Theorem resqrexlemp1rp 11171

Description: Lemma for resqrex 11191. Applying the recursion rule yields a positive real (expressed in a way that will help apply seqf 10556 and similar theorems). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlem1arp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlem1arp.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemp1rp	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝐶) ∈ ℝ+)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐶,𝑧

Proof of Theorem resqrexlemp1rp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2197	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)) = (𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)))
2		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝑦 = 𝐵)
3		oveq2 5930	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 / 𝑦) = (𝐴 / 𝐵))
4	2, 3	oveq12d 5940	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) = (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)))
5	4	oveq1d 5937	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2) = ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2))
6	5	ad2antrl 490	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∧ 𝑧 = 𝐶)) → ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2) = ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2))
7		simprl 529	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
8		simprr 531	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
9	7	rpred 9771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		resqrexlem1arp.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11, 7	rerpdivcld 9803	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
13	9, 12	readdcld 8056	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
14	13	rehalfcld 9238	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2) ∈ ℝ)
15	1, 6, 7, 8, 14	ovmpod 6050	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝐶) = ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2))
16	7	rpgt0d 9774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝐵)
17		resqrexlem1arp.agt0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
18	17	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ 𝐴)
19	11, 7, 18	divge0d 9812	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
20		addgtge0 8477	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐵 ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))) → 0 < (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)))
21	9, 12, 16, 19, 20	syl22anc 1250	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 < (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)))
22	13, 21	elrpd 9768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
23	22	rphalfcld 9784	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2) ∈ ℝ+)
24	15, 23	eqeltrd 2273	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝐶) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   ∈ cmpo 5924  ℝcr 7878  0cc0 7879   + caddc 7882   < clt 8061   ≤ cle 8062   / cdiv 8699  2c2 9041  ℝ⁺crp 9728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-2 9049  df-rp 9729

This theorem is referenced by:  resqrexlemf  11172  resqrexlemf1  11173  resqrexlemfp1  11174