Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trilpolemeq1 GIF version

Theorem trilpolemeq1 13409
 Description: Lemma for trilpo 13412. The 𝐴 = 1 case. This is proved by noting that if any (𝐹‘𝑥) is zero, then the infinite sum 𝐴 is less than one based on the term which is zero. We are using the fact that the 𝐹 sequence is decidable (in the sense that each element is either zero or one). (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
trilpolemgt1.f (𝜑𝐹:ℕ⟶{0, 1})
trilpolemgt1.a 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖))
trilpolemeq1.a (𝜑𝐴 = 1)
Assertion
Ref Expression
trilpolemeq1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑖)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem trilpolemeq1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trilpolemeq1.a . . . . 5 (𝜑𝐴 = 1)
21ad2antrr 480 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → 𝐴 = 1)
3 trilpolemgt1.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℕ⟶{0, 1})
4 trilpolemgt1.a . . . . . . . 8 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖))
53, 4trilpolemcl 13406 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
65ad2antrr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
7 nnuz 9386 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ = (ℤ‘1)
8 eqid 2140 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ‘(𝑥 + 1)) = (ℤ‘(𝑥 + 1))
9 simplr 520 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℕ)
109peano2nnd 8760 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
11 eqid 2140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹𝑛)))
12 oveq2 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑖 → (2↑𝑛) = (2↑𝑖))
1312oveq2d 5798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑖 → (1 / (2↑𝑛)) = (1 / (2↑𝑖)))
14 fveq2 5429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑖 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑖))
1513, 14oveq12d 5800 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑖 → ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹𝑛)) = ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)))
16 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
17 2rp 9476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ+
1817a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
1916nnzd 9197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
2018, 19rpexpcld 10480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (2↑𝑖) ∈ ℝ+)
2120rpreccld 9525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ+)
2221rpred 9514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ)
23 0re 7791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
24 1re 7790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
25 prssi 3686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → {0, 1} ⊆ ℝ)
2623, 24, 25mp2an 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {0, 1} ⊆ ℝ
273ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
2827, 16ffvelrnd 5564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) ∈ {0, 1})
2926, 28sseldi 3100 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
3022, 29remulcld 7821 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) ∈ ℝ)
3111, 15, 16, 30fvmptd3 5522 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹𝑛)))‘𝑖) = ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)))
3230recnd 7819 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) ∈ ℂ)
333, 11trilpolemclim 13405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
3433ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
357, 8, 10, 31, 32, 34isumsplit 11293 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖))))
369nncnd 8759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
37 1cnd 7807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → 1 ∈ ℂ)
3836, 37pncand 8099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → ((𝑥 + 1) − 1) = 𝑥)
3938oveq2d 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → (1...((𝑥 + 1) − 1)) = (1...𝑥))
409, 7eleqtrdi 2233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ (ℤ‘1))
41 fzisfzounsn 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (ℤ‘1) → (1...𝑥) = ((1..^𝑥) ∪ {𝑥}))
4240, 41syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → (1...𝑥) = ((1..^𝑥) ∪ {𝑥}))
4339, 42eqtrd 2173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → (1...((𝑥 + 1) − 1)) = ((1..^𝑥) ∪ {𝑥}))
4443sumeq1d 11168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → Σ𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ((1..^𝑥) ∪ {𝑥})((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)))
45 nfv 1509 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑖((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0)
46 nfcv 2282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑖((1 / (2↑𝑥)) · (𝐹𝑥))
47 1zzd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → 1 ∈ ℤ)
489nnzd 9197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℤ)
49 fzofig 10237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (1..^𝑥) ∈ Fin)
5047, 48, 49syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → (1..^𝑥) ∈ Fin)
51 fzonel 9969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ 𝑥 ∈ (1..^𝑥)
5251a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → ¬ 𝑥 ∈ (1..^𝑥))
5317a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) → 2 ∈ ℝ+)
