Theorem rpcnd 9790

Description: A positive real is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem rpcnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 9788	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 8072	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ℂcc 7894  ℝ⁺crp 9745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-resscn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rab 2484  df-in 3163  df-ss 3170  df-rp 9746

This theorem is referenced by:  rpcnne0d  9798  ltaddrp2d  9823  iccf1o  10096  bcp1nk  10871  bcpasc  10875  cvg1nlemcxze  11164  cvg1nlemres  11167  resqrexlemdec  11193  resqrexlemlo  11195  resqrexlemcalc2  11197  resqrexlemcalc3  11198  resqrexlemnm  11200  resqrexlemcvg  11201  resqrexlemoverl  11203  sqrtdiv  11224  absdivap  11252  bdtrilem  11421  isumrpcl  11676  expcnvap0  11684  absgtap  11692  cvgratz  11714  mertenslemi1  11717  effsumlt  11874  bitsmod  12138  pythagtriplem12  12469  pythagtriplem14  12471  pythagtriplem16  12473  limcimolemlt  14984  rpdivcxp  15231  rpcxple2  15238  rpcxplt2  15239  rpcxpsqrt  15242  rpabscxpbnd  15260  logbgcd1irr  15287  iooref1o  15765  trilpolemclim  15767  trilpolemisumle  15769  trilpolemeq1  15771  trilpolemlt1  15772