Theorem iooref1o 14821

Description: A one-to-one mapping from the real numbers onto the open unit interval. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
iooref1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (1 / (1 + (exp‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
iooref1o	⊢ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(0(,)1)

Proof of Theorem iooref1o

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooref1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (1 / (1 + (exp‘𝑥))))
2		1rp 9659	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
3	2	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ+)
4		rpefcl 11695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
5	3, 4	rpaddcld 9714	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 + (exp‘𝑥)) ∈ ℝ+)
6	5	rpreccld 9709	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ ℝ+)
7	6	rpred 9698	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ ℝ)
8	6	rpgt0d 9701	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 0 < (1 / (1 + (exp‘𝑥))))
9		1red 7974	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
10	9, 4	ltaddrpd 9732	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 1 < (1 + (exp‘𝑥)))
11	5	recgt1d 9713	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 < (1 + (exp‘𝑥)) ↔ (1 / (1 + (exp‘𝑥))) < 1))
12	10, 11	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) < 1)
13		0xr 8006	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14		1re 7958	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
15	14	rexri 8017	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ*
16		elioo2 9923	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∧ (1 / (1 + (exp‘𝑥))) < 1)))
17	13, 15, 16	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∧ (1 / (1 + (exp‘𝑥))) < 1))
18	7, 8, 12, 17	syl3anbrc 1181	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ (0(,)1))
19	18	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (1 / (1 + (exp‘𝑥))) ∈ (0(,)1))
20		elioore 9914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 𝑦 ∈ ℝ)
21		eliooord 9930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 1))
22	21	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 0 < 𝑦)
23	20, 22	elrpd 9695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 𝑦 ∈ ℝ+)
24	23	rpreccld 9709	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
25	24	rpred 9698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
26		1red 7974	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 1 ∈ ℝ)
27	25, 26	resubcld 8340	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → ((1 / 𝑦) − 1) ∈ ℝ)
28	21	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 𝑦 < 1)
29	23	reclt1d 9712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → (𝑦 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑦)))
30	28, 29	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 1 < (1 / 𝑦))
31	26, 25	posdifd 8491	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → (1 < (1 / 𝑦) ↔ 0 < ((1 / 𝑦) − 1)))
32	30, 31	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → 0 < ((1 / 𝑦) − 1))
33	27, 32	elrpd 9695	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → ((1 / 𝑦) − 1) ∈ ℝ+)
34	33	relogcld 14342	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)1) → (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ∈ ℝ)
35	34	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ∈ ℝ)
36		1cnd 7975	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℂ)
37	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
38	37	rpcnd 9700	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
39	36, 38	addcld 7979	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 + (exp‘𝑥)) ∈ ℂ)
40	23	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
41	40	rpcnd 9700	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
42	40	rpap0d 9704	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 # 0)
43	36, 39, 41, 42	divmulap2d 8783	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((1 / 𝑦) = (1 + (exp‘𝑥)) ↔ 1 = (𝑦 · (1 + (exp‘𝑥)))))
44	24	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
45	44	rpcnd 9700	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
46	36, 38, 45	addrsub 8330	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((1 + (exp‘𝑥)) = (1 / 𝑦) ↔ (exp‘𝑥) = ((1 / 𝑦) − 1)))
47	33	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((1 / 𝑦) − 1) ∈ ℝ+)
48	47	reeflogd 14343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (exp‘(log‘((1 / 𝑦) − 1))) = ((1 / 𝑦) − 1))
49	48	eqeq2d 2189	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((exp‘𝑥) = (exp‘(log‘((1 / 𝑦) − 1))) ↔ (exp‘𝑥) = ((1 / 𝑦) − 1)))
50		reef11 11709	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) = (exp‘(log‘((1 / 𝑦) − 1))) ↔ 𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1))))
51	34, 50	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((exp‘𝑥) = (exp‘(log‘((1 / 𝑦) − 1))) ↔ 𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1))))
52	46, 49, 51	3bitr2rd 217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ (1 + (exp‘𝑥)) = (1 / 𝑦)))
53		eqcom 2179	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + (exp‘𝑥)) = (1 / 𝑦) ↔ (1 / 𝑦) = (1 + (exp‘𝑥)))
54	52, 53	bitrdi 196	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ (1 / 𝑦) = (1 + (exp‘𝑥))))
55	5	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 + (exp‘𝑥)) ∈ ℝ+)
56	55	rpap0d 9704	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (1 + (exp‘𝑥)) # 0)
57	36, 41, 39, 56	divmulap3d 8784	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) = 𝑦 ↔ 1 = (𝑦 · (1 + (exp‘𝑥)))))
58	43, 54, 57	3bitr4d 220	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ (1 / (1 + (exp‘𝑥))) = 𝑦))
59		eqcom 2179	. . . . 5 ⊢ ((1 / (1 + (exp‘𝑥))) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (1 / (1 + (exp‘𝑥))))
60	58, 59	bitrdi 196	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ 𝑦 = (1 / (1 + (exp‘𝑥)))))
61	60	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1))) → (𝑥 = (log‘((1 / 𝑦) − 1)) ↔ 𝑦 = (1 / (1 + (exp‘𝑥)))))
62	1, 19, 35, 61	f1o2d 6078	. 2 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℝ–1-1-onto→(0(,)1))
63	62	mptru 1362	1 ⊢ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(0(,)1)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353  ⊤wtru 1354   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005   ↦ cmpt 4066  –1-1-onto→wf1o 5217  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  ℝcr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   · cmul 7818  ℝ^*cxr 7993   < clt 7994   − cmin 8130   / cdiv 8631  ℝ⁺crp 9655  (,)cioo 9890  expce 11652  logclog 14316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933  ax-pre-suploc 7934  ax-addf 7935  ax-mulf 7936

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-disj 3983  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-of 6085  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-map 6652  df-pm 6653  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-xneg 9774  df-xadd 9775  df-ioo 9894  df-ico 9896  df-icc 9897  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-fac 10708  df-bc 10730  df-ihash 10758  df-shft 10826  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-sumdc 11364  df-ef 11658  df-e 11659  df-rest 12695  df-topgen 12714  df-psmet 13486  df-xmet 13487  df-met 13488  df-bl 13489  df-mopn 13490  df-top 13537  df-topon 13550  df-bases 13582  df-ntr 13635  df-cn 13727  df-cnp 13728  df-tx 13792  df-cncf 14097  df-limced 14164  df-dvap 14165  df-relog 14318

This theorem is referenced by:  iooreen  14822