Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooref1o GIF version

Theorem iooref1o 14752
Description: A one-to-one mapping from the real numbers onto the open unit interval. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
iooref1o.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (1 / (1 + (expโ€˜๐‘ฅ))))
Assertion
Ref Expression
iooref1o ๐น:โ„โ€“1-1-ontoโ†’(0(,)1)

Proof of Theorem iooref1o
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooref1o.f . . 3 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (1 / (1 + (expโ€˜๐‘ฅ))))
2 1rp 9656 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„+
32a1i 9 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
4 rpefcl 11692 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
53, 4rpaddcld 9711 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (1 + (expโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+)
65rpreccld 9706 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (1 / (1 + (expโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„+)
76rpred 9695 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (1 / (1 + (expโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
86rpgt0d 9698 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ 0 < (1 / (1 + (expโ€˜๐‘ฅ))))
9 1red 7971 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
109, 4ltaddrpd 9729 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ 1 < (1 + (expโ€˜๐‘ฅ)))
115recgt1d 9710 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (1 < (1 + (expโ€˜๐‘ฅ)) โ†” (1 / (1 + (expโ€˜๐‘ฅ))) < 1))
1210, 11mpbid 147 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (1 / (1 + (expโ€˜๐‘ฅ))) < 1)
13 0xr 8003 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„*
14 1re 7955 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
1514rexri 8014 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„*
16 elioo2 9920 . . . . . 6 ((0 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„*) โ†’ ((1 / (1 + (expโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ (0(,)1) โ†” ((1 / (1 + (expโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (1 / (1 + (expโ€˜๐‘ฅ))) โˆง (1 / (1 + (expโ€˜๐‘ฅ))) < 1)))
1713, 15, 16mp2an 426 . . . . 5 ((1 / (1 + (expโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ (0(,)1) โ†” ((1 / (1 + (expโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (1 / (1 + (expโ€˜๐‘ฅ))) โˆง (1 / (1 + (expโ€˜๐‘ฅ))) < 1))
187, 8, 12, 17syl3anbrc 1181 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (1 / (1 + (expโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ (0(,)1))
1918adantl 277 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (1 / (1 + (expโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ (0(,)1))
20 elioore 9911 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
21 eliooord 9927 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (0 < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ < 1))
2221simpld 112 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1) โ†’ 0 < ๐‘ฆ)
2320, 22elrpd 9692 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„+)
2423rpreccld 9706 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (1 / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„+)
2524rpred 9695 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (1 / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
26 1red 7971 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
2725, 26resubcld 8337 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
2821simprd 114 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1) โ†’ ๐‘ฆ < 1)
2923reclt1d 9709 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (๐‘ฆ < 1 โ†” 1 < (1 / ๐‘ฆ)))
3028, 29mpbid 147 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1) โ†’ 1 < (1 / ๐‘ฆ))
3126, 25posdifd 8488 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (1 < (1 / ๐‘ฆ) โ†” 0 < ((1 / ๐‘ฆ) โˆ’ 1)))
3230, 31mpbid 147 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1) โ†’ 0 < ((1 / ๐‘ฆ) โˆ’ 1))
3327, 32elrpd 9692 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
3433relogcld 14273 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (logโ€˜((1 / ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
3534adantl 277 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (logโ€˜((1 / ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
36 1cnd 7972 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
374adantr 276 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
3837rpcnd 9697 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
3936, 38addcld 7976 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (1 + (expโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
