1))
1918adantl 277 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ (0(,)1))
20 elioore 9886 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0(,)1) → 𝑦 ∈ ℝ)
21 eliooord 9902 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑦𝑦 < 1))
2221simpld 112 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0(,)1) → 0 < 𝑦)
2320, 22elrpd 9667 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0(,)1) → 𝑦 ∈ ℝ+)
2423rpreccld 9681 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0(,)1) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
2524rpred 9670 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0(,)1) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
26 1red 7950 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0(,)1) → 1 ∈ ℝ)
2725, 26resubcld 8315 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0(,)1) → ((1 / 𝑦) − 1) ∈ ℝ)
2821simprd 114 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0(,)1) → 𝑦 < 1)
2923reclt1d 9684 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0(,)1) → (𝑦 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑦)))
3028, 29mpbid 147 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0(,)1) → 1 < (1 / 𝑦))
3126, 25posdifd 8466 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0(,)1) → (1 < (1 / 𝑦) ↔ 0 < ((1 / 𝑦) − 1)))
3230, 31mpbid 147 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0(,)1) → 0 < ((1 / 𝑦) − 1))
3327, 32elrpd 9667 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0(,)1) → ((1 / 𝑦) − 1) ∈ ℝ+)
3433relogcld 13936 . . . 4 (𝑦 ∈ (0(,)1) → (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ∈ ℝ)
3534adantl 277 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ∈ ℝ)
36 1cnd 7951 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℂ)
374adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
3837rpcnd 9672 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
3936, 38addcld 7954 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 + (exp‘𝑥)) ∈ ℂ)
4023adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
4140rpcnd 9672 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
4240rpap0d 9676 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 # 0)
4336, 39, 41, 42divmulap2d 8757 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((1 / 𝑦) = (1 + (exp‘𝑥)) ↔ 1 = (𝑦 · (1 + (exp‘𝑥)))))
4424adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
4544rpcnd 9672 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
4636, 38, 45addrsub 8305 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((1 + (exp‘𝑥)) = (1 / 𝑦) ↔ (exp‘𝑥) = ((1 / 𝑦) − 1)))
4733adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((1 / 𝑦) − 1) ∈ ℝ+)
4847reeflogd 13937 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (exp‘(log‘((1 / 𝑦) − 1))) = ((1 / 𝑦) − 1))
4948eqeq2d 2189 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((exp‘𝑥) = (exp‘(log‘((1 / 𝑦) − 1))) ↔ (exp‘𝑥) = ((1 / 𝑦) − 1)))
50 reef11 11678 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) = (exp‘(log‘((1 / 𝑦) − 1))) ↔ 𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1))))
5134, 50sylan2 286 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((exp‘𝑥) = (exp‘(log‘((1 / 𝑦) − 1))) ↔ 𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1))))
5246, 49, 513bitr2rd 217 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ (1 + (exp‘𝑥)) = (1 / 𝑦)))
53 eqcom 2179 . . . . . . 7 ((1 + (exp‘𝑥)) = (1 / 𝑦) ↔ (1 / 𝑦) = (1 + (exp‘𝑥)))
5452, 53bitrdi 196 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ (1 / 𝑦) = (1 + (exp‘𝑥))))
555adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 + (exp‘𝑥)) ∈ ℝ+)
5655rpap0d 9676 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 + (exp‘𝑥)) # 0)
5736, 41, 39, 56divmulap3d 8758 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) = 𝑦 ↔ 1 = (𝑦 · (1 + (exp‘𝑥)))))
5843, 54, 573bitr4d 220 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ (1 / (1 + (exp‘𝑥))) = 𝑦))
59 eqcom 2179 . . . . 5 ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) = 𝑦𝑦 = (1 / (1 + (exp‘𝑥))))
6058, 59bitrdi 196 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ 𝑦 = (1 / (1 + (exp‘𝑥)))))
6160adantl 277 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1))) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ 𝑦 = (1 / (1 + (exp‘𝑥)))))
621, 19, 35, 61f1o2d 6069 . 2 (⊤ → 𝐹:ℝ–1-1-onto→(0(,)1))
6362mptru 1362 1 𝐹:ℝ–1-1-onto→(0(,)1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wtru 1354  wcel 2148   class class class wbr 4000  cmpt 4061  1-1-ontowf1o 5210  cfv 5211  (class class class)co 5868  cr 7788  0cc0 7789  1c1 7790   + caddc 7792   · cmul 7794  *cxr 7968   < clt 7969  cmin 8105   / cdiv 8605  +crp 9627  (,)cioo 9862  expce 11621  logclog 13910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908  ax-caucvg 7909  ax-pre-suploc 7910  ax-addf 7911  ax-mulf 7912
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-disj 3978  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-isom 5220  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-of 6076  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-irdg 6364  df-frec 6385  df-1o 6410  df-oadd 6414  df-er 6528  df-map 6643  df-pm 6644  df-en 6734  df-dom 6735  df-fin 6736  df-sup 6976  df-inf 6977  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-q 9596  df-rp 9628  df-xneg 9746  df-xadd 9747  df-ioo 9866  df-ico 9868  df-icc 9869  df-fz 9983  df-fzo 10116  df-seqfrec 10419  df-exp 10493  df-fac 10677  df-bc 10699  df-ihash 10727  df-shft 10795  df-cj 10822  df-re 10823  df-im 10824  df-rsqrt 10978  df-abs 10979  df-clim 11258  df-sumdc 11333  df-ef 11627  df-e 11628  df-rest 12625  df-topgen 12644  df-psmet 13120  df-xmet 13121  df-met 13122  df-bl 13123  df-mopn 13124  df-top 13129  df-topon 13142  df-bases 13174  df-ntr 13229  df-cn 13321  df-cnp 13322  df-tx 13386  df-cncf 13691  df-limced 13758  df-dvap 13759  df-relog 13912
This theorem is referenced by:  iooreen  14406
  Copyright terms: Public domain W3C validator