Theorem rpcnd 9175

Description: A positive real is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem rpcnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 9173	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 7516	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1438  ℂcc 7348  ℝ⁺crp 9134

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-resscn 7437

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-rab 2368  df-in 3005  df-ss 3012  df-rp 9135

This theorem is referenced by:  rpcnne0d  9183  ltaddrp2d  9208  iccf1o  9421  bcp1nk  10170  bcpasc  10174  cvg1nlemcxze  10415  cvg1nlemres  10418  resqrexlemdec  10444  resqrexlemlo  10446  resqrexlemcalc2  10448  resqrexlemcalc3  10449  resqrexlemnm  10451  resqrexlemcvg  10452  resqrexlemoverl  10454  sqrtdiv  10475  absdivap  10503  isumrpcl  10888  expcnvap0  10896  absgtap  10904  cvgratz  10926  mertenslemi1  10929  effsumlt  10982