54 elfzoelz 9956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 ∈ (1..^𝑥) → 𝑖 ∈ ℤ)
5554adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) → 𝑖 ∈ ℤ)
5653, 55rpexpcld 10480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) → (2↑𝑖) ∈ ℝ+)
5756rpreccld 9525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ+)
5857rpred 9514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ)
59 elfzouz 9960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (1..^𝑥) → 𝑖 ∈ (ℤ‘1))
6059, 7eleqtrrdi 2234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (1..^𝑥) → 𝑖 ∈ ℕ)
6160, 29sylan2 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
6258, 61remulcld 7821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) ∈ ℝ)
6362recnd 7819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) ∈ ℂ)
64 oveq2 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑥 → (2↑𝑖) = (2↑𝑥))
6564oveq2d 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑥 → (1 / (2↑𝑖)) = (1 / (2↑𝑥)))
66 fveq2 5429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑥 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑥))
6765, 66oveq12d 5800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑥 → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) = ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐹𝑥)))
6817a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → 2 ∈ ℝ+)
6968, 48rpexpcld 10480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → (2↑𝑥) ∈ ℝ+)
7069rpreccld 9525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → (1 / (2↑𝑥)) ∈ ℝ+)
7170rpred 9514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → (1 / (2↑𝑥)) ∈ ℝ)
723ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
7372, 9ffvelrnd 5564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → (𝐹𝑥) ∈ {0, 1})
7426, 73sseldi 3100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
7571, 74remulcld 7821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
7675recnd 7819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
7745, 46, 50, 9, 52, 63, 67, 76fsumsplitsn 11212 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → Σ𝑖 ∈ ((1..^𝑥) ∪ {𝑥})((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) + ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐹𝑥))))
78 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → (𝐹𝑥) = 0)
7978oveq2d 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐹𝑥)) = ((1 / (2↑𝑥)) · 0))
8070rpcnd 9516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → (1 / (2↑𝑥)) ∈ ℂ)
8180mul01d 8180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → ((1 / (2↑𝑥)) · 0) = 0)
8279, 81eqtrd 2173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐹𝑥)) = 0)
8382oveq2d 5798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → (Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) + ((1 / (2↑𝑥)) · (𝐹𝑥))) = (Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) + 0))
8444, 77, 833eqtrd 2177 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → Σ𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) + 0))
8584oveq1d 5797 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → (Σ𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖))) = ((Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) + 0) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖))))
8635, 85eqtrd 2173 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) = ((Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) + 0) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖))))
8750, 62fsumrecl 11203 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) ∈ ℝ)
88 0red 7792 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → 0 ∈ ℝ)
8987, 88readdcld 7820 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → (Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) + 0) ∈ ℝ)
9010nnzd 9197 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
91 eluznn 9422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
9210, 91sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
9392, 30syldan 280 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) ∈ ℝ)
9411, 15, 92, 93fvmptd3 5522 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹𝑛)))‘𝑖) = ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)))
9531, 32eqeltrd 2217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹𝑛)))‘𝑖) ∈ ℂ)
967, 10, 95iserex 11141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹𝑛)))) ∈ dom ⇝ ↔ seq(𝑥 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹𝑛)))) ∈ dom ⇝ ))
9734, 96mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → seq(𝑥 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
988, 90, 94, 93, 97isumrecl 11231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) ∈ ℝ)
9950, 58fsumrecl 11203 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)(1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ)
10099, 71readdcld 7820 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → (Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)(1 / (2↑𝑖)) + (1 / (2↑𝑥))) ∈ ℝ)
101 eqid 2140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))
10292, 21syldan 280 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ+)
103101, 13, 92, 102fvmptd3 5522 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))‘𝑖) = (1 / (2↑𝑖)))
10492, 22syldan 280 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ)