4023adantl 277 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„+)
4140rpcnd 9697 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
4240rpap0d 9701 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ๐‘ฆ # 0)
4336, 39, 41, 42divmulap2d 8780 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) = (1 + (expโ€˜๐‘ฅ)) โ†” 1 = (๐‘ฆ ยท (1 + (expโ€˜๐‘ฅ)))))
4424adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (1 / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„+)
4544rpcnd 9697 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (1 / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
4636, 38, 45addrsub 8327 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ((1 + (expโ€˜๐‘ฅ)) = (1 / ๐‘ฆ) โ†” (expโ€˜๐‘ฅ) = ((1 / ๐‘ฆ) โˆ’ 1)))
4733adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ((1 / ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
4847reeflogd 14274 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜((1 / ๐‘ฆ) โˆ’ 1))) = ((1 / ๐‘ฆ) โˆ’ 1))
4948eqeq2d 2189 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ((expโ€˜๐‘ฅ) = (expโ€˜(logโ€˜((1 / ๐‘ฆ) โˆ’ 1))) โ†” (expโ€˜๐‘ฅ) = ((1 / ๐‘ฆ) โˆ’ 1)))
50 reef11 11706 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜((1 / ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„) โ†’ ((expโ€˜๐‘ฅ) = (expโ€˜(logโ€˜((1 / ๐‘ฆ) โˆ’ 1))) โ†” ๐‘ฅ = (logโ€˜((1 / ๐‘ฆ) โˆ’ 1))))
5134, 50sylan2 286 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ((expโ€˜๐‘ฅ) = (expโ€˜(logโ€˜((1 / ๐‘ฆ) โˆ’ 1))) โ†” ๐‘ฅ = (logโ€˜((1 / ๐‘ฆ) โˆ’ 1))))
5246, 49, 513bitr2rd 217 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (๐‘ฅ = (logโ€˜((1 / ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) โ†” (1 + (expโ€˜๐‘ฅ)) = (1 / ๐‘ฆ)))
53 eqcom 2179 . . . . . . 7 ((1 + (expโ€˜๐‘ฅ)) = (1 / ๐‘ฆ) โ†” (1 / ๐‘ฆ) = (1 + (expโ€˜๐‘ฅ)))
5452, 53bitrdi 196 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (๐‘ฅ = (logโ€˜((1 / ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) โ†” (1 / ๐‘ฆ) = (1 + (expโ€˜๐‘ฅ))))
555adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (1 + (expโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+)
5655rpap0d 9701 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (1 + (expโ€˜๐‘ฅ)) # 0)
5736, 41, 39, 56divmulap3d 8781 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ((1 / (1 + (expโ€˜๐‘ฅ))) = ๐‘ฆ โ†” 1 = (๐‘ฆ ยท (1 + (expโ€˜๐‘ฅ)))))
5843, 54, 573bitr4d 220 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (๐‘ฅ = (logโ€˜((1 / ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) โ†” (1 / (1 + (expโ€˜๐‘ฅ))) = ๐‘ฆ))
59 eqcom 2179 . . . . 5 ((1 / (1 + (expโ€˜๐‘ฅ))) = ๐‘ฆ โ†” ๐‘ฆ = (1 / (1 + (expโ€˜๐‘ฅ))))
6058, 59bitrdi 196 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (๐‘ฅ = (logโ€˜((1 / ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) โ†” ๐‘ฆ = (1 / (1 + (expโ€˜๐‘ฅ)))))
6160adantl 277 . . 3 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0(,)1))) โ†’ (๐‘ฅ = (logโ€˜((1 / ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) โ†” ๐‘ฆ = (1 / (1 + (expโ€˜๐‘ฅ)))))
621, 19, 35, 61f1o2d 6075 . 2 (โŠค โ†’ ๐น:โ„โ€“1-1-ontoโ†’(0(,)1))
6362mptru 1362 1 ๐น:โ„โ€“1-1-ontoโ†’(0(,)1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353  โŠคwtru 1354   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4003   โ†ฆ cmpt 4064  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 5215  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  โ„cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   ยท cmul 7815  โ„*cxr 7990   < clt 7991   โˆ’ cmin 8127   / cdiv 8628  โ„+crp 9652  (,)cioo 9887  expce 11649  logclog 14247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930  ax-pre-suploc 7931  ax-addf 7932  ax-mulf 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-disj 3981  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-of 6082  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-map 6649  df-pm 6650  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-xneg 9771  df-xadd 9772  df-ioo 9891  df-ico 9893  df-icc 9894  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-fac 10705  df-bc 10727  df-ihash 10755  df-shft 10823  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-sumdc 11361  df-ef 11655  df-e 11656  df-rest 12689  df-topgen 12708  df-psmet 13417  df-xmet 13418  df-met 13419  df-bl 13420  df-mopn 13421  df-top 13468  df-topon 13481  df-bases 13513  df-ntr 13566  df-cn 13658  df-cnp 13659  df-tx 13723  df-cncf 14028  df-limced 14095  df-dvap 14096  df-relog 14249
This theorem is referenced by:  iooreen  14753
  Copyright terms: Public domain W3C validator