Theorem rpcnd 9515

Description: A positive real is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem rpcnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 9513	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 7818	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1481  ℂcc 7642  ℝ⁺crp 9470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-resscn 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rab 2426  df-in 3082  df-ss 3089  df-rp 9471

This theorem is referenced by:  rpcnne0d  9523  ltaddrp2d  9548  iccf1o  9817  bcp1nk  10540  bcpasc  10544  cvg1nlemcxze  10786  cvg1nlemres  10789  resqrexlemdec  10815  resqrexlemlo  10817  resqrexlemcalc2  10819  resqrexlemcalc3  10820  resqrexlemnm  10822  resqrexlemcvg  10823  resqrexlemoverl  10825  sqrtdiv  10846  absdivap  10874  bdtrilem  11042  isumrpcl  11295  expcnvap0  11303  absgtap  11311  cvgratz  11333  mertenslemi1  11336  effsumlt  11435  limcimolemlt  12841  rpdivcxp  13040  rpcxple2  13046  rpcxplt2  13047  rpcxpsqrt  13050  rpabscxpbnd  13067  logbgcd1irr  13092  trilpolemclim  13404  trilpolemisumle  13406  trilpolemeq1  13408  trilpolemlt1  13409  iooref1o  13426