Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemp1rp GIF version

Theorem resqrexlemp1rp 10830
 Description: Lemma for resqrex 10850. Applying the recursion rule yields a positive real (expressed in a way that will help apply seqf 10285 and similar theorems). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlem1arp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlem1arp.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemp1rp ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝐶) ∈ ℝ+)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐶,𝑧

Proof of Theorem resqrexlemp1rp
StepHypRef Expression
1 eqidd 2141 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)) = (𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)))
2 id 19 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵𝑦 = 𝐵)
3 oveq2 5791 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 / 𝑦) = (𝐴 / 𝐵))
42, 3oveq12d 5801 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) = (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)))
54oveq1d 5798 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2) = ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2))
65ad2antrl 482 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑧 = 𝐶)) → ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2) = ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2))
7 simprl 521 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
8 simprr 522 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
97rpred 9533 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10 resqrexlem1arp.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1110adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1211, 7rerpdivcld 9565 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
139, 12readdcld 7839 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
1413rehalfcld 9010 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2) ∈ ℝ)
151, 6, 7, 8, 14ovmpod 5907 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝐶) = ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2))
167rpgt0d 9536 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝐵)
17 resqrexlem1arp.agt0 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
1817adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ 𝐴)
1911, 7, 18divge0d 9574 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
20 addgtge0 8256 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐵 ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))) → 0 < (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)))
219, 12, 16, 19, 20syl22anc 1218 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 < (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)))
2213, 21elrpd 9530 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
2322rphalfcld 9546 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2) ∈ ℝ+)
2415, 23eqeltrd 2217 1 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝐶) ∈ ℝ+)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3938  (class class class)co 5783   ∈ cmpo 5785  ℝcr 7663  0cc0 7664   + caddc 7667   < clt 7844   ≤ cle 7845   / cdiv 8476  2c2 8815  ℝ+crp 9490 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-br 3939  df-opab 3999  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477  df-2 8823  df-rp 9491 This theorem is referenced by:  resqrexlemf  10831  resqrexlemf1  10832  resqrexlemfp1  10833
 Copyright terms: Public domain W3C validator