Theorem rpcnd 10027

Description: A positive real is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem rpcnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 10025	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 8298	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  ℂcc 8121  ℝ⁺crp 9982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214  ax-resscn 8215

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rab 2529  df-in 3216  df-ss 3223  df-rp 9983

This theorem is referenced by:  rpcnne0d  10035  ltaddrp2d  10060  iccf1o  10334  bcp1nk  11120  bcpasc  11124  cvg1nlemcxze  11660  cvg1nlemres  11663  resqrexlemdec  11689  resqrexlemlo  11691  resqrexlemcalc2  11693  resqrexlemcalc3  11694  resqrexlemnm  11696  resqrexlemcvg  11697  resqrexlemoverl  11699  sqrtdiv  11720  absdivap  11748  bdtrilem  11917  isumrpcl  12173  expcnvap0  12181  absgtap  12189  cvgratz  12211  mertenslemi1  12214  effsumlt  12371  bitsmod  12635  pythagtriplem12  12966  pythagtriplem14  12968  pythagtriplem16  12970  limcimolemlt  15516  rpdivcxp  15763  rpcxple2  15770  rpcxplt2  15771  rpcxpsqrt  15774  rpabscxpbnd  15792  logbgcd1irr  15819  iooref1o  16805  trilpolemclim  16807  trilpolemisumle  16809  trilpolemeq1  16811  trilpolemlt1  16812