Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooref1o GIF version

Theorem iooref1o 13448
 Description: A one-to-one mapping from the real numbers onto the open unit interval. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
iooref1o.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (1 / (1 + (exp‘𝑥))))
Assertion
Ref Expression
iooref1o 𝐹:ℝ–1-1-onto→(0(,)1)

Proof of Theorem iooref1o
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooref1o.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (1 / (1 + (exp‘𝑥))))
2 1rp 9503 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
32a1i 9 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ+)
4 rpefcl 11464 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
53, 4rpaddcld 9558 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (1 + (exp‘𝑥)) ∈ ℝ+)
65rpreccld 9553 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ ℝ+)
76rpred 9542 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ ℝ)
86rpgt0d 9545 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → 0 < (1 / (1 + (exp‘𝑥))))
9 1red 7834 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
109, 4ltaddrpd 9576 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 1 < (1 + (exp‘𝑥)))
115recgt1d 9557 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (1 < (1 + (exp‘𝑥)) ↔ (1 / (1 + (exp‘𝑥))) < 1))
1210, 11mpbid 146 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) < 1)
13 0xr 7865 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
14 1re 7818 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
1514rexri 7876 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
16 elioo2 9763 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∧ (1 / (1 + (exp‘𝑥))) < 1)))
1713, 15, 16mp2an 423 . . . . 5 ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∧ (1 / (1 + (exp‘𝑥))) < 1))
187, 8, 12, 17syl3anbrc 1166 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ (0(,)1))
1918adantl 275 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ (0(,)1))
20 elioore 9754 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0(,)1) → 𝑦 ∈ ℝ)
21 eliooord 9770 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑦𝑦 < 1))
2221simpld 111 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0(,)1) → 0 < 𝑦)
2320, 22elrpd 9539 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0(,)1) → 𝑦 ∈ ℝ+)
2423rpreccld 9553 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0(,)1) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
2524rpred 9542 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0(,)1) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
26 1red 7834 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0(,)1) → 1 ∈ ℝ)
2725, 26resubcld 8196 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0(,)1) → ((1 / 𝑦) − 1) ∈ ℝ)
2821simprd 113 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0(,)1) → 𝑦 < 1)
2923reclt1d 9556 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0(,)1) → (𝑦 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑦)))
3028, 29mpbid 146 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0(,)1) → 1 < (1 / 𝑦))
3126, 25posdifd 8347 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0(,)1) → (1 < (1 / 𝑦) ↔ 0 < ((1 / 𝑦) − 1)))
3230, 31mpbid 146 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0(,)1) → 0 < ((1 / 𝑦) − 1))
3327, 32elrpd 9539 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0(,)1) → ((1 / 𝑦) − 1) ∈ ℝ+)
3433relogcld 13047 . . . 4 (𝑦 ∈ (0(,)1) → (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ∈ ℝ)
3534adantl 275 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ∈ ℝ)
36 1cnd 7835 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℂ)
374adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
3837rpcnd 9544 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
3936, 38addcld 7838 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 + (exp‘𝑥)) ∈ ℂ)
4023adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
4140rpcnd 9544 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
4240rpap0d 9548 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 # 0)
4336, 39, 41, 42divmulap2d 8637 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((1 / 𝑦) = (1 + (exp‘𝑥)) ↔ 1 = (𝑦 · (1 + (exp‘𝑥)))))
4424adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
4544rpcnd 9544 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
4636, 38, 45addrsub 8186 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((1 + (exp‘𝑥)) = (1 / 𝑦) ↔ (exp‘𝑥) = ((1 / 𝑦) − 1)))
4733adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((1 / 𝑦) − 1) ∈ ℝ+)
4847reeflogd 13048 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (exp‘(log‘((1 / 𝑦) − 1))) = ((1 / 𝑦) − 1))