105 seqex 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))) ∈ V
106 ax-1cn 7738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
107101geo2lim 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ∈ ℂ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))) ⇝ 1)
108106, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))) ⇝ 1
109 breldmg 4753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))) ∈ V ∧ 1 ∈ ℂ ∧ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))) ⇝ 1) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
110105, 106, 108, 109mp3an 1316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))) ∈ dom ⇝
111110a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
112101, 13, 16, 21fvmptd3 5522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))‘𝑖) = (1 / (2↑𝑖)))
11321rpcnd 9516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
114112, 113eqeltrd 2217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))‘𝑖) ∈ ℂ)
1157, 10, 114iserex 11141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ ↔ seq(𝑥 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ ))
116111, 115mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → seq(𝑥 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
1178, 90, 103, 104, 116isumrecl 11231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))(1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ)
118 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) ∧ (𝐹𝑖) = 0) → (𝐹𝑖) = 0)
119118oveq2d 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) ∧ (𝐹𝑖) = 0) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) = ((1 / (2↑𝑖)) · 0))
12057adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) ∧ (𝐹𝑖) = 0) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ+)
121120rpcnd 9516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) ∧ (𝐹𝑖) = 0) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
122121mul01d 8180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) ∧ (𝐹𝑖) = 0) → ((1 / (2↑𝑖)) · 0) = 0)
123119, 122eqtrd 2173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) ∧ (𝐹𝑖) = 0) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) = 0)
124120rpge0d 9518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) ∧ (𝐹𝑖) = 0) → 0 ≤ (1 / (2↑𝑖)))
125123, 124eqbrtrd 3958 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) ∧ (𝐹𝑖) = 0) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) ≤ (1 / (2↑𝑖)))
126 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) ∧ (𝐹𝑖) = 1) → (𝐹𝑖) = 1)
127126oveq2d 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) ∧ (𝐹𝑖) = 1) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) = ((1 / (2↑𝑖)) · 1))
12858adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) ∧ (𝐹𝑖) = 1) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ)
129128recnd 7819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) ∧ (𝐹𝑖) = 1) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
130129mulid1d 7808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) ∧ (𝐹𝑖) = 1) → ((1 / (2↑𝑖)) · 1) = (1 / (2↑𝑖)))
131127, 130eqtrd 2173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) ∧ (𝐹𝑖) = 1) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) = (1 / (2↑𝑖)))
132128leidd 8301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) ∧ (𝐹𝑖) = 1) → (1 / (2↑𝑖)) ≤ (1 / (2↑𝑖)))
133131, 132eqbrtrd 3958 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) ∧ (𝐹𝑖) = 1) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) ≤ (1 / (2↑𝑖)))
13472adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
13560adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) → 𝑖 ∈ ℕ)
136134, 135ffvelrnd 5564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) → (𝐹𝑖) ∈ {0, 1})
137 elpri 3555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑖) ∈ {0, 1} → ((𝐹𝑖) = 0 ∨ (𝐹𝑖) = 1))
138136, 137syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) → ((𝐹𝑖) = 0 ∨ (𝐹𝑖) = 1))
139125, 133, 138mpjaodan 788 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) ≤ (1 / (2↑𝑖)))
14050, 62, 58, 139fsumle 11265 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) ≤ Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)(1 / (2↑𝑖)))
14170rpgt0d 9517 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → 0 < (1 / (2↑𝑥)))
14287, 88, 99, 71, 140, 141leltaddd 8353 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → (Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) + 0) < (Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)(1 / (2↑𝑖)) + (1 / (2↑𝑥))))
14372, 4, 8, 10trilpolemisumle 13407 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) ≤ Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))(1 / (2↑𝑖)))
14489, 98, 100, 117, 142, 143ltleaddd 8352 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → ((Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) + 0) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖))) < ((Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)(1 / (2↑𝑖)) + (1 / (2↑𝑥))) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))(1 / (2↑𝑖))))
14586, 144eqbrtrd 3958 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖)) < ((Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)(1 / (2↑𝑖)) + (1 / (2↑𝑥))) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))(1 / (2↑𝑖))))
