Theorem resqrexlemp1rp 11794

Description: Lemma for resqrex 11814. Applying the recursion rule yields a positive real (expressed in a way that will help apply seqf 10922 and similar theorems). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlem1arp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlem1arp.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemp1rp	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝐶) ∈ ℝ+)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐶,𝑧

Proof of Theorem resqrexlemp1rp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2239	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)) = (𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)))
2		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝑦 = 𝐵)
3		oveq2 6096	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 / 𝑦) = (𝐴 / 𝐵))
4	2, 3	oveq12d 6106	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) = (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)))
5	4	oveq1d 6103	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2) = ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2))
6	5	ad2antrl 494	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑦 = 𝐵 ∧ 𝑧 = 𝐶)) → ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2) = ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2))
7		simprl 535	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
8		simprr 537	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
9	7	rpred 10114	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		resqrexlem1arp.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11, 7	rerpdivcld 10146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
13	9, 12	readdcld 8361	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
14	13	rehalfcld 9563	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2) ∈ ℝ)
15	1, 6, 7, 8, 14	ovmpod 6219	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝐶) = ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2))
16	7	rpgt0d 10117	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝐵)
17		resqrexlem1arp.agt0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
18	17	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ 𝐴)
19	11, 7, 18	divge0d 10155	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
20		addgtge0 8785	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐵 ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))) → 0 < (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)))
21	9, 12, 16, 19, 20	syl22anc 1279	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 < (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)))
22	13, 21	elrpd 10111	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
23	22	rphalfcld 10127	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2) ∈ ℝ+)
24	15, 23	eqeltrd 2315	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝐶) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   ∈ cmpo 6090  ℝcr 8184  0cc0 8185   + caddc 8188   < clt 8366   ≤ cle 8367   / cdiv 9010  2c2 9364  ℝ⁺crp 10071

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-2 9372  df-rp 10072

This theorem is used by:  resqrexlemf  11795  resqrexlemf1  11796  resqrexlemfp1  11797