4948eqeq2d 2153 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((exp‘𝑥) = (exp‘(log‘((1 / 𝑦) − 1))) ↔ (exp‘𝑥) = ((1 / 𝑦) − 1)))
50 reef11 11478 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) = (exp‘(log‘((1 / 𝑦) − 1))) ↔ 𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1))))
5134, 50sylan2 284 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((exp‘𝑥) = (exp‘(log‘((1 / 𝑦) − 1))) ↔ 𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1))))
5246, 49, 513bitr2rd 216 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ (1 + (exp‘𝑥)) = (1 / 𝑦)))
53 eqcom 2143 . . . . . . 7 ((1 + (exp‘𝑥)) = (1 / 𝑦) ↔ (1 / 𝑦) = (1 + (exp‘𝑥)))
5452, 53syl6bb 195 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ (1 / 𝑦) = (1 + (exp‘𝑥))))
555adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 + (exp‘𝑥)) ∈ ℝ+)
5655rpap0d 9548 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 + (exp‘𝑥)) # 0)
5736, 41, 39, 56divmulap3d 8638 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) = 𝑦 ↔ 1 = (𝑦 · (1 + (exp‘𝑥)))))
5843, 54, 573bitr4d 219 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ (1 / (1 + (exp‘𝑥))) = 𝑦))
59 eqcom 2143 . . . . 5 ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) = 𝑦𝑦 = (1 / (1 + (exp‘𝑥))))
6058, 59syl6bb 195 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ 𝑦 = (1 / (1 + (exp‘𝑥)))))
6160adantl 275 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1))) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ 𝑦 = (1 / (1 + (exp‘𝑥)))))
621, 19, 35, 61f1o2d 5987 . 2 (⊤ → 𝐹:ℝ–1-1-onto→(0(,)1))
6362mptru 1341 1 𝐹:ℝ–1-1-onto→(0(,)1)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   = wceq 1332  ⊤wtru 1333   ∈ wcel 2112   class class class wbr 3939   ↦ cmpt 3999  –1-1-onto→wf1o 5134  ‘cfv 5135  (class class class)co 5786  ℝcr 7672  0cc0 7673  1c1 7674   + caddc 7676   · cmul 7678  ℝ*cxr 7852   < clt 7853   − cmin 7986   / cdiv 8485  ℝ+crp 9499  (,)cioo 9730  expce 11421  logclog 13021 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2114  ax-14 2115  ax-ext 2123  ax-coll 4053  ax-sep 4056  ax-nul 4064  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463  ax-iinf 4513  ax-cnex 7764  ax-resscn 7765  ax-1cn 7766  ax-1re 7767  ax-icn 7768  ax-addcl 7769  ax-addrcl 7770  ax-mulcl 7771  ax-mulrcl 7772  ax-addcom 7773  ax-mulcom 7774  ax-addass 7775  ax-mulass 7776  ax-distr 7777  ax-i2m1 7778  ax-0lt1 7779  ax-1rid 7780  ax-0id 7781  ax-rnegex 7782  ax-precex 7783  ax-cnre 7784  ax-pre-ltirr 7785  ax-pre-ltwlin 7786  ax-pre-lttrn 7787  ax-pre-apti 7788  ax-pre-ltadd 7789  ax-pre-mulgt0 7790  ax-pre-mulext 7791  ax-arch 7792  ax-caucvg 7793  ax-pre-suploc 7794  ax-addf 7795  ax-mulf 7796 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1732  df-eu 1993  df-mo 1994  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-nel 2406  df-ral 2423  df-rex 2424  df-reu 2425  df-rmo 2426  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-csb 3010  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-nul 3371  df-if 3482  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-int 3782  df-iun 3825  df-disj 3917  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-tr 4037  df-id 4226  df-po 4229  df-iso 4230  df-iord 4299  df-on 4301  df-ilim 4302  df-suc 4304  df-iom 4516  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-ima 4564  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fn 5138  df-f 5139  df-f1 5140  df-fo 5141  df-f1o 5142  df-fv 5143  df-isom 5144  df-riota 5742  df-ov 5789  df-oprab 5790  df-mpo 5791  df-of 5994  df-1st 6050  df-2nd 6051  df-recs 6214  df-irdg 6279  df-frec 6300  df-1o 6325  df-oadd 6329  df-er 6441  df-map 6556  df-pm 6557  df-en 6647  df-dom 6648  df-fin 6649  df-sup 6888  df-inf 6889  df-pnf 7855  df-mnf 7856  df-xr 7857  df-ltxr 7858  df-le 7859  df-sub 7988  df-neg 7989  df-reap 8390  df-ap 8397  df-div 8486  df-inn 8774  df-2 8832  df-3 8833  df-4 8834  df-n0 9031  df-z 9108  df-uz 9380  df-q 9468  df-rp 9500  df-xneg 9618  df-xadd 9619  df-ioo 9734  df-ico 9736  df-icc 9737  df-fz 9851  df-fzo 9980  df-seqfrec 10279  df-exp 10353  df-fac 10533  df-bc 10555  df-ihash 10583  df-shft 10648  df-cj 10675  df-re 10676  df-im 10677  df-rsqrt 10831  df-abs 10832  df-clim 11109  df-sumdc 11184  df-ef 11427  df-e 11428  df-rest 12197  df-topgen 12216  df-psmet 12231  df-xmet 12232  df-met 12233  df-bl 12234  df-mopn 12235  df-top 12240  df-topon 12253  df-bases 12285  df-ntr 12340  df-cn 12432  df-cnp 12433  df-tx 12497  df-cncf 12802  df-limced 12869  df-dvap 12870  df-relog 13023 This theorem is referenced by:  iooreen  13449
 Copyright terms: Public domain W3C validator