Theorem rpcnd 10034

Description: A positive real is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem rpcnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 10032	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 8304	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  ℂcc 8127  ℝ⁺crp 9989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-resscn 8221

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rab 2531  df-in 3219  df-ss 3226  df-rp 9990

This theorem is referenced by:  rpcnne0d  10042  ltaddrp2d  10067  iccf1o  10341  bcp1nk  11128  bcpasc  11132  bcm1n  11135  cvg1nlemcxze  11671  cvg1nlemres  11674  resqrexlemdec  11700  resqrexlemlo  11702  resqrexlemcalc2  11704  resqrexlemcalc3  11705  resqrexlemnm  11707  resqrexlemcvg  11708  resqrexlemoverl  11710  sqrtdiv  11731  absdivap  11759  bdtrilem  11928  isumrpcl  12184  expcnvap0  12192  absgtap  12200  cvgratz  12222  mertenslemi1  12225  effsumlt  12382  bitsmod  12646  pythagtriplem12  12977  pythagtriplem14  12979  pythagtriplem16  12981  limcimolemlt  15546  rpdivcxp  15793  rpcxple2  15800  rpcxplt2  15801  rpcxpsqrt  15804  rpabscxpbnd  15822  logbgcd1irr  15849  iooref1o  16835  trilpolemclim  16837  trilpolemisumle  16839  trilpolemeq1  16841  trilpolemlt1  16842