Theorem rpcnd 9792

Description: A positive real is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem rpcnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 9790	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 8074	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ℂcc 7896  ℝ⁺crp 9747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-resscn 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rab 2484  df-in 3163  df-ss 3170  df-rp 9748

This theorem is referenced by:  rpcnne0d  9800  ltaddrp2d  9825  iccf1o  10098  bcp1nk  10873  bcpasc  10877  cvg1nlemcxze  11166  cvg1nlemres  11169  resqrexlemdec  11195  resqrexlemlo  11197  resqrexlemcalc2  11199  resqrexlemcalc3  11200  resqrexlemnm  11202  resqrexlemcvg  11203  resqrexlemoverl  11205  sqrtdiv  11226  absdivap  11254  bdtrilem  11423  isumrpcl  11678  expcnvap0  11686  absgtap  11694  cvgratz  11716  mertenslemi1  11719  effsumlt  11876  bitsmod  12140  pythagtriplem12  12471  pythagtriplem14  12473  pythagtriplem16  12475  limcimolemlt  14986  rpdivcxp  15233  rpcxple2  15240  rpcxplt2  15241  rpcxpsqrt  15244  rpabscxpbnd  15262  logbgcd1irr  15289  iooref1o  15769  trilpolemclim  15771  trilpolemisumle  15773  trilpolemeq1  15775  trilpolemlt1  15776