1464, 145eqbrtrid 3971 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → 𝐴 < ((Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)(1 / (2↑𝑖)) + (1 / (2↑𝑥))) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))(1 / (2↑𝑖))))
147 nfcv 2282 . . . . . . . . . . . 12 𝑖(1 / (2↑𝑥))
14857rpcnd 9516 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑥)) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
14945, 147, 50, 9, 52, 148, 65, 80fsumsplitsn 11212 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → Σ𝑖 ∈ ((1..^𝑥) ∪ {𝑥})(1 / (2↑𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)(1 / (2↑𝑖)) + (1 / (2↑𝑥))))
150149oveq1d 5797 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → (Σ𝑖 ∈ ((1..^𝑥) ∪ {𝑥})(1 / (2↑𝑖)) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))(1 / (2↑𝑖))) = ((Σ𝑖 ∈ (1..^𝑥)(1 / (2↑𝑖)) + (1 / (2↑𝑥))) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))(1 / (2↑𝑖))))
151146, 150breqtrrd 3964 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → 𝐴 < (Σ𝑖 ∈ ((1..^𝑥) ∪ {𝑥})(1 / (2↑𝑖)) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))(1 / (2↑𝑖))))
15242sumeq1d 11168 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(1 / (2↑𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ((1..^𝑥) ∪ {𝑥})(1 / (2↑𝑖)))
153152oveq1d 5797 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(1 / (2↑𝑖)) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))(1 / (2↑𝑖))) = (Σ𝑖 ∈ ((1..^𝑥) ∪ {𝑥})(1 / (2↑𝑖)) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))(1 / (2↑𝑖))))
154151, 153breqtrrd 3964 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → 𝐴 < (Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(1 / (2↑𝑖)) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))(1 / (2↑𝑖))))
1557, 8, 10, 112, 113, 111isumsplit 11293 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → Σ𝑖 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1))(1 / (2↑𝑖)) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))(1 / (2↑𝑖))))
15639sumeq1d 11168 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → Σ𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1))(1 / (2↑𝑖)) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(1 / (2↑𝑖)))
157156oveq1d 5797 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → (Σ𝑖 ∈ (1...((𝑥 + 1) − 1))(1 / (2↑𝑖)) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))(1 / (2↑𝑖))) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(1 / (2↑𝑖)) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))(1 / (2↑𝑖))))
158155, 157eqtrd 2173 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → Σ𝑖 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(1 / (2↑𝑖)) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑥 + 1))(1 / (2↑𝑖))))
159154, 158breqtrrd 3964 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → 𝐴 < Σ𝑖 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑖)))
160 geoihalfsum 11324 . . . . . . 7 Σ𝑖 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑖)) = 1
161159, 160breqtrdi 3977 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → 𝐴 < 1)
1626, 161ltned 7902 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → 𝐴 ≠ 1)
163162neneqd 2330 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ (𝐹𝑥) = 0) → ¬ 𝐴 = 1)
1642, 163pm2.65da 651 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ¬ (𝐹𝑥) = 0)
1653ffvelrnda 5563 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹𝑥) ∈ {0, 1})
166 elpri 3555 . . . . 5 ((𝐹𝑥) ∈ {0, 1} → ((𝐹𝑥) = 0 ∨ (𝐹𝑥) = 1))
167165, 166syl 14 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑥) = 0 ∨ (𝐹𝑥) = 1))
168167orcomd 719 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑥) = 1 ∨ (𝐹𝑥) = 0))
169164, 168ecased 1328 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹𝑥) = 1)
170169ralrimiva 2508 1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  Vcvv 2689   ∪ cun 3074   ⊆ wss 3076  {csn 3532  {cpr 3533   class class class wbr 3937   ↦ cmpt 3997  dom cdm 4547  ⟶wf 5127  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  Fincfn 6642  ℂcc 7643  ℝcr 7644  0cc0 7645  1c1 7646   + caddc 7648   · cmul 7650   < clt 7825   ≤ cle 7826   − cmin 7958   / cdiv 8457  ℕcn 8745  2c2 8796  ℤcz 9079  ℤ≥cuz 9351  ℝ+crp 9471  ...cfz 9822  ..^cfzo 9951  seqcseq 10250  ↑cexp 10324   ⇝ cli 11080  Σcsu 11155 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7736  ax-resscn 7737  ax-1cn 7738  ax-1re 7739  ax-icn 7740  ax-addcl 7741  ax-addrcl 7742  ax-mulcl 7743  ax-mulrcl 7744  ax-addcom 7745  ax-mulcom 7746  ax-addass 7747  ax-mulass 7748  ax-distr 7749  ax-i2m1 7750  ax-0lt1 7751  ax-1rid 7752  ax-0id 7753  ax-rnegex 7754  ax-precex 7755  ax-cnre 7756  ax-pre-ltirr 7757  ax-pre-ltwlin 7758  ax-pre-lttrn 7759  ax-pre-apti 7760  ax-pre-ltadd 7761  ax-pre-mulgt0 7762  ax-pre-mulext 7763  ax-arch 7764  ax-caucvg 7765 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-pnf 7827  df-mnf 7828  df-xr 7829  df-ltxr 7830  df-le 7831  df-sub 7960  df-neg 7961  df-reap 8362  df-ap 8369  df-div 8458  df-inn 8746  df-2 8804  df-3 8805  df-4 8806  df-n0 9003  df-z 9080  df-uz 9352  df-q 9440  df-rp 9472  df-ico 9708  df-fz 9823  df-fzo 9952  df-seqfrec 10251  df-exp 10325  df-ihash 10555  df-cj 10647  df-re 10648  df-im 10649  df-rsqrt 10803  df-abs 10804  df-clim 11081  df-sumdc 11156 This theorem is referenced by:  trilpolemres  13411  redcwlpolemeq1  13423
 Copyright terms: Public domain W3C validator