Theorem iooref1o 16746

Description: A one-to-one mapping from the real numbers onto the open unit interval. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
iooref1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (1 / (1 + (exp‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
iooref1o	⊢ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(0(,)1)

Proof of Theorem iooref1o

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooref1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (1 / (1 + (exp‘𝑥))))
2		1rp 9935	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
3	2	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ+)
4		rpefcl 12307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
5	3, 4	rpaddcld 9990	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 + (exp‘𝑥)) ∈ ℝ+)
6	5	rpreccld 9985	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ ℝ+)
7	6	rpred 9974	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ ℝ)
8	6	rpgt0d 9977	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 0 < (1 / (1 + (exp‘𝑥))))
9		1red 8237	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
10	9, 4	ltaddrpd 10008	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 1 < (1 + (exp‘𝑥)))
11	5	recgt1d 9989	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 < (1 + (exp‘𝑥)) ↔ (1 / (1 + (exp‘𝑥))) < 1))
12	10, 11	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) < 1)
13		0xr 8269	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14		1re 8221	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
15	14	rexri 8280	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ*
16		elioo2 10199	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∧ (1 / (1 + (exp‘𝑥))) < 1)))
17	13, 15, 16	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∧ (1 / (1 + (exp‘𝑥))) < 1))
18	7, 8, 12, 17	syl3anbrc 1208	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ (0(,)1))
19	18	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ (0(,)1))
20		elioore 10190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 𝑦 ∈ ℝ)
21		eliooord 10206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 1))
22	21	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 0 < 𝑦)
23	20, 22	elrpd 9971	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 𝑦 ∈ ℝ+)
24	23	rpreccld 9985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
25	24	rpred 9974	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
26		1red 8237	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 1 ∈ ℝ)
27	25, 26	resubcld 8603	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → ((1 / 𝑦) − 1) ∈ ℝ)
28	21	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 𝑦 < 1)
29	23	reclt1d 9988	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → (𝑦 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑦)))
30	28, 29	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 1 < (1 / 𝑦))
31	26, 25	posdifd 8755	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → (1 < (1 / 𝑦) ↔ 0 < ((1 / 𝑦) − 1)))
32	30, 31	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 0 < ((1 / 𝑦) − 1))
33	27, 32	elrpd 9971	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → ((1 / 𝑦) − 1) ∈ ℝ+)
34	33	relogcld 15673	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ∈ ℝ)
35	34	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ∈ ℝ)
36		1cnd 8238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℂ)
37	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
38	37	rpcnd 9976	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
39	36, 38	addcld 8242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 + (exp‘𝑥)) ∈ ℂ)
40	23	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
41	40	rpcnd 9976	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
42	40	rpap0d 9980	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 # 0)
43	36, 39, 41, 42	divmulap2d 9047	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((1 / 𝑦) = (1 + (exp‘𝑥)) ↔ 1 = (𝑦 · (1 + (exp‘𝑥)))))
44	24	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
45	44	rpcnd 9976	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
46	36, 38, 45	addrsub 8593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((1 + (exp‘𝑥)) = (1 / 𝑦) ↔ (exp‘𝑥) = ((1 / 𝑦) − 1)))
47	33	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((1 / 𝑦) − 1) ∈ ℝ+)
48	47	reeflogd 15674	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (exp‘(log‘((1 / 𝑦) − 1))) = ((1 / 𝑦) − 1))
49	48	eqeq2d 2243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((exp‘𝑥) = (exp‘(log‘((1 / 𝑦) − 1))) ↔ (exp‘𝑥) = ((1 / 𝑦) − 1)))
50		reef11 12321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) = (exp‘(log‘((1 / 𝑦) − 1))) ↔ 𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1))))
51	34, 50	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((exp‘𝑥) = (exp‘(log‘((1 / 𝑦) − 1))) ↔ 𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1))))
52	46, 49, 51	3bitr2rd 217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ (1 + (exp‘𝑥)) = (1 / 𝑦)))
53		eqcom 2233	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + (exp‘𝑥)) = (1 / 𝑦) ↔ (1 / 𝑦) = (1 + (exp‘𝑥)))
54	52, 53	bitrdi 196	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ (1 / 𝑦) = (1 + (exp‘𝑥))))
55	5	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 + (exp‘𝑥)) ∈ ℝ+)
56	55	rpap0d 9980	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 + (exp‘𝑥)) # 0)
57	36, 41, 39, 56	divmulap3d 9048	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) = 𝑦 ↔ 1 = (𝑦 · (1 + (exp‘𝑥)))))
58	43, 54, 57	3bitr4d 220	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ (1 / (1 + (exp‘𝑥))) = 𝑦))
59		eqcom 2233	. . . . 5 ⊢ ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (1 / (1 + (exp‘𝑥))))
60	58, 59	bitrdi 196	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ 𝑦 = (1 / (1 + (exp‘𝑥)))))
61	60	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1))) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ 𝑦 = (1 / (1 + (exp‘𝑥)))))
62	1, 19, 35, 61	f1o2d 6238	. 2 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℝ–1-1-onto→(0(,)1))
63	62	mptru 1407	1 ⊢ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(0(,)1)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ⊤wtru 1399   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093   ↦ cmpt 4155  –1-1-onto→wf1o 5332  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℝcr 8074  0cc0 8075  1c1 8076   + caddc 8078   · cmul 8080  ℝ^*cxr 8256   < clt 8257   − cmin 8393   / cdiv 8895  ℝ⁺crp 9931  (,)cioo 10166  expce 12264  logclog 15647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195  ax-pre-suploc 8196  ax-addf 8197  ax-mulf 8198

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-map 6862  df-pm 6863  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-xneg 10050  df-xadd 10051  df-ioo 10170  df-ico 10172  df-icc 10173  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-fac 11032  df-bc 11054  df-ihash 11082  df-shft 11436  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-clim 11900  df-sumdc 11975  df-ef 12270  df-e 12271  df-rest 13385  df-topgen 13404  df-psmet 14619  df-xmet 14620  df-met 14621  df-bl 14622  df-mopn 14623  df-top 14789  df-topon 14802  df-bases 14834  df-ntr 14887  df-cn 14979  df-cnp 14980  df-tx 15044  df-cncf 15362  df-limced 15447  df-dvap 15448  df-relog 15649

This theorem is referenced by:  iooreen  16747