ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemp1rp GIF version

Theorem resqrexlemp1rp 10404
Description: Lemma for resqrex 10424. Applying the recursion rule yields a positive real (expressed in a way that will help apply seqf 9845 and similar theorems). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlem1arp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlem1arp.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemp1rp ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝐶) ∈ ℝ+)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐶,𝑧

Proof of Theorem resqrexlemp1rp
StepHypRef Expression
1 eqidd 2089 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)) = (𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)))
2 id 19 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵𝑦 = 𝐵)
3 oveq2 5642 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 / 𝑦) = (𝐴 / 𝐵))
42, 3oveq12d 5652 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) = (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)))
54oveq1d 5649 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2) = ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2))
65ad2antrl 474 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑧 = 𝐶)) → ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2) = ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2))
7 simprl 498 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
8 simprr 499 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
97rpred 9142 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10 resqrexlem1arp.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1110adantr 270 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1211, 7rerpdivcld 9174 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
139, 12readdcld 7496 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
1413rehalfcld 8632 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2) ∈ ℝ)
151, 6, 7, 8, 14ovmpt2d 5754 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝐶) = ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2))
167rpgt0d 9145 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝐵)
17 resqrexlem1arp.agt0 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
1817adantr 270 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ 𝐴)
1911, 7, 18divge0d 9183 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
20 addgtge0 7907 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐵 ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))) → 0 < (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)))
219, 12, 16, 19, 20syl22anc 1175 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 < (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)))
2213, 21elrpd 9140 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
2322rphalfcld 9155 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2) ∈ ℝ+)
2415, 23eqeltrd 2164 1 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝐶) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634  cmpt2 5636  cr 7328  0cc0 7329   + caddc 7332   < clt 7501  cle 7502   / cdiv 8113  2c2 8444  +crp 9103
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-2 8452  df-rp 9104
This theorem is referenced by:  resqrexlemf  10405  resqrexlemf1  10406  resqrexlemfp1  10407
  Copyright terms: Public domain W3C validator