Theorem rpcnd 9767

Description: A positive real is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem rpcnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 9765	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 8050	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  ℂcc 7872  ℝ⁺crp 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-resscn 7966

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rab 2481  df-in 3160  df-ss 3167  df-rp 9723

This theorem is referenced by:  rpcnne0d  9775  ltaddrp2d  9800  iccf1o  10073  bcp1nk  10836  bcpasc  10840  cvg1nlemcxze  11129  cvg1nlemres  11132  resqrexlemdec  11158  resqrexlemlo  11160  resqrexlemcalc2  11162  resqrexlemcalc3  11163  resqrexlemnm  11165  resqrexlemcvg  11166  resqrexlemoverl  11168  sqrtdiv  11189  absdivap  11217  bdtrilem  11385  isumrpcl  11640  expcnvap0  11648  absgtap  11656  cvgratz  11678  mertenslemi1  11681  effsumlt  11838  pythagtriplem12  12416  pythagtriplem14  12418  pythagtriplem16  12420  limcimolemlt  14843  rpdivcxp  15087  rpcxple2  15093  rpcxplt2  15094  rpcxpsqrt  15097  rpabscxpbnd  15114  logbgcd1irr  15140  iooref1o  15594  trilpolemclim  15596  trilpolemisumle  15598  trilpolemeq1  15600  trilpolemlt1  15601